九年级数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（新教材冀教版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A C A A B A D D B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）对每一步进行判断，即可判断出错误发生在第三步； （2）将原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即， 解得， 故错误在第③步；························2分 （2）解：原方程可化为， ， ∴， 即．························7分 18．（8分） 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，则，，平分，所以，，，从而可证，所以，证明四边形 是平行四边形，又，故有四边形是矩形； （）由（）知四边形是矩形，则，由，设，则，证明， 所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形；························3分 （2）解：由（）知四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， ∵平分交于点，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴．························8分 19．（8分） 【答案】(1)；96 (2) (3)八 (4)100名 【分析】（1）根据众数和第三四分位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据方差越小成绩越稳定可得答案； （4）用该校八年级参与此活动的人数乘以样本中八年级学生成绩超过94分的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序排列为：，，，，，，，，，，，， ∵得分为70的人数最多， ∴七年级12名学生的成绩的众数为70； 方法1：排序后的后面6个数的中位数为，则； 方法2：，则七年级学生的成绩的第三四分位数为排序后的第9个数据和第10个数据的平均数，则七年级学生的成绩的； 综上所述，七年级学生的成绩的；························2分 （2）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序，中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，即为；························4分 （3）解：∵七年级学生的成绩的方差为，八年级学生的成绩的方差为，且， ∴八年级学生成绩更稳定；························6分 （4）解：（名）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数为100名．························28分 20．（8分） 【答案】(1)60 (2)51.75米 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米．························3分 （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米．························8分 21．（9分） 【答案】 （1）证明：，， ． （2）图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为 （3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）证明：，， ．························2分 （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为．························6分 （3）解：由（2）可知，，， ， ．························9分 22．（9分） 【答案】(1)3，4 (2)①，2；② 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4；························2分 （2）①∵，， ∴， 故答案为：，2；························6分 ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为．························9分 23．（11分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴，························2分 （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个．························7分 （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，．························11分 24．（12分） 【答案】(1)点如图所示： (2)； (3) (4)或 (5) 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为所求的点，连接、即可； （2）由对称性的性质可得，利用勾股定理计算出即可； （3）连接、交于点，由直线平分矩形的面积可知，直线过点，则，由对称性可知，，从而计算出，因此； （4）由为定值可知，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，设的中点为，连接，分类讨论，当点在线段上时，容易证明四边形是矩形，则，，使用勾股定理可得，则．容易证明，则，计算得；当点在线段上时，则，，在中，使用勾股定理构造方程，解出，结合图形判断范围即可； （5）连接，取的中点，连接，容易判断是的中位线，则为定值，因此点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动．分析圆弧的两个端点，当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点；点与点重合时，容易计算出，则，进而得出点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧，使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 根据题意，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称；························2分 （2）解：∵为边的中点， ∴， 由轴对称的性质可得，， 当点与点重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，；························4分 （3）解：如图，连接、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点， ∵为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴；························6分 （4）解：设的中点为，连接， 根据题意，， 由（2）可知，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ①当点在线段上时，如图， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、为、的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由轴对称的性质可得，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在矩形内左侧的圆弧上； ②当点在线段上时，如图， ∴， 同理①可得，， ∴， 由轴对称的性质可得，， 在中，， ∴， 解得， ∴当时，点在矩形内右侧的圆弧上； 综上所述，当或时，点在矩形内部（不含边界）；························8分 （5）解：如图，连接，取的中点，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图， 当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点，即点处，则； 当点与点重合时，点在点处，延长交于点， 在中，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧， ∴点的运动路径长为．························12分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版九年级数学上册第23~28章。 5．难度系数：0.71 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 2．（3分）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 3．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（3分）在如图所示的正方形网格中，点，，都在格点上，的值是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 6．（3分）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 7．（3分）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（     ） A．4 B．2 C．3 D．6 9．（3分）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）如图，已知反比例函数：，与关于直线对称，直线与交于A，B两点（点A，B在直线两侧），当A为中点时，的值为（   ） A． B． C． D． 11．（3分）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 12．（3分）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 14．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 15．（3分）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为_______． 16．（3分）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为______．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． (1)解题步骤从第________步开始出错（写序号）； (2)请你用另一种方法解方程：． 18．（8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（8分）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 20．（8分）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 21．（9分）小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 22．（9分）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 23．（11分）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 24．（12分）如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． (1)在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； (2)________，________； (3)求为何值时，直线平分矩形的面积； (4)当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； (5)点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 2．（3分）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵五个数据0，，5，2，m的唯一众数为， ∴出现的次数最多， ∵已知数据为0，，5，2，每个数据均出现次， ∴． 3．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 4．（3分）在如图所示的正方形网格中，点，，都在格点上，的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，先构造直角三角形，如图所示，在直角三角形中，由正切函数的定义代值求解即可得到答案，熟记三角函数定义，数形结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 在中，，，，则， 故选：C． 5．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 6．（3分）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：箱线图中，甲班分数最大值与最小值的差值以及上四分位数与下四分位数的差值最小，数据最集中，方差最小． 7．（3分）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 8．（3分）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（     ） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据平移的性质可知，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方、相似三角形的中线比等于相似比可得：，从而可得：，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示， 根据平移的性质可知， ∴， 、， ， ∴ ∵是的边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴是的边上的中线， ∵ ， ， ， 解得． 9．（3分）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题． 首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出． 【详解】解：如图，连接、． 和所对的弧长都是， 根据圆周角定理的推论知，． ∵ ∴为直径， 在中，根据锐角三角函数的定义知， ， ，， ， ． 故选：D． 10．（3分）如图，已知反比例函数：，与关于直线对称，直线与交于A，B两点（点A，B在直线两侧），当A为中点时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据对称性得出，，代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】解：设， ∵A为中点， ∴， ∴A，B关于直线的对称点，在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴． 