19.4二次函数的应用（第2课时）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第十九章 二次函数 19.4 二次函数应用 利润问题、实物抛物线模型（第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 能够分析销售利润问题的数量关系，建立二次函数模型，结合自变量取值范围求解最大利润； 能针对抛物线形实物（拱桥），合理建立平面直角坐标系，将实际条件转化点的坐标，求出抛物线解析式，解决长度、高度实际问题； 经历坐标系的选择对比，感受恰当建系可以简化计算；提升阅读审题、提取信息、代数运算能力. 旧知复习 回顾 二次函数，如何求函数的最大、最小值？ 一般式 顶点式 方法一 方法二 用顶点公式； 有最小值 有最大值，最值在顶点处. 最值一般在处取到. 新知引入 探究 在实际应用题，顶点对应的 一定可以取到吗？下面我们一起来看看如何利用二次函数的图象与性质解决实际问题. 某超市按每袋 20元的价格购进某种干果 .在销售过程中发现，该种干果每天的销售量袋)与销售单价元)满足 问题1 如果销售这种干果每天的利润为(元)，那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 新知探究 探究1：销售利润最值问题 探究 用二次函数解决实际问题，一般要经过哪些步骤？ ①审：已知进价 20 元/袋，销售量 与单价 的关系，求利润 的最大值。 ②设：设销售单价为 元，每天利润为 元。 ③列：利润 = 每袋利润 销售量 = (售价 - 进价) 销售量。 每袋利润为 元，销售量为 袋，所以： 新知探究 探究1：销售利润最值问题 一般式化顶点式 也可以利用一般式的顶点坐标公式算处顶点坐标. 因为 ，且 ，所以抛物线开口向下 顶点 在自变量取值范围 内. 所以当 时，. 利润问题的基本等量关系：利润 = (售价 - 进价) × 销售量； 新知探究 探究1：销售利润最值问题 方法总结 销售利润最值问题 求最值时，一定要先确定自变量的取值范围，再看顶点是否在范围内——如果顶点在范围内，最值在顶点处取得；如果顶点不在范围内，最值在端点处取得； 本题中在[20,40]内，所以最值在顶点处取得。 新知巩固 销售利润最值问题 【分析】利用单件利润乘以销售量列出二次函数关系式，再结合自变量取值范围求二次函数的最大值. 如果进价变为30元，其他条件不变，利润函数会怎样变化？最值还在顶点处吗？ 解： 单件利润：元，销售量 ，抛物线开口向下，对称轴： 新知巩固 销售利润最值问题 【分析】利用单件利润乘以销售量列出二次函数关系式，再结合自变量取值范围求二次函数的最大值. 35在范围内。 将代入函数： 答：当销售单价定为 35 元时，每天利润最大，最大利润为 50 元。 如果进价变为30元，其他条件不变，利润函数会怎样变化？最值还在顶点处吗？ 新知探究 探究2：抛物线形拱桥问题 探究 经过前面的探究，我们已经解决了实际生活中的利润最大问题，那么拱桥能过多大的船？如何将拱桥与函数联系起来？ 某抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽.若水面下降，水面宽度增加多少？ 问题2 怎样建立平面直角坐标系，可以使问题的解法简化？ 新知探究 探究2：抛物线形拱桥问题 建系的原则是使抛物线解析式形式最简单、已知点坐标最容易确定。 建系 ①以拱顶为原点，过拱顶的竖直直线为轴，水平直线为 轴建立坐标系 ②这样抛物线的顶点在原点，解析式可设为，形式最简单. 新知探究 探究2：抛物线形拱桥问题 代入得：，解得 。 所以这条抛物线对应的函数表达式为 。 建立平面直角坐标系 设抛物线对应的函数表达式为 。 由题意，当拱顶离水面 时水面宽 ，即抛物线经过点 （水面宽 ，所以右岸点横坐标为 2；拱顶离水面 ，在拱顶下方，所以纵坐标为-2） 新知探究 探究2：抛物线形拱桥问题 若水面下降 ，则水面处的纵坐标为 。 令 ，得 ，解得 ，。 所以水面宽度为 。 原来水面宽 ，所以水面宽度增加。 答：若水面下降 ，则水面宽度增加。 新知探究 探究2：抛物线形拱桥问题 方法总结 抛物线形拱桥问题 ①实物抽象为抛物线 ②建立适当的平面直角坐标系（优先顶点为原点） ③设出对应的二次函数解析式 ④用待定系数法求解析式 ⑤代入求解，结合实际意义得出结论 新知巩固 拱桥模型 如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高是多少？ 【分析】本题考查了二次函数的应用的拱桥模型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴点，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为： ， 15 新知巩固 拱桥模型 ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 16 巩固训练1 已知解析式求最大利润 某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【分析】根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值. ∴当时，有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 解：∵某种商品每天的销售利润元与单价 之间的函数关系式为 ，， 17 巩固训练1 已知解析式求最大利润 变式题 1.某种商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 解：对于该商品每天的销售利润与单价之间的函数关系式 ， 18 巩固训练1文字叙述类销售问题 2.某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 解：设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元 ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 根据题意得： ， 变式题 19 巩固训练2 实物抛物线模型 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为_． 【分析】求出当时的值即可得出答案． 解：由题意，当时，， 解得， ∴点A、B的分别为， ∴， 故答案为：16． 16 20 变式题 如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； （1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 巩固训练2 实物抛物线模型 21 变式题 (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． （2）解：依题意，当时 答：摄像头到地面的竖直距离为 巩固训练2 实物抛物线模型 22 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 感谢聆听! $