第一章 1 第3课时 30°,45°,60°角的三角函数值&第一章 1 第4课时 三角函数的计算-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

第3课时 30°，45 已课内基础闯关 知识点① 特殊角的三角函数值 1.√2c0s45°-1的值等于 A.0 B.1 C② -1D.2-1 2.计算sin60°+sin45的结果为 ( A.1+@ B.②+3 2 2 C.1+3 2 D.√3 3.如图，以点O为圆心，任意长 为半径画弧，与射线OA交于 点B,再以点B为圆心，BO长 BA 为半径画弧，两弧交于点C,画 第3题图 射线OC,则sin∠AOC的值为 4.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究 中遇到一些新的数学符号，他们摘录的某些 材料如下：对于三个实数a,b,c,用max{a,b, c}表示这三个数中最大的数，例如max{1, 2,-3}=2,max{sin30°，cos45°，tan60}= √3.结合上述材料，max{3tan45°，2sin60°， 4cos60°}的值为 5.(教材变式)计算： (1)cos30°-tan60°-cos45°. (2)cos602-2sin245+am230°-sin30. 60°角的三角函数值 知识点② 由特殊角的三角函数值求角 1 6.若∠a为锐角，cosa=2,则∠a= A.30 B.45° C.60° D.909 ⑦在△ABC中，若sinA-2 1+ -cos B)2= 0,∠A,∠B是锐角，则△ABC的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 8.当∠A为假角，且<sA<时∠A的 取值范围是 ( A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<60 C.60°<∠A<90° D.30°<∠A<45 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC= √3，则∠B的度数是 知识点③特殊角的三角函数的实际应用 10.情境应用图①是一种手机支架，图②是其 侧面结构示意图.托板AB固定在支撑杆 顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支 撑杆CD可绕点D转动.若量得支撑杆长 CD=8cm,∠CDE=60°，则点C到底座 DE的距离为 cm(结果保留 根号). 图① 图② 第10题图 第11题图 11.跨物理学科如图所示的是潜望镜工作原 理的平面示意图，一条平行光线！经镜面 BC反射到EF后得到光线m,且l∥m,虚 线为光线的反射轨迹.若测得两条平行光 线间的距离为3，虚线的长为2，则虚线与 m所夹钝角的度数为 下册第一章 已课外拓展提高 12.如图，在平面直角坐标系中， △OAB三个顶点的坐标分别 为O(0,0),A(0,1),B(3, 0 B 0).将△OAB绕点B顺时针 第12题图 旋转60°，得到△OA'B,则点A'的坐标为 ( A.(3,2) B.(2,3) C.(5,√3) D.(3,3) 13.新定义题定义一种运算：sin(a十3)= sin acos B+cos asin B,sin(a-B)=sin acos B-cos asin.例如：当a=45°，3=30°时， (4+30-号×+号 1 2 6+√2 4 .sin15的值为 14.图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图 ②是其工作示意图.起重臂AC是可伸缩 的(10m≤AC≤22m),且起重臂AC可绕 点A在一定范围内转动，张角为∠CAE (90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面 BD的高度AE为4m.当起重臂AC长度 为16m,张角∠CAE为120°时，云梯消防 车最高点C距离地面的高度C℉为 m. 图① 图② 第14题图 色综合能力提升 15.推理能力在学习北师版九年级下册第一 章时，小华同学对一个角与其倍角的三角 函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣， 并进行了研究. 九年级数学BS版 B D 图① 图② 【实践探究】(1)在解决“如图①，若在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 求1am今的值”这一问题时，小华想构造包 含2∠A的直角三角形，延长CA到点D, 使DA=AB,连接BD,则∠D=2∠A,即 转化为求∠D的正切值.请按小华的思路 求出tan含的值。 【拓展延伸】(2)如图②，若在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=3,tanA=3,则： ①tan2A的值为 ②tan3A的值为 知识要点归纳 sina的值随∠a的增大而增大，30°，45°，60°的正 1√2√3 弦值依次为2,2，：cosa的值随∠a的增大 而减小.30,45,60的余孩值依次为5，巨，1 2’2’2 tana的值随∠a的增大而增大，30°，45°，60°的正 切维维次为停1店 第4课时 三 已课内基础闯关 知识点① 用计算器求非特殊角的三角函数值 1.用科学计算器计算2sin50°，下列按键顺序 正确的是 A.▣2sim⑤可曰 B.2▣sim⑤回目 c.√□☑固可sim目 D.2a⑤回sim目 2.用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，则 它们的大小关系是 A.tan26°<cos27°<sin289 B.tan26°<sin28°<cos27 C.sin28°<tan26°<cos27 D.cos27°<sin28°<tan26 知识点② 用计算器求非特殊角的度数 3.已知4cosa=0.9754,则锐角a约为( A.1527 B.75°53'10 C.12°44'6" D.4217'31" 变式题在△ABC中，∠C=90°，BC=5, AB=13,用计算器计算得∠A≈ ( A.14381 B.65°22' C.67°231 D.22371 知识点③利用三角函数解决实际问题 4.