11．（3分）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 12．（3分）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键．先求平均数，再进一步求解方差即可． 【详解】解：平均数为； 方差为． 故答案为： 14．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．（3分）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，得到，由圆周角定理得到． 【详解】解：连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（3分）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为______．若，则的值为______． 【答案】 【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形及全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理、三角函数解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，然后利用余弦函数求解即可；过点G作于点H，根据相似三角形的判定和性质得出，，设，设，则，利用勾股定理及相似三角形的性质代入求解确定，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形， ∴， ∵BE平分交于E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 过点G作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． (1)解题步骤从第________步开始出错（写序号）； (2)请你用另一种方法解方程：． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）对每一步进行判断，即可判断出错误发生在第三步； （2）将原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即， 解得， 故错误在第③步；························2分 （2）解：原方程可化为， ， ∴， 即．························7分 18．（8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，则，，平分，所以，，，从而可证，所以，证明四边形 是平行四边形，又，故有四边形是矩形； （）由（）知四边形是矩形，则，由，设，则，证明， 所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形；························3分 （2）解：由（）知四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， ∵平分交于点，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴．························8分 19．（8分）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 【答案】(1)；96 (2) (3)八 (4)100名 【分析】（1）根据众数和第三四分位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据方差越小成绩越稳定可得答案； （4）用该校八年级参与此活动的人数乘以样本中八年级学生成绩超过94分的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序排列为：，，，，，，，，，，，， ∵得分为70的人数最多， ∴七年级12名学生的成绩的众数为70； 方法1：排序后的后面6个数的中位数为，则； 方法2：，则七年级学生的成绩的第三四分位数为排序后的第9个数据和第10个数据的平均数，则七年级学生的成绩的； 综上所述，七年级学生的成绩的；························2分 （2）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序，中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，即为；························4分 （3）解：∵七年级学生的成绩的方差为，八年级学生的成绩的方差为，且， ∴八年级学生成绩更稳定；························6分 （4）解：（名）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数为100名．························28分 20．（8分）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60 (2)51.75米 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米．························3分 （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米．························8分 21．（9分）小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 【答案】 （1）证明：，， ． （2）图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为 （3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）证明：，， ．························2分 （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为．························6分 （3）解：由（2）可知，，， ， ．························9分 22．（9分）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 【答案】(1)3，4 (2)①，2；② 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4；························2分 （2）①∵，， ∴， 故答案为：，2；························6分 ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为．························9分 23．（11分）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴，························2分 （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个．························7分 （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，．························11分 24．（12分）如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． (1)在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； (2)________，________； (3)求为何值时，直线平分矩形的面积； (4)当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； (5)点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 【答案】(1)点如图所示： (2)； (3) (4)或 (5) 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为所求的点，连接、即可； （2）由对称性的性质可得，利用勾股定理计算出即可； （3）连接、交于点，由直线平分矩形的面积可知，直线过点，则，由对称性可知，，从而计算出，因此； （4）由为定值可知，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，设的中点为，连接，分类讨论，当点在线段上时，容易证明四边形是矩形，则，，使用勾股定理可得，则．容易证明，则，计算得；当点在线段上时，则，，在中，使用勾股定理构造方程，解出，结合图形判断范围即可； （5）连接，取的中点，连接，容易判断是的中位线，则为定值，因此点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动．分析圆弧的两个端点，当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点；点与点重合时，容易计算出，则，进而得出点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧，使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 根据题意，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称；························2分 （2）解：∵为边的中点， ∴， 由轴对称的性质可得，， 当点与点重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，；························4分 （3）解：如图，连接、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点， ∵为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴；························6分 （4）解：设的中点为，连接， 根据题意，， 由（2）可知，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ①当点在线段上时，如图， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、为、的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由轴对称的性质可得，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在矩形内左侧的圆弧上； ②当点在线段上时，如图， ∴， 同理①可得，， ∴， 由轴对称的性质可得，， 在中，， ∴， 解得， ∴当时，点在矩形内右侧的圆弧上； 综上所述，当或时，点在矩形内部（不含边界）；························8分 （5）解：如图，连接，取的中点，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图， 当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点，即点处，则； 当点与点重合时，点在点处，延长交于点， 在中，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧， ∴点的运动路径长为．························12分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版九年级数学上册第23~28章。 5．难度系数：0.71 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 2．（3分）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 3．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（3分）在如图所示的正方形网格中，点，，都在格点上，的值是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 6．（3分）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 7．（3分）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（     ） A．4 B．2 C．3 D．6 9．（3分）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）如图，已知反比例函数：，与关于直线对称，直线与交于A，B两点（点A，B在直线两侧），当A为中点时，的值为（   ） A． B． C． D． 11．（3分）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 12．（3分）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 14．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 15．（3分）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为_______． 16．（3分）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为______．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． (1)解题步骤从第________步开始出错（写序号）； (2)请你用另一种方法解方程：． 18．（8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（8分）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 20．（8分）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 21．（9分）小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 22．（9分）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 23．（11分）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 24．（12分）如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． (1)在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； (2)________，________； (3)求为何值时，直线平分矩形的面积； (4)当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； (5)点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $