学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（新教材冀教版，范围：九上第23～28章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版九年级上册第23~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 4．如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（新考点）某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 6．如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 7．对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 8．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 9．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 10．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 11．如图，在矩形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 12．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A． ①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．若一元二次方程的一个根为2，则另一个根为_________． 14．反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 15．如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 16．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22每题9分，25题11分，26题12分。 17．按要求进行计算． (1)； (2)已知，且，求的值． 18．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： (1)请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； (2)请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 20．为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 21．某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：） (1)求的长； (2)求的长． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 23．【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程，求出方程的一个正跟； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 24．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．    计算：在图1中． （1）求圆心到水面的距离； （2）求水槽最高和最低点之间的距离； 探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图． （）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离． 拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积． （参考数据：，，） 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版九年级上册第23~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 4．如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（新考点）某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 6．如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 7．对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 8．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 9．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 10．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 11．如图，在矩形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 12．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A． ①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．若一元二次方程的一个根为2，则另一个根为_________． 14．反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 15．如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 16．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22每题9分，25题11分，26题12分。 17．按要求进行计算． (1)； (2)已知，且，求的值． 18．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： (1)请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； (2)请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 20．为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 21．某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：） (1)求的长； (2)求的长． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 23．【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程，求出方程的一个正跟； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 24．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．    计算：在图1中． （1）求圆心到水面的距离； （2）求水槽最高和最低点之间的距离； 探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图． （）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离． 拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积． （参考数据：，，） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分）(1)__________，__________，__________ （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （11分） 【类比迁移】第一步 ； 第二步 ； 第三步 ， ， ； 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版九年级上册第23~28章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B．不是整式方程，故B选项不符合题意； C．，当时，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D．，是一元二次方程，故D选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分，②； 故选D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 4．如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ， 由网格可知 ，， 在 中，． 5．某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 【答案】D 【分析】根据箱线图的性质，箱体中间的横线代表中位数，箱体的长短及须的范围反映数据的离散程度（集中程度）逐一判断即可． 【详解】解：观察箱线图可知： A产品评分的中位数高于7分，B产品评分的中位数低于7分， ∴A产品用户使用评分的中位数高于B产品，故①错误 由箱线图可知，A产品的箱体长度及须的长度均明显小于B产品， ∴A产品用户使用评分的波动较小，分布更集中，故②正确； ∴只有结论②正确． 6．如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由角平分线得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，从而，再由，得到，故②成立；由，，得到，故③成立；由，，得到，故④成立．综上即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②成立； ∵， ∴， ， ，故③成立； ∵，， ∴，故④成立； 根据条件无法证明①成立，因此成立的结论是②③④． 故选：D． 7．对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系、根的判别式以及方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A．若两根为和，由根与系数的关系得，化简得，故A错误； B．设两根为，若两根互为相反数，则，由根与系数的关系得，又，故，B正确； C．方程判别式为，当时方程有两个相等的实数根，故C错误； D．将代入方程左边得，，D错误． 8．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 9．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 10．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 11．如图，在矩形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质得，，即可得是的垂直平分线，，得到，，设，则，利用勾股定理可得，得到，再根据即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∵为中点， ∴是的垂直平分线，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 12．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．若一元二次方程的一个根为2，则另一个根为_________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程和其中一个根，利用根与系数的关系即可计算出另一个根. 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，若方程两根为，则两根之和， ∵方程中，，，已知一个根为， ∴， ∴， 解得， 即方程的另一个根为． 14．反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，图象在第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可得到的范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， 比例系数， 解得． 15．如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，过点作于，在中解直角三角形可得，进而可得的长，在中解直角三角形即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，， 如图，过点作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22每题9分，25题11分，26题12分。 17．按要求进行计算． (1)； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值计算即可得出结果； （2）设，则，，，再结合计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴设， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 18．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)3 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵且、， ∴， ∴． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： (1)请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； (2)请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 【答案】(1) 如图1，点即为所求． ． (2) 如图所示（画出其中一种即可）： ． 【分析】本题考查了外接圆的圆心、相似三角形的判定与性质、勾股定理与网格问题等知识，熟练掌握外接圆的圆心和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）结合网格特点，分别画出的线段垂直平分线，交于点即为所求； （2）结合网格，作出，且，或者作出，且，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）略 20．为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 【答案】(1)47，45，15 (2)七年级学生课后锻炼时间的整体情况更好．理由如下：七年级学生课后锻炼时间的中位数47大于八年级学生课后锻炼时间的中位数46.5； 八年级学生课后锻炼时间的整体情况更好．理由如下：八年级学生课后锻炼时间的平均数48.5大于七年级学生课后锻炼时间的平均数47．（写一条即可） (3)1056 【分析】（1）先通过C组数据的数量算出其在样本中的占比，再结合扇形图给出的百分比算出B组占比，从而确定A，B两组的总人数，进而定位到中位数所在的C组，计算出七年级的中位数a；同时通过统计八年级数据中出现次数最多的数，得到众数b； （2）分别从中位数和平均数两个统计量的角度进：行对比七年级的中位数更高，说明七年级有一半学生的锻炼时间更长；而八年级的平均数更高，说明八年级整体的锻炼时长更久，从而可以得出两个不同的结论； （3）先分别计算出两个年级样本中锻炼时间不低于50分钟的人数占比，再用该占比去估算两个年级各自的总人数，最后将两个年级的估算人数相加，得到两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的总人数． 【详解】（1）解：七年级20名学生的中位数是第10，11个数据的平均数 已知C组数据为：42，43，44，45，45，46，48 (共7个)， ， B所占百分比为：， 即． ∵A，B组共有个数据， ∴第10，11个数据都在C组，第10个是46，第11个是48， ∴中位数， ∵八年级20名学生的锻炼时间数据中，45出现的次数最多， ∴众数． （2）解：略； （3）解：（人） 答：这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数为1056人． 21．某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：） (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形是解题的关键： （1）在中，利用正弦进行求解即可； （2）在中，勾股定理求出的长，在中，求出的长，线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）由（1）知：， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 23．【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程，求出方程的一个正跟； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 【答案】【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3， 【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）； 第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图： 第三步： 图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， 表示边长， ，即， 故答案为：，； 【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4． ∴长方形的长为，宽为x，即：， ∴， ∴，，方程的一个正根为：． 故答案为：2，3，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的几何意义，读懂题意，根据正方形面积相等列出方程是关键． 24．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．    计算：在图1中． （1）求圆心到水面的距离； （2）求水槽最高和最低点之间的距离； 探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图． （）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离． 拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积． （参考数据：，，） 【答案】计算：（1）；（2）；（3）；拓展： 【分析】（1）设交于点，根据垂径定理得出，进而勾股定理即可求解； （2）延长，过点B作 ，垂足为F，连接，根据条件证明，进而根据勾股定理，即可求解； （3）根据解直角三角形得出，则，依题意，点移动的距离即为的长，根据弧长公式，即可求解； 拓展：作，则段弧从未露出水面，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，设交于点，    ∵，则， ∵ ∴ ∴， 在中， 即圆心到水面的距离； （2）如图所示，延长，过点B作 ，垂足为F，连接    ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴和最低点之间的距离为； （3）如图所示， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ 根据题意，点移动的距离即为的长，    ∴点移动的距离为； 拓展：依题意，在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，      由（3）可知，滚动过程中，旋转了，如图所示，作，，则， ∴点对应图2的点， ∴段弧从未露出水面， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，求弧长公式，解直角三角形，求扇形面积公式；理解其运动过程是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 题号 1 2 3 4 6 答案 D D A B D D 题号 8 0 10 11 12 答案 B B A y C B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.3 14.m<1 15.3 16.4 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22每题9分，25题11分， 26题12分。 ”侧6 (2)x=4 【详解】(1)解：2cos245°+tan60°-sin30° =2x5 =1+3 2 3分 x-y-2 (2)解：234， =上=2=k(k≠0)， “设234 .x=2k,y=3k,z=4k, .x+y+z=18 118 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .2k+3k+4k=18, 解得k=2, x=2k=4 .4分 18.【详解】(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC, :E为边AD上一点，AC与BE相交于点F, .∠FAE=∠ACB. ,∠ACB=∠ABE. .∠FAE=∠ABE, :∠FEA=∠AEB, .△FEA AAEB, AE EF ·BEAE' .AE2=EF.BE. .4分 (2)解：，AE2=EF.BE且AE=2、EF=1, 2分 BE=AE2 =4 EF .BF=BE-EF=4-1=3 4分 19.【详解】(1) 如图1，点0即为所求. 4分 图1 2) 如图所示（画出其中一种即可）： 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 或 4分 图2 图2 20.【详解】(1)47,45,153分 (2)七年级学生课后锻炼时间的整体情况更好.理由如下：七年级学生课后锻炼时间的中位数47大于八年 级学生课后锻炼时间的中位数46.5； 八年级学生课后锻炼时间的整体情况更好.理由如下：八年级学生课后锻炼时间的平均数48.5大于七年级 学生课后锻炼时间的平均数47.（写一条即可） 5分 (3)1056 解，1280×45%+1200×8-1056人) 20 答：这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数为1056人.8分 21.【详解】(1)解：在RtAAOC中，∠AOB=37°，OA=20cm, .AC=0A.Sin∠A0B≈20×0.6=12Cm:4分 (2)由(1)知：AC=12cm, 在Rt△ABC中，AB=I3cm, BC=4B2-AC2=5cm 在RtAAOC中，OC=04.cos37°≈16cm, .0B=OC-BC=16-5=11cm.9分 22.【详解】(1)解：点B(4,-3)在反比例函数2=的图象上， ∴.m=(-4)×(-3)=12 12 ·反比例函数的解析式为= 1分 12 ~点A的横坐标为6，且点4在为=戈的图象上， 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 12 .y= =2 6 ∴.A(6,2) .2分 “一次函数 y=kx+b 的图象过点 A(6,2)B(-4,-3) 6k+b=2 -4k+b=-3, k-1 2 解得： b=-1 .一次函数的解析式为42-.4分 (2)解：设点D的坐标为(0，)， 1 :一次函数乃=2-1与y轴交于点C, C0,-l) ∴.CDHd-(-)Hd+1川 5分 4(6,2)B(-4,-3) ∴·点A到y轴的距离为6，点B到y轴的距离为4， SAABD =SAACD+SABCD .S.m-CDx6+CDx4=5CD 2 2 SARD =20 又 ∴.5ld+1=20 d+1=4 7分 ∴.d+1=4或d+1=-4, 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：d=3或d=-5, D (0,3)(0,-5) 点的坐标为或 .4分 23. 【类比迁移】：x+3x(x+3列 【拓展应用】2,3，x=1 【详解】解：【类比迁移】：第一步x+3.2分 第二步： x(x+3) 4分 利用四个面积可用表示为(x+3列 的全等矩形构造“空心”大正方形，如图： x+3 x+3 .6分 x+3 x+3 4x(x+3)+32=4×4+9 (x+x+3)2=25 因此，可得新方程： x表示边长， 2x+3=5,即x=1, .8分 第三步： 【拓展应用】答案为：2,3，x=1 11分 ,图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4. 长方形的长为x+2,宽为x,即： x(x+2)=3 .x2+2x=3, a=2,b=3,方程的一个正根为：x=1. 故答案为：2,3，x=1」 67」 5 24.计算：(1)3cm:(2)4W5cm:(3)36元；拓展：24 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：如图所示，设OP,4D交于点E, O A(C) D 图1 ,AB=10,则A0=5, OP⊥MN,MN∥CD .OP⊥AD :4B-0=4, 2分 在Rt△40E中，OE=VA02-AE=V5F-4=3 即圆心O到水面CD的距离3Cm; 3分 (2)如图所示，延长PO,过点B作BF⊥PO,垂足为F,连接BP B 0 (C入 D N OA=OB,∠AEO=∠BF0=90°，∠AOE=∠BOF .△A0E=△B0F(AAS),5分 AE=BF=4,OE=OF=3 ∴.PF=OP+OF=8 BP=PF2+BF2=4V5 :.B和最低点P之间的距离为 /5cm 7分 (3)如图所示， 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CE-CD-4.CO=5 2 .sin∠CoB=4 .∠C0E=53°， 又，∠POD=60° .∠A0C=180°-53°-60°=67° 0 AC 根据题意，点移动的距离即为的长， B D M p 图2 67 二点0移动的距离为180欢x5、6 3610分 拓展：依题意，在图1滚动至图2的过程中，有一段弧从未露出水面， H A(C) PG 图1 由(3)可知，滚动过程中，旋转了67°，如图所示，作∠A0G=67°，∠B0H=60°，则 ∠G0D=2×53-67=39°， G点对应图2的点C, .GD 段弧从未露出水面， 39 .S扇形GOD= 360 πx52=65, .12分 241 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，求弧长公式，解直角三角形，求扇形面积公式；理解其运动过程是 解题的关键. 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 8/82026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][DJ 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13 15. 6 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) E D F 19.(8分) B B 图1 图2 20.(8分)(1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) E E ◇ OBF B C F 图1 图2 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) 【类比迁移】第一步 第二步 画图区 第三步 24. (12分) 0 A(C) D W 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！