19.6反比例函数的图象、性质和应用（第2课时）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第十九章 二次函数和反比例函数 19.6 反比例函数的图象、性质和应用 第2课时 反比例函数的性质和应用 学 习 目 标 1 2 3 掌握反比例函数的图象性质（位置、增减性、对称性）； 能根据的符号判断图象位置和增减性；能判断一个点是否在反比例函数图象上；能利用反比例函数解决简单的实际问题； 经历"观察图象—归纳性质—应用性质"的过程，体会数形结合和分类讨论的思想方法. 旧知复习 回顾 经过上节课的学习，回想反比例函数的图象是什么形状？双曲线与坐标轴有交点吗？为什么？ ①是双曲线，由两支曲线组成. ②没有交点，因为且，双曲线越来越靠近坐标轴但永远不相交。 反比例函数图象的形状 （1）的图象在第一、第三象限 （√，因为） （2） 的图象经过原点 （×，因为） 判断正误. 新知引入 探究 经过上节课的学习，我们已经了解了双曲线的图象特点. 时，双曲线在第一、第三象限 除了图象特点，反比例函数还有哪些性质呢？今天我们就来系统研究反比例函数的性质. . 时，双曲线在第二、第四象限 新知探究 探究1：对比k>0和k<0的图象 探究 和 的图象在位置、变化趋势以及与坐标轴的关系等方面有什么相同点和不同点？ 相同点 图象都是双曲线； 1 图象都与轴、轴没有交点； 2 两个图象都关于原点中心对称 3 新知探究 探究1：对比k>0和k<0的图象 探究 和 的图象在位置、变化趋势以及与坐标轴的关系等方面有什么相同点和不同点？ 的图象在第二、第四象限，在每个象限内随 增大而增大。 的图象在第一、第三象限，在每个象限内 随 增大而减小； 不同点 新知探究 探究2：反比例函数的性质 思考 当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？ ①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第一、第三象限； 增减性的前提是“在每一个象限内”,跨象限比较不成立。 动态演示 放映状态下点击图象 ②在每一个象 限内， 随的增大而减小。 图象规律：双曲线在各自象限内都向右、向下延伸，但不与坐标轴相交. 思考 结合以上情况，说明当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？ 新知探究 探究2：反比例函数的性质 ①当时，反比例函数的图象也是双曲线，两支分别位于第二、第四象限； ②在每一个象限内， 随的增大而增大. 图象规律：双曲线在各自象限内都向右、向上延伸，但不与坐标轴相交. 动态演示 放映状态下点击图象 知识小结 探究2：反比例函数的性质 反比例函数 的符号 图象形状 双曲线（两支不连续的曲线） 所在象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，随 的增大而减小 在每一个象限内，随 的增大而增大 注：①增减性必须强调 “在每一个象限内” ②图象永远不与坐标轴相交 思考 结合 和 时的反比例函数图象与性质整理，你能总结出反比例函数的图象与性质吗？ 新知巩固 反比例函数的性质 2.若点 、、 在反比例函数 的图象上，则 、、 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 解： 反比例函数解析式为 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 增大而减小 在第一象限 点 、 在第三象限，且 ， 【分析】先判断反比例函数比例系数 的正负，根据 图象分布在一、三象限，匹配对应选项即可。 反比例函数的性质 例题精讲 例1 已知反比例函数的图象经过点 . (1)这个函数的图象分布在哪些象限？ 随 的增大如何变化? (2)点 , , 是否在这个函数的图象上？ 解：(1) 因为点 在第一象限 所以这个函数的图象位于第一、第三象限。 在每个象限内， 随 的增大而减小。 【分析】先求出反比例函数k的值，依据k的正负判断图象象限与增减性，再利用检验点是否在函数图象上. 反比例函数的性质 例题精讲 例1 已知反比例函数的图象经过点 . (1)这个函数的图象分布在哪些象限？ 随 的增大如何变化? (2)点 , , 是否在这个函数的图象上？ 【分析】先求出反比例函数k的值，依据的正负判断图象象限与增减性，再利用检验点是否在函数图象上. (2)设这个反比例函数的表达式为 。 因为点 在其图象上， 所以点 的坐标满足 ， 即 。 解得 。 所以这个反比例函数的表达式为 。 反比例函数的性质 例题精讲 例1 已知反比例函数的图象经过点 . (1)这个函数的图象分布在哪些象限？ 随 的增大如何变化? (2)点 , , 是否在这个函数的图象上？ 【分析】先求出反比例函数k的值，依据的正负判断图象象限与增减性，再利用检验点是否在函数图象上. 因为 两点的坐标满足 点 的坐标不满足 所以点 在函数 的图象上 点 不在这个函数的图象上。 反比例函数的应用 例题精讲 例2 某公共汽车线路全长 50 km，规定车的平均速度不得高于 70 km/h. (1)求运行全程所需时间 (h) 与平均车速 (km/h) 的函数表达式，并画出这个函数的图象； 解：(1) 根据题意，函数表达式为 ，自变量的取值范围是 ，所以它的图象如图所示. 【分析】利用路程公式时间列出关系式，再结合速度限制确定自变量取值范围. (2) 结合图象，求采用平均速度为 40 km/h 或 60 km/h 时，运行全程所需时间相差多少分钟。 反比例函数的应用 例题精讲 例2 某公共汽车线路全长 50 km，规定车的平均速度不得高于 70 km/h. 【分析】把两个速度分别代入函数求出对应时间，算出时间差再换算单位为分钟. (2) 结合图象，可以计算出当平均速度为 40 km/h 时，运行全程所需时间为 当平均速度为 60 km/h 时，运行全程所需时间为 所以 ()， ． 巩固训练1 反比例函数的性质 对于反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 【分析】结合反比例函数k的正负，逐一验证点是否在图象、象限分布、增减性与对称性，找出表述错误的选项. 解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、∵，∴在每一个象限内，随的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、∵，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 巩固训练1 反比例函数的性质 变式题 1.下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A．图象在第一、三象限 B．点（-1，-6）在反比例函数的图象上 C．当时，随的增大而增大 D．若点、都在反比例函数的图象上，则 解：∵k＝﹣6＜0， ∴图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； ∵当x＝﹣1时，， ∴点（﹣1，﹣6）不在反比例函数的图象上， 巩固训练1 反比例函数的性质 故B选项不正确，不符合题意， ∵k＝﹣6＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， 故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴y1＞y2， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 巩固训练1 反比例函数的性质 2.已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 解：∵ 双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∴ ， 解得． 变式题 巩固训练2 反比例函数的应用 【分析】 (1) 设反比例函数为 ，将 点坐标代入求解即可； (2)把 立方米代入 计算即可. 某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力 (千帕) 是气球的体积 (立方米) 的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）. (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为 0.8 立方米时，气球内的压力是多少千帕？ (1) 解：设反比例函数为 将 代入得 解得：， 即 ； (2)解：把 立方米代入 中，得 千帕. 巩固训练2 反比例函数的应用 变式题 已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ （1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴； 巩固训练2 反比例函数的应用 变式题 已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ （2）解：∵，， ∴， ∴， 即用电器可变电阻应控制在以上的范围内． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 感谢聆听! $