九年级数学上学期期中模拟卷（新教材沪教版五四制第27-29章，高效培优.提升卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D D D C 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7.410.25 8(0,3) 925 18 10.5 11.①③⑤ 12.y=(x+3)2-1 14.(45+12)(2+45) 15.片>片>⅓ 16.26 1n.吕7 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 2c0s60° 18.解：cot30e-an45+sin'459-sin60°-1 2x2+2 2×。 3-22 …5分 答案第1页（共2页） …7分 2 -5++-1+5 222 2…9分 =√5 …10分 y=ax2+bx+ 19.(1)解：①：二次函数 的对称轴是直线x=2 ..s- b2 2a .b=-4a, 故答案为：一4a;…2分 ②：二次函数'=+x+C的图像与轴的一个交点坐标是 6,0) ,且对称轴是直线x=2, 图像与x轴的另一个交点坐标为 2x2-6,0）,即为-2,0 故答案为： （-2,0) …5分 (②解：=次函数'=+x+C的图像与产转的两个交点坐标是60)和2,0）， ·可设二次函数的解析式为'=a(x-6x+2) (0,-3) 这个函数图像经过点 :(0-6x(0+2)a=-3 1 解得a= 4 4二次函数的解折式为y=-6x+2)=x-2-4, 2,-4) .它的顶点坐标为 …10分 20.(1)证明：.GN∥MH 答案第2页（共2页） .△GNP∽aHMP MP MH 3 ·PNGN2 又：MW=V32+4=5 ∴.MP=3 小明的画法是正确的：.5分 (2)解：取格点F,连接DF交AB于点E; 连接AD,BF, F E D B 图2 AD∥BF,AD=2,BF=4 ∴.△ADE∽ABFE AE AD 1 ·BEFB2 .'BE=2AE, 如图所示，取格点H,连接AH,HF, 答案第3页（共2页） 图2 在Rt△HDF中，HF=4,HD=3 :.DF=VHD2+HF2=V32+4=5 .si∠ADE=HF4 DF=5…10分 21.(1)解：DE⊥CM,AC⊥CM, ..DEl AC .△BDE△BAC. DE BE .AC BC, DE=1(米)，AC=6(米)，BE=0.5(米)， 10.5 .6 BC' .BC=3(米)， CE=BC-BE=3-0.5=2.5(米)； 同理可证△D'E'FOAFAC, D'E'EF ·.ACFC AC=6(米)，DE=1(米)，EF=1.5(米)， 11.5 67FC .FC=9米， .CE=CF-FE=9-1.5=7.5(米)， 答案第4页（共2页） 这里的“影差”为FE'-BE=1.5-0.5=1(米)， “地差”为EE=CE'-CE=7.5-2.5=5(米)6分 (2)解：设BE=x,EF=y,BC=m, 由(I)知△BDEABAC, DE BE :.AC BC .1= .6m .m=6x, .CE=BC-BE=6x-x=5x; 同理，由(1)知△D'E'F∽aFAC, D'E EF AC FC :.FC 6' ..FC=6y, .CE'=FC-FE'=6y-y=5y, EE'-CE'-CE=5y-5x=5(y-) :FEBB=y-x为“影差”， EE=5(0y-为“地差”，12分 所以，“影差”与“地差”有一定的数量关系，即“地差”是“影差”的5倍. 22.(I)解：：BC·BE=BABF, BC BF ·BABE ,BE平分∠ABC ∴.∠CBF=∠ABE ∴.△CBF∽AABE .∠BCF=∠A 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=90° 答案第5页（共2页） ∴.∠BCF+∠ABC=90° .∠CDB=90°，即CD⊥AB..6分 (2)解：过C作CM⊥BE于M. E M 由(1)得△BCF△BAE. ∴.∠CFE=∠AEB 又∠CFE+∠CEF=∠AEB+∠CEF=180°， .∠CFE=∠CEF, ..CF=CE .CM⊥BE, :HM=BMF(等腿三角形线合) .CD⊥AB,CM⊥BE. .∠BDF=∠CMF=90°，∠DFB=∠MFC, ∴.△BDF∽ACMF DF BF MFCF,即DF.CF=MF.BF. MF=EF 2 DF.CF=EF-BF.即F耶.Bp=2GE.pE.2分 2 23.(1)解：由题意得 a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2 答案第6页（共2页） 、1 2 3 解得： b= 2 C=2 ys. 3 2+2:5分 2 (2)解：过点P作PD⊥x轴于D,交直线BC于E, E A DM 设直线BC的解析式为y=c+b,则有 4k+b=0 b=2 Jk--1 2 解得： b=2, 直线BC的解析式为y=~2x+2, 设m+m+ 3 mm+2 m2+2m 2 答案第7页（共2页） ∴.SAPBC=SAPE+SAPBE =-OD.PE+-BD.PE -PE(OD+BD) 4m*2m =-m2+4m =-(m-2)2+4 -1<0 当m=2时，S取得最大值4。 2*22*3 ..yp= 2+2=3 .P(2,3) 故8的最大值4，P(23) …10分 (解：“物线++2=-+ 2x-2+ 8沿水平向右平移2n个单位，向下平移n个单位， 得到新抛物线y, y经过B(40) 225 8 整理得：n2-2n=0. 解得：%=2乃=0 答案第8页（共2页） 多+药-2 联立 1 y=-2x+2 x=4「x=8 解得：y=0或y=-2, H(8,-2) …14分 24.山解："∠C=90,AC=gsmB=号 .AB=10 BC=V102-82=6 .'sin 4=3 5 .DE∥BC, .∠B=∠AED, sin∠AED=4 5，∠ADE=∠C=90°， ,点D关于直线AB的对称点为F, .DG⊥AB,DF=2DG 设DG=3a,在RIAADG中， .AD=BE=5a,AG=4a, 在RIAEDG中， :sin∠AED= 4 DG 3a 5 DEDE 答案第9页（共2页） :DE=15 GE-9 , AB=AG+GE+BE=4a 4a+50=10 9 解得：a=8 .DF=2DG=6a=16 ;…4分 (2),点D在线段BC上时，△BDE与△BCA相似， ∴分两种情况： 当∠BED=90°时，如图所示：此时点E与点G重合， G (E) C B .sinB=4 , 设DG=4b, .'BD=5b,BE=3b CD=BE. ∴.CD=3b」 .CD:BD=3b:5b=3:5; 当∠BDE=90°时，如图所示： E ! G---- C B D 答案第10页（共2页） .sinB=4 5 设DE=4b. .BE=5b,BD=3b .CD=BE .'