(教材变式)如图，已知墙高AB 为6.5m.将长为6m的梯子 CD斜靠在墙面，梯子与地面所 成的角∠BCD=55°，用计算器 第4题图 算得此时梯子的顶端与墙顶的距离AD约 为 m(结果精确到0.1m). 角函数的计算 已课外拓展提高 = 5.情境应用如图，无人机于空 中A处测得某建筑顶部B 处的仰角为45°，测得该建筑 A 底部C处的俯角为17°.若 D 第5题图 无人机的飞行高度AD为 10m,则该建筑的高度BC为 (结果取整数.参考数据：sin17°≈0.29， cos17°≈0.96，tan17°≈0.31). 6.图①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成 如图②所示的示意图，已知AB∥CD∥FG, A,D,H,G四点在同一直线上，测得∠FEC =∠A=72.9°，AD=1.6m,EF=6.2m. (1)求证：四边形DEFG为平行四边形. (2)求雕塑的高，即点G到AB的距离（结果 保留小数点后一位.参考数据：sin72.9°≈ 0.96,cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25). 图① 图② 知识要点归纳 用计算器求锐角三角函数值：先按sin、c0s和 tan这三个键之一，再从高位到低位按出度数， 最后按曰键。 下册第一章11.解：111(1)1 (2)证明：在Rt△ABC中，∠C=90°， nA=名nB=名isrA+nB= b c2 .a+2=c,.'.sinA+sin2B=1. 5 (3)sin A-3sin'A+sin B-1. 第3课时30°，45°，60°角的三角函数值 1A2B3号 4.3【解析】31an45°=3×1=3,2sin60°=2× 2 =5, 4c0s60=4×2=2,3>2>5, .max{3tan45°，2sin60°，4cos60°}的值为3. 5解：0原式--店-号-62 2 2 (2)原式=-2×（）+×()-=日-2x号 +×1-1.1 2X3-2=-2 6.C7.C8.B9.60°10.43 11.120°【解析】如图，过点G作GH⊥m1 G 于点H. 在Rt△GHO中，GH=√5，OG=2. .0 GH3 :sin∠c0H=oG 2 .∠G0H=60°，∴.∠G0P=120. 12.A【解析】，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0), A(0,1),B(3,0),.∠AOB=90°，OA=1,OB=√3， tan∠AB0-2=3,∠AB0=30°∴.AB=2OA=2. 由旋转的性质，得∠ABA'=60°，A'B=AB=2, ∠OBA'=∠ABO+∠ABA'=90°，即A'BLx轴， .A'(5,2). 13.6-2 14.12【解析】过点A作AG⊥CF于点G,如图. .∠AEF=∠AGF=∠GFE=90°， .四边形AGFE是矩形， ∴.AE=GF=4m. ∠CAE=120°，∴∠CAG=30 在R△AGC中，sin30°=-CS_CG AC161 CG=16sin30°=16×2=8(m), ,.CF=CG+GF=8+4=12(m). 15.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, .AB=√AC+BC=5,.AD=AB=√5， A CD=AD+AC=2+5,m,nDC后一2 (20@号 【解析】(2)①如图，作AB的垂直平分线 交AC于点E,连接BE,则AE=BE,∠A=∠ABE, ∴.∠BEC=2∠A. 2 九年级数学BS版 ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3. .BC=1,∴.AB=√AC2+BC=VI0. 设AE=x,则EC=3一x. 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1, 5 5m2A=m∠BBC-既-是 ②如图，作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA, 则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y则CM=EC-EM=音- :∠MBE=∠EBA,设点E到AB,BM边上的距离为d. 1 根据等面积可得2AB·《 AE·BC 2BM·d TEM.BC 5 品-盖即需w3 103 在Rt△MBC中，BM=CM+BC2, ()-()+1. 解得一器：=一子（不合题意，会去 25 25 4259 即EM=39,CM=3-39i3' 六tan3A=tan∠BMC=BC=1=13 CM=9=9 13 第4课时三角函数的计算 1.A2.C3.B变式题D 4.1.6【解析】在Rt△BCD中，：∠B=90°，∠BCD=55°，CD =6m,∴.BD=CDsin∠BCD=6sin55°，.AD=AB-BD =6.5一6sin55°≈1.6(m).故梯子的顶端与墙顶的距离AD约 为1.6m. 5.42m【解析】如图，过点A作AE⊥BC 于点E,则四边形ADCE为矩形， .EC=AD=10 m. 在Rt△AEC中，tan∠EAC= E AE,则 245 j7 EC 10 AE=ani7*0.9T*32.3(m). 在Rt△AEB中，∠BAE=45°， .BE=AE≈32.3m,.BC≈10+32.3≈42(m) 6.解：(1)证明：，AB∥CD,.∠CDG=∠A. :∠FEC=∠A,∴∠FEC=∠CDG,.EF∥DG. ,FG∥CD,.四边形DEFG为平行四边形. (2)过点G作GP⊥AB于点P,如图. ,四边形DEFG为平行四边形， ∴.DG=EF=6.2m. AD=1.6m, ∴.AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8(m). 在△APG中，血A-侣 .PG=AGsin A≈7.8×0.96≈7.5(m). 故雕塑的高约为7.5m.