3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕抛物线的定义、标准方程及应用展开，通过课前预习诊断（判断正误）衔接二次函数图象旧知，课中以定义应用、求标准方程、实际问题为学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其特色在于结合数学眼光（实际问题建模）与数学思维（定义转化推理），通过隧道横断面、探照灯反射镜等实例，采用探究式教学，素养小结提炼方法。学生提升应用与创新意识，教师可直接使用分层习题与实例素材，提高教学效率。

3.3 抛物线 1 3.3.1 抛物线及其标准方程 2 探究点一 抛物线的定义及应用 探究点二 求抛物线的标准方程 探究点三 抛物线的实际应用问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.会识别抛物线的定义和相关概念，知道二次函数的图象符合抛 物线的定义，能初步应用抛物线定义解决一些简单问题. 2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据抛 物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程. 3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程，能说出 标准方程中一次项系数的意义. 4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题. 4 知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离______的点 的轨迹叫作抛物线.点叫作抛物线的______,直线 叫作抛物线的 _______. 相等 焦点 准线 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( ) √ （2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( ) √ （3）抛物线的焦点可以在准线上.( ) × [解析] 抛物线的焦点不可能在准线上. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）平面内与定点和一条定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线. ( ) × [解析] 只有当点不在直线 上时，满足条件的点的轨迹才是抛物线. 课 前 预 习 7 知识点二 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 _ _____ ________ ______ ________ 准线方程 ________ ______ ________ ______ 的几何意义 焦点到准线的距离 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数.( ) × [解析] 抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标准方程为,对任意一个, 的值不唯一,所以不是二次函数. （2）抛物线的原点到准线的距离是 .( ) × [解析] 原点到准线的距离是 . 课 前 预 习 9 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( ) √ [解析] 若一次项是含 的项,则当一次项系数大于0时，抛物线的开口向右,当一次项系数小于0时，抛物线的开口向左;若一次项是含 的项, 则当一次项系数大于0时，抛物线的开口向上,当一次项系数小于0时，抛物线的开口向下. 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）方程 是抛物线的标准方程.( ) × [解析] 方程 表示的抛物线的标准方程是 . 课 前 预 习 11 探究点一 抛物线的定义及应用 例1（1）一动圆过点且与直线： 相切，则该动圆圆心 的轨迹为( ) A.抛物线 B.椭圆 C.直线 D.圆 [解析] 设动圆圆心的坐标为，则圆心到点 的距离与到直线 的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线.故选A. √ 课 中 探 究 12 （2）若抛物线上的点到其焦点 的距离为3， 则实数 的值为( ) A.2 B.3 C. D. [解析] 抛物线的焦点为，准线方程为 . 因为抛物线上的点到其焦点 的距离为3，所以根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为3，即，解得 . 因为点是抛物线上的点，所以，又，则 .故选C. √ 课 中 探 究 13 变式（1）已知抛物线的焦点为，是 上一点， ，则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 [解析] 由题意知，抛物线的准线方程为. 因为 ，所以根据抛物线的定义可得，解得 .故选A. √ 课 中 探 究 14 （2）[2026· 吉林省实验中学高二月考] 若点到点 的距离比它 到直线的距离大1，则点 的轨迹方程为________. [解析] 因为点到点的距离比它到直线 的距离大1，所以点到点的距离等于它到直线 的距离. 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线 为准线的抛物线，即抛物线的焦点在轴正半轴上，且，故，所以点 的轨迹方程为 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 利用抛物线的定义可以解决以下两类问题: （1）点的轨迹问题：利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找 到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上 的条件. （2）抛物线的焦半径问题：利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦 点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大（小） 值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三 角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等. 课 中 探 究 16 拓展 设点是抛物线 上的一个动点. （1）求点到的距离与点到直线 的距离之和的最小值； 解：易知抛物线的焦点为，准线方程为 ，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点 的距离, 所以问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点 到 的距离之和最小. 连接，易知当点为与抛物线的交点且在，之间时，点 到的距离与点到直线 的距离之和最小，最小值为 . 课 中 探 究 17 拓展 设点是抛物线 上的一个动点. （2）若，求 的最小值. 解：如图，过点作垂直准线于点，过点作 垂直准线于点 ，此时， ，由图可知， , 故 的最小值为4. 课 中 探 究 18 探究点二 求抛物线的标准方程 例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点到准线的距离是4； 解：由题意可知，故抛物线的标准方程为或 或或 . （2）焦点在轴上，且经过点 ； 解：设抛物线的标准方程为，将点 的坐标代入，得 , 所以，所以抛物线的标准方程为 . 课 中 探 究 19 例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （3）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点. 解：双曲线的标准方程为，其左顶点的坐标为 ，设抛物线的标准方程为 ，则,所以 ，所以抛物线的标准方程为 . 课 中 探 究 20 变式（1）焦点在直线 上的抛物线的标准方程为 ( ) A.或 B.或 C.或 D.或 [解析] 直线与坐标轴的交点为和 ，所以抛物线的焦点为或. 当焦点为 时，抛物线的标准方程为；当焦点为时，抛物线的标准方程为 .故选C. √ 课 中 探 究 21 （2）已知抛物线的焦点为， 上一点 满足，则抛物线 的方程为________. [解析] 依题意得，因为，所以 . 又，解得，所以抛物线的方程为 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ （1）求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上，进而求 方程的有关参数. （2）求抛物线的标准方程的方法： ①直接法，建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的 条件，列出对应方程，化简方程；②直接根据定义求<m></m>，然后写出标 准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程（组）求系数. 课 中 探 究 23 探究点三 抛物线的实际应用问题 例3 [2026·衡阳高二期中] 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展 巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛 物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图①（单位： ）. （1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的 对称轴为 轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 求该段抛物线 所在抛物线的方程. 课 中 探 究 24 解：设抛物线的方程为，由题知抛物线经过点 ，将点的坐标代入抛物线方程可得，解得 ，故抛物线所在抛物线的方程为 . 课 中 探 究 25 例3 [2026·衡阳高二期中] 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展 巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛 物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图①（单位： ）. （2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽 ，车 与集装箱总高 ，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 课 中 探 究 26 解：依题意，在抛物线上取点 ，将点的坐标代入抛物线的方程，得 . 要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使，即 ，因为 ，所以此车能安全通过隧道. 课 中 探 究 27 变式 [2026·华东师大二附中高二期中] 如图，探 照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成. 已知灯口圆的直径为，灯的深度为 .将 反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点. 为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线 的焦点位置，此时光源与顶点相距___ . 课 中 探 究 28 [解析] 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为 轴（抛物线开口方向是轴的正方向），以 为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，则可设抛物线的标准方程为 . 设灯口圆与轴截面交于，点在第一象限内，则点 的坐标 为， 将点的坐标代入抛物线方程得 ，解得，则焦点坐标为，故光源应安置在与顶点相距 处. 课 中 探 究 29 ［素养小结］ 求解抛物线实际应用题的五个步骤 （1）建系：建立适当的坐标系. （2）假设：设出合适的抛物线的标准方程. （3）计算：通过计算求出抛物线的标准方程. （4）求解：求出所要求出的量. （5）还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 课 中 探 究 30 课后习题 31 1.顶点在坐标原点，焦点坐标为 的抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 焦点坐标为，故焦点在 轴正半轴上，可设抛物线的标准方程为，则，解得 ， 故抛物线的标准方程为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 2.[2025·镇海中学高二期中]若点到直线和它到点 的距离 相等，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为点到直线和它到点的距离相等，所以点 的轨迹是以点为焦点，直线 为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得，故点 的轨迹方程为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 3.[2026·襄阳高二质检]已知抛物线的焦点为，点在 上，，则点到直线 的距离为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 [解析] 因为点在上，，所以点到的准线 的距离为5，所以点到直线 的距离为7.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 4.在平面内，“点到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点 的 轨迹为抛物线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当定点在定直线上时，点 的轨迹是经过该点且与定直线垂直的直线. 若点的轨迹为抛物线，由抛物线的定义，知点 到某定点的距离等于其到某定直线的距离.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 5.已知点是抛物线的焦点，点, 分 别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16 √ [解析] 由抛物线的定义得，解得 ，则抛物线的方程为，又点, 分别是抛物线上位于第一、四象限的点，所以 可得则 . 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 6.（多选题）[2026·长沙明德中学高二期中]已知抛物线 的 焦点为，点在 上，则( ) A.的坐标为 B.抛物线的准线方程为 C.若，则 D. [解析] 对于A，B，由抛物线，得 ，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由点在 上，得，又，则，即，所以 ，故C正确； 对于D，，当且仅当 ，即与原点重合时，等号成立，故D错误.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 7.已知抛物线 ，则该抛物线的焦点坐标是_ _____. [解析] 抛物线的方程化成标准方程，得， ，得， 抛物线的焦点坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 8.已知点是抛物线上一点，若点 到抛物线焦 点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 _______. 2或18 [解析] 由题意知，，则. 又点 在抛物线上，所以，将和代入可得 ，解得 或18. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 9.（13分）根据下列条件写出抛物线的标准方程. （1）准线方程为 ； 解：因为抛物线的准线方程为 ，所以抛物线的开口向上，且，可得 ，所以抛物线的标准方程是 . （2）焦点在 轴上且焦点到准线的距离为6. 解：因为焦点在轴上且焦点到准线的距离为6，所以 ，抛物线的开口向左或向右，所以抛物线的标准方程是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分）根据下列条件写出抛物线的标准方程. （3）经过点 . 解：当抛物线的标准方程为时,将 代入, 得,则抛物线的标准方程为 ; 当抛物线的标准方程为时,将代入,得 ,则抛物线的标准方程为 . 综上,抛物线的标准方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 10.[2026·邢台高二期中]已知是抛物线的焦点，是 上 的一个动点，，则 的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 √ [解析] 如图，分别过点，作的准线 的垂线，垂足分别为，，设与交于点 ，则， 当与 重合时，等号成立，所以 的最小值为6.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 11.[2026·咸阳实验中学高二质检]如图，大桥主跨 长约500米，主 塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线 的一 部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点 的距离约为 ( ) A.1350米 B.758米 C.725米 D.558米 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 以为原点，直线为轴，直线为 轴，建立平面直角坐标系，连接， ，如图，则,. 设抛物线 的方程为，则 ，解得 ， 因此抛物线的焦点为，准线方程为 ，由抛物线的定义得 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 12.（多选题）已知抛物线上一点到准线的距离为 ，到直 线的距离为，则 的取值可以为( ) A.3 B.4 C. D. [解析] 抛物线上的点到准线的距离等于到焦点 的距离，所以过焦点作直线的垂线，则到直线 的距离为的最小值， 因为 ，所以 ，选项A，B，D均大于或等于3.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 13.[2025·重庆一中高二月考] 已知点在圆上，动圆 与圆内切并与直线相切，圆心为，则 的最小值为__. [解析] 设圆的半径为，则，又到的距离为 ，则到的距离为. 所以圆心的轨迹是以为焦点，以 为准线的抛物线，顶点为 ，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 14.（15分）已知点，直线，动点到点 的距离与 它到直线 的距离相等. （1）试判断动点的轨迹的形状，并写出 的方程； 解：因为动点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点 的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线. 又因为点 ，直线，所以抛物线的开口向右，且焦点到准线 的距离为4，所以轨迹的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（15分）已知点，直线，动点到点 的距离与 它到直线 的距离相等. （2）求动点到直线的距离与到 轴的距离之和的最小值. 解：动点到轴的距离等于动点 到焦点的距离再减去2，所以动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为点 到直线的距离再减去2，即为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.（15分）已知点，直线，动点到点 的距离与 它到直线 的距离相等. （3）已知点,求的最小值,并求此时点 的坐标. 解：分别过点,作,垂直于抛物线的准线，交准线于点, , 则,当且仅当为 与抛物线的交点时取等号,所以, 此时 ,代入抛物线的方程得, 故取得最小值时点的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.如图，是平面上一点，以 为圆心，分别画 出半径为1，2，3，4，5的同心圆.记半径为4的圆 的一条切线为，再画出与 平行的各圆的切线和 一条穿过圆心与平行的直线.若以为焦点， 为 A.都不在抛物线上 B.只有1个点在抛物线 上 C.有2个点在抛物线上 D.有3个点在抛物线 上 准线的抛物线记为，则，，，， 这5个点( ) √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 如图，不妨以点为坐标原点，过点 且平行于直线的直线为轴，过点且垂直于直线的直线为 轴，建立平面直角坐标系， 可设抛物线 的方程为，由图可知，所以 ，所以 抛物线的方程为 ，易知该组同心圆的方程为， 由 解得 ，由图可知，所给5个点的纵坐标均不小于0，故. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 当时，可得，该点为点；当时， ，该点为点；当时，，该点不是点 ；当时，，该点为点 . 综上所述，有3个点在抛物线 上.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方 式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 的图象可以 由的图象沿向量平移得到，拋物线 ，即 的焦点坐标为，准线方程为 ，故二次函数 的图象的焦点坐标为，准线方程为 . （1）求二次函数的图象的焦点 的坐标和准线方程； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解：二次函数 ，它的图象可以由抛物线沿向量平移得到，抛物线，即 的焦点坐标为，准线方程为 ， 所以二次函数的图象的焦点的坐标为，准线方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方 式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 的图象可以 由的图象沿向量平移得到，拋物线 ，即 的焦点坐标为，准线方程为 ，故二次函数 的图象的焦点坐标为，准线方程为 . （2）证明：二次函数的图象上任意一点到焦点 的 距离和到准线的距离相等. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：证明：设为二次函数 的图象上任意一点，则 ，故 ， 而到准线 的距离 ， 故二次函数的图象上任意一点与焦点 的距离和到准线的距离相等. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 $