期中复习压轴专题01 解答题分类训练（16种类型80道）（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版八年级，16种类型80道） 范围：第19章—第20章 知识点一 利用算数平方根的非负性解题 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根． 2．（25-26八年级下·四川内江·期中）先化简，再求值： ，其中实数 x、y 满足 ． 3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 4．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数p的两个平方根分别是和． (1)求p和a的值； (2)若，求的算术平方根． 知识点二 利用平方根/立方根解方程 6．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）解方程： (1) (2) 7．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 知识点三 与立方根有关的规律探索 11．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 12．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 13．（25-26七年级下·云南·期中）阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，， ， ， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数， 而， 则，可得． 由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 14．（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 15．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 知识点四 算术平方根和立方根综合 16．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）已知一个正数a的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a和b的值． (2)求的平方根． 17．（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 18．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 19．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 20．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 知识点五 算术平方根的整数部分和小数部分 21．（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知一正数的平方根是与，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 22．（25-26七年级下·河南许昌·期中）阅读材料： ， 的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的立方根． 23．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）[相关资料]：已知，则，所以的整数部分为，小数部分为 ． [问题探究]：的小数部分为，的小数部分为， (1)根据资料提示计算在哪两个相邻的整数之间？ (2)求 的值． 24．（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 25．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， ∴的整数部分为2，小数部分为 请回答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 知识点六 实数与数轴 26．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 27．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 28．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，将面积分别为10和6的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为________，小数部分为________． (3)记的整数部分是x，小数部分是y，求x和y的值． 29．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 30．（25-26七年级下·山东临沂·期中）图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 知识点七 程序设计与实数计算 31．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 32．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 33．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 34．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 35．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 知识点八 实数的大小比较 36．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 37．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 38．（25-26七年级下·北京·期中）按要求解答问题： (1)如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 39．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 40．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 知识点九 利用二次根式的性质化简 41．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 42．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 43．（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 44．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 45．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 知识点十 复合二次根式 46．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 47．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 48．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】小宇在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小宇进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，，这样小宇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小宇的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)若，当，、，均为整数时，则________，________．（均用含x，y的式子表示） (2)若，且，，均为正整数，分别求出，，的值； 【拓展延伸】 (3)化简________． 49．（25-26八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且 ，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 50．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 知识点十一 分母有理化 51．（26-27八年级上·贵州·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 (1)根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 (2)利用以上规律，计算： 【拓展应用】 (3)如果有理数a，b满足，试求： 的值． 52．（26-27八年级上·辽宁·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简： ， （为正整数）； (2)请根据上面的结论，计算下列算式的结果：． 53．（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 54．（26-27八年级上·海南·期中）阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 55．（26-27八年级上·江西·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____（因式分解）． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 知识点十二 二次根式的混合运算 56．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 57．（26-27九年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2) 58．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1) (2) 59．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1)； (2)． 60．（26-27九年级上·吉林·期中）计算： (1) (2) 知识点十三 二次根式的应用 61．（26-27八年级上·四川·期中）北师大版八年级上册数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有面积公式（海伦公式）和（秦九韶公式）．请选择合适的公式解决以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． (2)若一个三角形边长依次为5，6，7，求这个三角形三条边上的高之和． 62．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 63．（25-26八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛，是我们必须杜绝的行为．据研究，物体从高度为（单位：）的高空抛出，其下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)物体从高空抛出到落地所需时间是多少？ (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 64．