.CD=5b. .CD:BD=5b:3b=5:3 综上可得：CD:BD的值为3：5或5：3；9分 (3)点D关于直线AB的对称点为F, ∴.△DEF为等腰直角三角形， :点D在边AC或BC上（不与A、C重合）， ∴分两种情况分析： 当点D在边AC上时，点E在DF的上方时，如图所示： B 由(1)得simA=3 .设DG=3C, ..AD=5c,AG=4c,GF DG=3c. ,△DEF为等腰直角三角形， ..EG=3c, .AE=4c-3c=c, AD=BE, ∴.AD=BE=5C, .'AB=AE+BE =5c+c=6c=10. 5 解得：c=3, 答案第11页（共2页) :AD=5c=2空>8=AC 3 .不符合题意，舍去： 点E在DF的下方时，如图所示： A G O B 同理得：AE=4c+3c=7c,AD=BE=5C, .AB=AE+BE=5c+7c=12c=10. 5 解得：c 69 .D=5c=25 6 8=AC,符合题意： DF=2DG=6e=5,GE=3c=5 2, ADEF的面积为：2 F.EG=25 : 当点D在边BC上时，点E在DF的上方时，如图所示： E G 1 B D 4 .sin B= 5, .设DG=4c, .BD=5c,BG=3c,GF=DG=4c. .CD=BC-BD=6-5c. ,△DEF为等腰直角三角形， 答案第12页（共2页) ∴.EG=4c, .'BE=BG+EG=4c+3c=7c, .AD=BE ∴.AD=BE=7c, AD2 CD2+AC2 :(7e'=(6-5}+8 解得，c5+5V 12,(负值舍去) .DF=2DG=8c=03,E=4c=-15+5V33 3， Dp.EG=350-503 ∴.△DEF的面积为：2 3； 当点D在边BC上时，点E在DF的下方时，不符合题意，舍去： 350-50N3325 综上可得：△DEF的面积为3或4.…14分 答案第13页（共2页） 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-29章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．在直角坐标平面内有一点与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 6．以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．已知，则的值是_________. 8．二次函数的顶点坐标是______． 9．在中，，如果，，那么_______． 10．如图，，，，，那么的长为_________． 11．下列函数中，随着的增大而减小的有_________. ①；②；③；④；⑤ 12．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 13．如图，在梯形ABCD中，，，，则_______． 14．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 15．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“>”连接）． 16．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为__________． 17．在等腰三角形中，，，点为边的三等分点．将沿翻折，得到，直线与直线交于点，则_____． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．计算： 19．二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 20．以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． (1)如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； (2)利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 21．《周髀算经》是我国古代的一部天文学与数学著作，大约成书于公元前5到7世纪之间，其利用数学测算日月运行等，在唐代时成为国子监教材．其中记载了在夏至日利用日晷影长测算大地南北长度的方法，并归纳出“影差一寸，地差千里”的规律．学校数学社团“队”，为了验证该规律进行了以下的数学实验． 如图，为路灯灯泡，为地面，，米，当长为1米且垂直地面的木杆、分别放置在点、时，影长分别为、，、、、在一条直线上，为“影差”，为“地差”． (1)在路灯下，如果米，米，求这时的“影差”与“地差”． (2)在路灯下，对于任意的两点、，“影差”与“地差”的关系是否确定？如果确定，有怎样的关系？如果不确定，请说明理由． 22．已知：如图，在Rt中，，平分，点在边上，与相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 23．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接、．当的面积最大时，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，求H点坐标。 24．在中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、． (1)如图1，当点在边上时，如果，，求的长； (2)当点在线段上时，如果与相似，，求的值； (3)如果是直角三角形，，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-29章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 2．在直角坐标平面内有一点与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义． 根据点的坐标，先计算的长度，再利用直角三角形中三角函数的定义判断各选项。 【详解】解：由题意得，如图所示， ∴， ∴， ， ， ， 故选A． 3．如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及相似三角形的判定与性质，由题意可知，根据得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：A．若，无法判定，故该选项不符合题意， B．若，无法判定，故该选项不符合题意， C．若，无法判定，故该选项不符合题意， D．∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意， 故选：D． 4．将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移方法即可进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 5．已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【详解】函数为 ， 对于：当时，，为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，错误； 对于：当时，，过原点，但斜率，图像经过第二、四象限，不经过第一、三象限，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴左侧，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴右侧，正确． 故选． 6．以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．已知，则的值是_________. 【答案】/0.25 【分析】本题考查比例性质、分式的求值，由已知条件可得与的比例关系，通过设参数代入分式求值即可． 【详解】解：由得， 设，（），代入分式，得 ． 故答案为：． 8．二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是．据此求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 9．在中，，如果，，那么_______． 【答案】2 【分析】本题考查解直角三角形等知识．根据，得到，根据勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 10．如图，，，，，那么的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例得到，进而将，，，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 11．下列函数中，随着的增大而减小的有_________. ①；②；③；④；⑤ 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，根据一次函数、反比例函数和二次函数的增减性进行判断.一次函数中，当比例系数小于0时，y随x增大而减小；反比例函数中，当比例系数大于0时，在各自象限内y随x增大而减小；二次函数中，当二次项系数小于0且x在对称轴右侧时，y随x增大而减小. 【详解】解：①是一次函数，，因此随增大而减小； ②是一次函数，，因此随增大而增大； ③是反比例函数， ，在或时，随增大而减小； ④ 是反比例函数，，在或时，随增大而增大； ⑤ ()是二次函数，二次项系数，对称轴为轴，当时，随 增大而减小. 故答案为：①③⑤ 12．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 【答案】 【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式． 13．如图，在梯形ABCD中，，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用含有度角的直角三角形的性质得出，再证明，从而可利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（）， 的长度为8cm， ， ． 故答案为：． 15．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质的性质是解题的关键． 根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为__________． 【答案】26 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系． 证明，根据相似三角形的性质得出和的关系，再求周长即可． 【详解】解：如图，设与交于点E， ∵矩形内接于中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 矩形的周长为． 故答案为：26． 17．在等腰三角形中，，，点为边的三等分点．将沿翻折，得到，直线与直线交于点，则_____． 【答案】或 【分析】如图所示，过点作于点，在等腰三角形中，，，得出，设，，根据勾股定理得出，根据点为边的三等分点．得出或，①当时，如图，根据折叠可得，，则，证明，得出，设，则，得出，即可求解．②当时，如图，根据折叠可得，，从而得，证明，得出，设，则，得出，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵在等腰三角形中，，， ， ∴设， 则， ， ∵点为边的三等分点． ∴或， 当时，如图， ∵将沿翻折，得到， ∴， ， ∵将沿翻折，得到与交于点， ， ∵， ， 又， 设， 则， ， ， ． 当时，如图， ∵将沿翻折，得到， ∴， ， ∵将沿翻折，得到与交于点， ， 又， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算、分母有理化等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先运用特殊角的三角函数值化简，然后再运用实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 19．二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 20．以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． (1)如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； (2)利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴小明的画法是正确的； (2)如图所示，则点即为所求； 【分析】本题考查了无刻度网格作图，相似三角形的性质与判定，求正弦； （1）根据得出，进而得出，勾股定理求得，即可得证； （2）取格点，连接交于点，则点即为所求，根据（1）的方法证明即可求解；取格点，连接，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取格点，连接交于点； 连接， ∵ ∴ ∴ ∴， 如图所示，取格点，连接， 在中， ∴ ∴ 21．《周髀算经》是我国古代的一部天文学与数学著作，大约成书于公元前5到7世纪之间，其利用数学测算日月运行等，在唐代时成为国子监教材．其中记载了在夏至日利用日晷影长测算大地南北长度的方法，并归纳出“影差一寸，地差千里”的规律．学校数学社团“队”，为了验证该规律进行了以下的数学实验． 如图，为路灯灯泡，为地面，，米，当长为1米且垂直地面的木杆、分别放置在点、时，影长分别为、，、、、在一条直线上，为“影差”，为“地差”． (1)在路灯下，如果米，米，求这时的“影差”与“地差”． (2)在路灯下，对于任意的两点、，“影差”与“地差”的关系是否确定？如果确定，有怎样的关系？如果不确定，请说明理由． 【答案】(1)“影差”为1米,“地差”为5米 (2)“影差”与“地差”有一定的数量关系，即“地差”是“影差”的5倍． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． （1）分别证明，，运用相似三角形的性质可得结论； （2）思路与方法同（1）可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵（米），（米），（米）， ∴， ∴（米）， ∴（米）； 同理可证， ∴， ∵（米），（米），（米）， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴这里的“影差”为（米）, “地差”为（米） （2）解：设，，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵为“影差”， 为“地差”， 所以，“影差”与“地差”有一定的数量关系，即“地差”是“影差”的5倍． 22．已知：如图，在Rt中，，平分，点在边上，与相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴，即． (2) 解：过作于． 由（1）得， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵，， ∴，， ∴． ∴，即． ∵， ∴，即． 【分析】（1）将已知条件转化为比例式，结合角平分线得到的角相等，证明三角形相似，再利用直角三角形内角和及相似三角形的性质证明． （2）作辅助线，先利用（1）中相似得到角相等，进而证明等腰三角形，得到线段关系，再证明另一组三角形相似，通过相似性质推导结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接、．当的面积最大时，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，求H点坐标。 【答案】(1) (2)的最大值， (3)， 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）由原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，可得平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于，    设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； （3）解：∵抛物线沿水平向右平移个单位，向下平移个单位，得到新抛物线， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， 24．在中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、． (1)如图1，当点在边上时，如果，，求的长； (2)当点在线段上时，如果与相似，，求的值； (3)如果是直角三角形，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】题目主要考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意得出，，，再由平行线的性质得出，设，利用三角函数求解得出，然后建立方程求解即可； （2）根据相似三角形的性质得出分两种情况：当时，当时，画出相应图形，然后结合图形求解即可； （3）根据题意得出为等腰直角三角形，分两种情况分析：当点在边上时，点E在的上方时，点E在的下方时；当点在边上时，点E在的上方时，点E在的下方时，分别画出相应的图形，然利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， 设，在中， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵点在线段上时，与相似， ∴分两种情况： 当时，如图所示：此时点E与点G重合， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可得：的值为或； （3）∵点关于直线的对称点为， ∴为等腰直角三角形， ∵点在边或上（不与、重合）， ∴分两种情况分析： 当点在边上时，点E在的上方时，如图所示： 由（1）得， ∴设， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去； 点E在的下方时，如图所示： 同理得：，， ∴， 解得：， ∴，符合题意； ∴， ∴的面积为：； 当点在边上时，点E在的上方时，如图所示： ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， ∴的面积为：； 当点在边上时，点E在的下方时，不符合题意，舍去； 综上可得：的面积为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $