22.2 圆的切线（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 22.2 圆的切线 （第2课时）切线的性质 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 掌握切线垂直切点半径。 会用 会添加切点半径构造直角。 会判断 分清性质与判定的使用方向。 复习引入 从已有经验出发 观察 已经知道直线相切，能立刻得到什么关系？ 联系 掌握切线垂直切点半径。 知识讲授 概念与性质 圆的切线垂直于过切点的半径。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 由相切得到垂直 看条件 已知切线，先找到切点。 作推理 连接，便有切线。 再检查 这个直角是计算和证明的起点。 知识讲授 反证法证明性质 看条件 假设切线不垂直，另作切线。 作推理 垂线段最短，所以。 再检查 这会导致直线相交，与相切矛盾。 例题讲解 例 2 已知：如图，为半圆的直径，为半圆的一条切线，为切点，，垂足为。求证：平分。 答：。 解 连接，切线性质得。 又，所以，。 ，，因此结论成立。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：一条半径两种作用 看条件 与切线垂直，先给出平行关系。 作推理 ，再给出等腰三角形的等角。 再检查 半径同时连接直角与等边关系。 课堂练习 练习1 如图，是⊙的直径的延长线上的一点，与⊙相切于点，。求的度数。 答：。 解 连接，，得。 与反向，。 ，故。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，为切点。判断与是否相等，并说明理由。 答：。 解 连接，小圆切线性质得。 也是大圆圆心。 由大圆垂径定理，平分弦。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 同心条件在哪里使用 看条件 切线性质属于小圆。 作推理 垂径定理属于大圆。 再检查 共同圆心把两个圆的性质连接起来。 知识讲授 性质与判定方向不同 看条件 性质：已知相切，推出切点半径垂直。 作推理 判定：已知外端且垂直，推出相切。 再检查 证明中不可用待证的相切作为已知。 知识讲授 切线构造直角三角形 看条件 在切线上，是切点。 作推理 ，为直角三角形。 再检查 为斜边，可使用勾股定理。 知识讲授 点的位置要读清 看条件 直径延长线上的可能在左边也可能在右边。 作推理 根据共线点的先后顺序判断补角。 再检查 不要直接把所有同一直线上的角看成相等。 知识讲授 等腰三角形带来第二座桥 看条件 连出两条半径即可得到相等边。 作推理 结合切线产生的90°计算底角。 再检查 先算顶角，再用两底角相等。 知识讲授 计算时辨认斜边 看条件 在中，切点是直角顶点。 作推理 圆心到外点是斜边。 再检查 不能写成。 知识讲授 证明角平分线的目标 看条件 需要证明目标射线两侧的角相等。 作推理 利用平行线把一个角转移到等腰三角形。 再检查 再用等腰三角形底角相等闭合推理链。 知识讲授 从图中寻找可用线 看条件 切线已知时优先连切点半径。 作推理 圆心之间的连接是否有用，要看题目的关系。 再检查 辅助线应直接服务于需要证明的角或边。 知识讲授 从反证法检查边界 看条件 若垂距小于半径，会有两个公共点。 作推理 若垂距大于半径，会没有公共点。 再检查 相切唯一留下垂距等于半径。 课堂总结 本课知识 已知 切线与切点 辅助线 连切点半径 直角 半径垂直切线 转化 勾股、等腰、平行线 特别提醒：性质是由相切得到垂直；判定使用相反方向。 针对训练 训练1　切点半径 分别解决下列问题： （1） 切圆于，圆心，求。 （2） 直线切圆于，过的半径是什么方向？ 解第（1）题 90°。 切线垂直切点半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　切点半径 分别解决下列问题： （1） 切圆于，圆心，求。 （2） 直线切圆于，过的半径是什么方向？ 解第（2）题 垂直。 连接即可。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　勾股求切线段 分别解决下列问题： （1） 切于，、，求。 （2） 切于，、，求。 解第（1）题 12。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　勾股求切线段 分别解决下列问题： （1） 切于，、，求。 （2） 切于，、，求。 解第（2）题 8。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　反求圆心距离 分别解决下列问题： （1） 、且相切，求。 （2） 、且相切，求。 解第（1）题 15。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　反求圆心距离 分别解决下列问题： （1） 、且相切，求。 （2） 、且相切，求。 解第（2）题 17。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　锐角互余 分别解决下列问题： （1） 切于，，求。 （2） 切于，，求。 解第（1）题 65°。 两锐角互余。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　锐角互余 分别解决下列问题： （1） 切于，，求。 （2） 切于，，求。 解第（2）题 52°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　特殊角求边 分别解决下列问题： （1） 切于，、，求。 （2） 切于，、，求。 解第（1）题 5。 30°所对直角边为斜边一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　特殊角求边 分别解决下列问题： （1） 切于，、，求。 （2） 切于，、，求。 解第（2）题 4。 等腰直角三角形两直角边相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　同心圆弦长 分别解决下列问题： （1） 大、小圆半径5、3，大圆弦与小圆相切，求弦长。 （2） 大、小圆半径13、5，大圆弦与小圆相切，求弦长。 解第（1）题 8。 弦心距3，半弦4。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　同心圆弦长 分别解决下列问题： （1） 大、小圆半径5、3，大圆弦与小圆相切，求弦长。 （2） 大、小圆半径13、5，大圆弦与小圆相切，求弦长。 解第（2）题 24。 半弦。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　平行线转角 分别解决下列问题： （1） 切于，直线也垂直，则与什么关系？ （2） 圆切线直线，切点半径与什么关系？ 解第（1）题 平行或重合。 两直线同垂直于一条直线。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　平行线转角 分别解决下列问题： （1） 切于，直线也垂直，则与什么关系？ （2） 圆切线直线，切点半径与什么关系？ 解第（2）题 垂直。 ，平行线传递垂直。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　半径求值 分别解决下列问题： （1） 切于，、，求半径。 （2） 切于，、，求半径。 解第（1）题 7。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　半径求值 分别解决下列问题： （1） 切于，、，求半径。 （2） 切于，、，求半径。 解第（2）题 8。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　切线与直径延长线 分别解决下列问题： （1） 在直径的侧延长线上，切于，，求。 （2） 同一位置，，求。 解第（1）题 25°。 ，，等腰底角25°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　切线与直径延长线 分别解决下列问题： （1） 在直径的侧延长线上，切于，，求。 （2） 同一位置，，求。 解第（2）题 35°。 ，底角35°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　论证方向 分别解决下列问题： （1） 证明某直线是切线，可否先写它垂直切点半径？ （2） 已知相切，为什么连接比连接任意半径有用？ 解第（1）题 不能把待证相切当已知。 应由独立条件先证明垂直。 解第（2）题 经过切点，能立即得到垂直。 切线性质只对应切点半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　性质的条件 （1）切线垂直于圆的每条半径。 理由：只垂直过切点的半径。 （2）切线与圆心连线必组成直角三角形。 理由：应连切点及切线上另一点形成三角形。 （3）切线性质可用反证法证明。 理由：假设不垂直会导致相交。 方法：找准切点 注意：任意半径不能替代。 针对训练 训练12　计算检查 （1）切点处角为90°。 理由：由切线性质。 （2）外点到圆心距离小于半径。 理由：外点距离大于半径。 （3）大圆弦切小同心圆时被切点平分。 理由：切点半径垂直大圆弦。 方法：结合图形判范围 注意：斜边大于直角边。 针对训练 训练13　拉绳与圆轮 从固定点向圆轮拉一直线绳，绳在处与轮相切。 ，轮半径6 ，求绳段。 答：8 。 解 。 。 方法：切点半径构造直角三角形。 注意：是圆心到固定点的距离。 针对训练 训练14　圆环中的直杆 圆环外半径17 、内半径8 ，一根直杆穿过外圆并恰与内圆相切，求外圆内的杆长。 答：30 。 解 切点半径8垂直直杆。 半弦。 方法：切线性质连接垂径定理。 注意：完整杆段为半弦的2倍。 方法总结 两种方法带走 连切点半径法 （1）先找到已知切点。 （2）连接圆心得到关键直角。 多圆转化法 （1）在小圆中用切线性质。 （2）在同心大圆中用垂径定理。 $