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 65．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 知识点十四 实数的混合运算 66．（26-27八年级上·河南·期中）计算： (1)； (2)． 67．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)． (2)． 68．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 69．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 70．（26-27八年级上·河南平顶山·期中）计算： (1) (2)，求x的值 (3) (4) 知识点十五 与实数相关的规律题 71．（25-26八年级下·北京大兴·期中）观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； (2)用含（是整数且）的式子表示第个等式 ，并证明． 72．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 73．（25-26七年级下·山东滨州·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 74．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 75．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 知识点十六 新定义下的实数运算 76．（25-26八年级下·北京·期中）已知，都是正整数，现定义新运算：． (1)计算：= ， ； (2)若 ，则的值为 ． 77．（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读：我们可以用表示不大于的最大整数，例如 ， ， 等． 是大于的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 ①． (1)填空： ________； (2)利用不等式①，求满足的所有解． 78．（25-26七年级下·四川巴中·期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如： (1)填空：____（用含，的代数式表示）： (2)若，， ①求与的值； ②若，求出此时的值． 79．（25-26七年级下·广西柳州·期中）【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 80．（25-26七年级下·山东德州·期中）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分．如：，2.13的小数部分为． (1)________，________，的小数部分为________． (2)设的小数部分为，则________． (3)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版八年级，16种类型80道） 范围：第19章—第20章 知识点一 利用算数平方根的非负性解题 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 2．（25-26八年级下·四川内江·期中）先化简，再求值： ，其中实数 x、y 满足 ． 【答案】， 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，根据非负数的性质计算得出，，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴原式． 3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)代数式的值为 【详解】（1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . 4．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 【详解】（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数p的两个平方根分别是和． (1)求p和a的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可． 【详解】解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和， 所以，解得． 将代入，得． 所以； （2）因为，且， 所以． 因为，，，且它们的和为0， 所以，，， 解得，，． 所以， 因此的算术平方根为． 知识点二 利用平方根/立方根解方程 6．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 7．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 8．（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 9．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 10．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 知识点三 与立方根有关的规律探索 11．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 12．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 13．（25-26七年级下·云南·期中）阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，， ， ， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数， 而， 则，可得． 由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 【答案】(1)45 (2)三，0，840 【详解】（1）解：∵，，而， ∴立方根是两位数； 立方数的个位是5，只有个位为5的数，立方的个位才是5， ∴立方根的个位是5； 去掉 91125后三位，得到91， ∵，，且， ∴十位是4； 综上，91125的立方根是45； （2）解：∵，，而， ∴立方根是三位数； 立方数的个位是0，只有个位为0的数，立方的个位才是0， ∴立方根的个位是0； 去掉592704000后三位，得到592704； 求592704的立方根：因其个位是4，故其立方根的个位是4； 去掉592704的后三位得到592， ∵，，且， ∴其立方根的十位是8； ∴592704的立方根是84； ∴592704000的立方根是840． 14．（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 15．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解： ，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 知识点四 算术平方根和立方根综合 16．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）已知一个正数a的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a和b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正数平方根的性质列方程求x，进而求出a，再结合立方根的定义求b即可； （2）将a、b的值代入代数式求出代数式的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数a的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， 将代入，得， 解得． （2）解：将、代入得， ∵， ∴的平方根是． 17．（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 18．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程，求出的值，再求出正数即可； （2）根据立方根的定义求出值，再代入代数式求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的立方根为 ∴， 解得：， ∴，16的平方根为， ∴的平方根为． 19．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 20．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 知识点五 算术平方根的整数部分和小数部分 21．（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知一正数的平方根是与，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再根据立方根的定义求出的值，通过估算无理数的大小得到它的整数部分； （2）计算并求它的平方根． 【详解】（1）解 ∵一个正数的两个平方根互为相反数，和为0 ∴ 整理得， 解得 ∵的立方根是3 把代入得，解得 ∵， 可得 由题意可知是的整数部分， 因此 （2） ∵ ∴的平方根是 即的平方根为． 22．（25-26七年级下·河南许昌·期中）阅读材料： ， 的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的取值范围，即可求解； （2）求出的取值范围，进而得出a，b的值，代入计算出的值，最后再求立方根即可． 【详解】（1）解： ， ，即， 的整数部分为8，的小数部分为． （2）解： ， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， ． 23．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）[相关资料]：已知，则，所以的整数部分为，小数部分为 ． [问题探究]：的小数部分为，的小数部分为， (1)根据资料提示计算在哪两个相邻的整数之间？ (2)求 的值． 【答案】(1)和之间 (2) 【分析】（）根据资料方法解答即可求解； （）根据资料方法求出的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在整数和之间； （2）解：∵在整数和之间， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， 又∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【答案】(1)3，；3 (2)0 【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小，进而得出a的值，估算无理数的大小，进而得出b的大小，再代入计算即可得出的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∵， ∴， ∴的整数部分是3； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴， 又0的平方根是0， ∴的平方根是0． 25．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， ∴的整数部分为2，小数部分为 请回答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)6； (2)2 【分析】（1）根据题目的例子求解即可； （2）根据题目的例子求出的小数部分和的整数部分，进而可得a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为6，小数部分为； （2）解：，， ∴，， ∴的小数部分为，的整数部分为9， ∴， ∴ ． 知识点六 实数与数轴 26．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)π (2)，理由如下： 因为， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆的周长为π个单位长度， ∴点对应的数是π． （2）略 27．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 28．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，将面积分别为10和6的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为________，小数部分为________． (3)记的整数部分是x，小数部分是y，求x和y的值． 【答案】(1)；． (2)2； (3)，． 【分析】本题考查了算术平方根、数轴上的点与实数的对应关系、无理数的整数部分与小数部分的求解，解题的关键是利用正方形面积求边长，再结合夹逼法确定无理数的整数部分与小数部分． （1）由正方形面积求边长，再根据数轴上点的位置确定表示的数； （2）用夹逼法估算的范围，确定其整数部分与小数部分； （3）用夹逼法估算的范围，进而确定的整数部分与小数部分． 【详解】（1）解：∵ 面积为10的正方形边长为，点A在原点左侧， ∴ 点A表示的数为． ∵ 面积为6的正方形边长为，点B在原点右侧， ∴ 点B表示的数为． （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为2，小数部分为． （3）解：∵ ， ∴ ， 即， ∴ 的整数部分， 小数部分． ∴ ，． 29．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 30．（25-26七年级下·山东临沂·期中）图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）分割法求出正方形的面积，进而求出正方形的边长即可； （2）根据两点间的距离进行求解即可； （3）作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：格点正方形的面积为， 故边； （2）解：由（1）和作图可知：，点表示的数为1， ∴点表示的数为； （3）解：，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 知识点七 程序设计与实数计算 31．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 32．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 33．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 34．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 【答案】(1)4； (2)4 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此代值计算即可； （2）当时，，则可推出不符合题意；当时，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 当时，∵， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴此时， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴， 又∵a、b都是整数， ∴符合条件的a的值有2，3，4，5，共4个． 35．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 知识点八 实数的大小比较 36．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 37．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)方案二省料，选择方案二． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）由“比差法”计算与的差，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小即可； （3）利用“比差法”进行计算即可； （4）用代数式表示方案一、方案二的用料面积，再根据“比差法”进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ， ， ， 即； （4）解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，则方案一用料的面积为，方案二用料的面积为， ， 而型钢板的面积比型钢板大，即，也就是， ∴， ∴方案二省料，选择方案二． 38．（25-26七年级下·北京·期中）按要求解答问题： (1)如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】(1) (2)， (3)解：不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 由题意得，， 解得（负值舍弃）； 所以截出的长方形纸片的长为，宽为， 由于正方形纸片的面积为，则这个正方形纸片的边长为； ∵， 故， ∴， 故边长为的正方形纸片，无法裁出一个长为的长方形纸片； 即不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】（1）解：由拼图可得大正方形面积为，其边长为． （2）解：由拼图可知，小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：， 所以正方形的边长为． （3）略 39．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴， ∵， ∴． 知识点九 利用二次根式的性质化简 41．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 42．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)2022，2023， (2)1 (3)①；② 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴； （3）解：①由，得， ∴， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 43．（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】先将根号内的多项式整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，根据的大小判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后计算即可得到结果． 【详解】解： ， 根据二次根式的性质化简得：原式 ， ∵， ∴， ， ∴ 原式． 44．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴上各点的位置有：，，再利用绝对值的意义和二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴ ． 45．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)； 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 （3）解：∵ ∴ 当时 原式 知识点十 复合二次根式 46．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （3）将已知等式两边分别平方，根据对应相等，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 47．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 48．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】小宇在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小宇进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，，这样小宇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小宇的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)若，当，、，均为整数时，则________，________．（均用含x，y的式子表示） (2)若，且，，均为正整数，分别求出，，的值； 【拓展延伸】 (3)化简________． 【答案】(1)；； (2)，，或，，； (3)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算和完全平方公式，根据题目特点，灵活运用二次根式的性质． （1）利用完全平方公式展开可得到用、表示出、； （2）根据完全平方公式和二次根式的计算，以及结合，，均为正整数，得，再分情况讨论，求得； （3）根据二次根式和完全平方公式，可知，，再利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：；． （2）解：， ，， ， ，，均为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，； 故，，或，，． （3） 故答案为． 49．（25-26八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且 ，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 50．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点十一 分母有理化 51．（26-27八年级上·贵州·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 (1)根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 (2)利用以上规律，计算： 【拓展应用】 (3)如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】(1) (2)2025 (3) 【分析】（1）根据所给等式解答即可． （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再将所求式分母有理化找到规律，然后化简计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3）∵， 由二次根式的性质可得，解得， 代入得，解得， 当、时， 原式， 上式每一项可写为 ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴原式可写为， ， ． 52．（26-27八年级上·辽宁·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简： ， （为正整数）； (2)请根据上面的结论，计算下列算式的结果：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过分母有理化化简算式； （2）利用第（1）小题的结论将每一项裂项，通过求和相消计算结果即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：由（1）可得：，其中为奇数且从到， ． 53．（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式进行分母有理化，再计算即可求出式子的值； （2）先通分，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将与进行转化，再进行比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 即． 54．（26-27八年级上·海南·期中）阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意可得，分子分母同时乘以即可求解； （2）由（1）可知，对于每个正整数，都有，根据此结论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：由（1）知，对于每个正整数，都有， ∴ ． 55．（26-27八年级上·江西·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____（因式分解）． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子中的每一项的分母先进行二次根式化简，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②． （2）解：∵ ， ∴ ． （3）解： ． 知识点十二 二次根式的混合运算 56．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式、绝对值，利用完全平方公式计算，再加减运算即可解答； （2）先进行二次根式的除法和平方差公式运算，再加减运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 57．（26-27九年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 58．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2)2 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 59．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 60．（26-27九年级上·吉林·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点十三 二次根式的应用 61．（26-27八年级上·四川·期中）北师大版八年级上册数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有面积公式（海伦公式）和（秦九韶公式）．请选择合适的公式解决以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． (2)若一个三角形边长依次为5，6，7，求这个三角形三条边上的高之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用秦九韶公式计算即可； （2）利用海伦公式求出三角形的面积，再利用三角形面积公式求出这个三角形三条边上的高，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，，， ，， ∴这个三角形的面积． （2）解：由题意，得，，， ， ∴这个三角形的面积 ， ∴这个三角形三条边上的高之和为． 62．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 63．（25-26八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛，是我们必须杜绝的行为．据研究，物体从高度为（单位：）的高空抛出，其下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)物体从高空抛出到落地所需时间是多少？ (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)． (2)能量为；启示：高空抛物危害极大，需坚决杜绝． 【分析】（1）将代入公式计算落地时间． （2）先由下落时间求出下落高度，再代入能量公式计算能量，结合杀伤人体所需能量得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 将代入，得 ． 答：物体从高空抛出到落地所需时间为． （2）解：下落时间，且， ， 解得． 将物体质量，高度代入能量公式，得 ， 高空抛物具有很大危险性，必须杜绝． 答：这串钥匙下落过程中所带能量为，启示为高空抛物危害大，需坚决杜绝． 64．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 65．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】(1) (2)面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 知识点十四 实数的混合运算 66．（26-27八年级上·河南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）解：； （2）解： ． 67．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后相乘即可求解． （2）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ． 68．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 69．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 70．（26-27八年级上·河南平顶山·期中）计算： (1) (2)，求x的值 (3) (4) 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： 或； （3）解： ； （4）解： ． 知识点十五 与实数相关的规律题 71．（25-26八年级下·北京大兴·期中）观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； (2)用含（是整数且）的式子表示第个等式 ，并证明． 【答案】(1) (2) 解：第个等式为， 证明：左边右边， ∴等式成立． 【分析】（1）仿照等式的规律写出第5个等式即可； （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过二次根式的性质化简证明等式成立即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式：； （2）略 72．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 73．（25-26七年级下·山东滨州·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）先观察已知等式的结构，猜想的结果，再通过计算验证猜想的正确性． （2）通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式． （3）先利用（2）的规律将每个根式化简，再结合裂项相消的规律，对式子进行求和计算． 【详解】（1）解：猜想：． 验证： . （2）解：通过观察等式①②③，可得规律： .（为正整数） （3）解： ． 74．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)89 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 75．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 知识点十六 新定义下的实数运算 76．（25-26八年级下·北京·期中）已知，都是正整数，现定义新运算：． (1)计算：= ， ； (2)若 ，则的值为 ． 【答案】(1)； (2)64或4 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，则； ，则 ，则； （2）解：当时， 解得， 经检验，符合题意； 当时， 解得， 经检验，符合题意 综上：的值为64或4． 77．（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读：我们可以用表示不大于的最大整数，例如 ， ， 等． 是大于的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 ①． (1)填空： ________； (2)利用不等式①，求满足的所有解． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据定义，表示不大于x的最大整数，不大于的最大整数是． （2）将代入题干给出的不等式，得到关于x的一元一次不等式组，求出x的取值范围后，结合是整数的性质，即可求出所有满足条件的解． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴， 解不等式，解得， 解不等式，解得， ∴， ∴， ∴， ∵表示不大于的最大整数， ∴或， 解得或． 78．（25-26七年级下·四川巴中·期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如： (1)填空：____（用含，的代数式表示）： (2)若，， ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①3，1；②1 【分析】（1）根据新运算T的计算方法计算即可； （2）①将，转化为方程组，求解即可； ②将转化为方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：①，, ． 整理得：, 解得：． ②∵，, ， ∴, 解得：． 79．（25-26七年级下·广西柳州·期中）【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，， ，其结果15，10，6都是整数， ，，这三个互不相等的负整数是“完美组合数”． (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①当时，， 解得不符合题意，舍去； ②当时，， 解得， 此时，， 且结果10，40，20都是整数，，，这三个数是“完美组合数”，符合题意． 综上所述，． 80．（25-26七年级下·山东德州·期中）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分．如：，2.13的小数部分为． (1)________，________，的小数部分为________． (2)设的小数部分为，则________． (3)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）先求得的范围，根据新定义得出，的值，根据的小数部分为，即可求解． （2）根据新定义得出，代入计算，即可求解． （3）先估算的大小，根据已知得出的值，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：表示不大于的最大整数，， 表示不大于的最大整数，， ； 的小数部分为 （2）∵设的小数部分为， ∵ ∴ ∴ （3）解：∵， ， 即， ，其中是整数，且， ，， ， 的绝对值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $