3.3.1抛物线及其标准方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 抛物线是圆锥曲线的一种，仍具有丰富的几何性质，在科研、生产和 人类生活中具有广泛的应用。那么，在之前研究椭圆和双曲线的过程中， 我们的研究思路是什么？ 前情回顾 现实生活中的抛物线 前情回顾 学 习 目 标 1 2 3 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 掌握抛物线的准线、焦点坐标，会求标准方程. 能用抛物线的定义和标准方程解决简单实际问题. 我们一起来探究“抛物线及其标准方程”吧！ 读教材 阅读课本P130-P131，5分钟后完成下列问题： 1.平面内满足什么条件的动点的轨迹是抛物线？ 2.抛物线中代表什么含义？ 3.抛物线的标准方程是什么？怎么确定焦点位置？ 新课引入 平面内到定点的距离与到定直线 的距离的比是常数（ ） 的点的轨迹是椭圆. 平面内到定点的距离与到定直线 的距离的比是常数（ ） 的点的轨迹是双曲线. 当时，轨迹是？ 学习过程 01 03 02 目录 1 抛物线的定义 2 题型训练 新知探究1 抛物线 点随运动，观察点M的轨迹是什么？ F ∟ E 概念 抛物线的定义 抛物线的定义： 我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. ●点叫做抛物线的焦点 ●直线叫做抛物线的准线. 思考：若直线过点，则点的轨迹是 ____________________ . 过点且与垂直的直线 新知探究2 探究2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系， 能使所求抛物线的方程形式简单？ 问题1：如何求抛物线的标准方程？ 求曲线方程的一般步骤： 建系 设点 列式 化简 新知探究2 1：如图，设焦点与准线间的距离， 那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 问题1：如何求抛物线的标准方程？ ，所以 将上式两边同时平方并化简，得 新知探究2 2：如图，设焦点与准线间的距离， 那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 问题1：如何求抛物线的标准方程？ ，所以 将上式两边同时平方并化简，得 新知探究2 3：如图，设焦点与准线间的距离， 那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 问题1：如何求抛物线的标准方程？ 因为，所以 将上式两边同时平方并化简，得 新知探究2 问题2 从数学简洁美的角度，你认为应该选择那一个方程作为抛物线的标准方程？ 我们把方程叫做抛物线的标准方程. 焦点是，准线是的抛物线. 概念 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程： 我们把方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. 1.的几何意义：焦点到准线的距离 2.对称轴： 轴 3.开口方向：向右 4.顶点：(0,0) 5.焦点，在轴正半轴上 6.准线： 概念辨析 四种抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 注意 焦点到准线的距离 练习巩固 解：(1)由题意得则焦点在的正半轴，， 标准方程为； (2)由题意得准线方程是则焦点在的正半轴，， 标准方程为； (3)若焦点在轴上，则标准方程为； 若焦点在轴上，则标准方程为. 练习1 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是(3,0)； (2)准线方程是； (3)焦点到准线的距离是2. 练习巩固 练习2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 解：(1)焦点坐标为：； 准线方程为：. (2)焦点坐标为：； 准线方程为：. (3)焦点坐标为：； 准线方程为：. (4)焦点坐标为：； 准线方程为：. 练习巩固 练习3 抛物线到焦点的距离是()， 则点到焦点的距离是点横坐标是 解：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则点到焦点的距离也是点横坐标是. 练习巩固 练习4 抛物线焦点的距离等于9的点的坐标是 解：抛物线的准线方程为 若抛物线焦点的距离等于9，则的横坐标是6， 代入方程得：，的坐标是(6,). (6,) 学习过程 01 03 02 目录 1 抛物线的定义 2 题型训练 求抛物线的标准方程 题型1 题型探究 例1 根据下列条件，分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在 轴上，焦点到准线的距离为5； (2)经过点 ； (3)焦点为直线 与坐标轴的交点. 解：(1)抛物线的焦点在轴上，可设抛物线的标准方程为 ， 由焦点到准线的距离为5，知，即 ， 所以满足条件的抛物线有两条， 它们的标准方程分别为和 . 求抛物线的标准方程 题型1 题型探究 例1 根据下列条件，分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在 轴上，焦点到准线的距离为5； (2)经过点 ； (3)焦点为直线 与坐标轴的交点. 解：(2)因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为 或 . 若抛物线的标准方程为，则由，解得 . 若抛物线的标准方程为，则由，解得 ， 所以抛物线的标准方程为或 . 求抛物线的标准方程 题型1 题型探究 例1 根据下列条件，分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在 轴上，焦点到准线的距离为5； (2)经过点 ； (3)焦点为直线 与坐标轴的交点. 解：(3)对于直线方程，令，得； 令，得 .所以抛物线的焦点为或 . 当焦点为时，设抛物线方程为，则， 所以 ，此时抛物线的标准方程为 ； 当焦点为时，设抛物线方程为，则， 所以 ，此时抛物线的标准方程为 . 所以抛物线的标准方程为或 . 求抛物线的标准方程 题型1 题型探究 例2 焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程？ 解：设，由定义得，所以. 例3 抛物线上一点的横坐标为，该点到准线的距离为6， 求该抛物线的标准方程？ 解：，所以，将代入抛物线方程得：，解得， 所以抛物线的标准方程为或. 抛物线方程的简单应用 题型2 题型探究 例4 已知抛物线 的焦点为，准线为，与轴平行的直线与准线 和抛物线分别交于两点，且若，则 A.2 B.2 C.2 D. 4 解：由抛物线的定义可知 ，所以为等边三角形， 设准线与轴交于点，则 2，30°， 所以 ＝ ＝2 ＝4. 故选D. D 抛物线方程的简单应用 题型2 题型探究 例5 已知是抛物线上的一个动点，求点到点的距离与 点到该抛物线准线 的距离之和的最小值？ 解：如图，设点在抛物线准线的投影为点 ， 抛物线的焦点为，则， ， 由抛物线的定义知， 点 到该抛物线准线的距离 ， 点到点的距离与点 到该抛物线准线的距离 之和，故 的最小值为 . 抛物线方程的简单应用 题型2 题型探究 例6 已知为抛物线的焦点，为抛物线上的任意一点，点 ， 的最小值？ 解： ， 当且仅当为 与抛物线的交点时取得等号， 的最小值为 . 课堂小结 四种抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 注意 焦点到准线的距离 感谢聆听! Lavf58.76.100 $