九年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材冀教版）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版九年级数学上册第23~28章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）“这么近那么美，周末到河北”，嘉嘉周末到正定古城游玩，测得城楼右侧的斜坡坡面，，如图所示，则该斜坡的坡度为（   ）． A． B． C． D． 2．（3分）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．（3分）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 4．（3分）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 6．（3分）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 7．（3分）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（3分）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点向坐标轴作垂线围成矩形，设的长度为，矩形的周长为，当时，的范围是（    ） A． B． C． D． 10．（3分）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 11．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 12．（3分）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 14．（3分）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴和x轴正半轴上的点，．以点A为直角顶点，为直角边在上方作等腰直角三角形，点C落在反比例函数的图象上，若，则k的值为______． 16．（3分）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点E在上，． （1）当点E和点D重合时，的度数为___； （2）当点F在的中点时，设分别交于点M，N，的长为___． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）某班抽取了甲、乙两组学生，统计其本学期课外书阅读数量（单位：册）如下： 甲组：5，6，6，3，8，10，9，3，10； 乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 两组课外阅读数量的四分位数如下图表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a b c 乙 5 6 8 (1)根据甲组数据，求a，b，c的值； (2)在图中根据四分位数绘制出甲组课外书阅读数量的箱线图，观察图中乙组的箱线图，直接写出m，n的值． (3)根据箱线图比较甲、乙两组课外书阅读数量的特点（写出一条即可）． 19．（8分）如图，，都是的直径，弦，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 21．（9分）如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． (1)边的长为________；（用含的代数式表示） (2)要使苗圃园的面积为，求的值； (3)对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 22．（9分）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 23．（11分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形的折叠”开展数学探究活动． 【操作一】如图1，在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，在上选一点，沿折叠，使与重合． (1)的度数为__________； (2)已知正方形的边长为为的中点．若点在上，且，求的长； (3)【操作二】将正方形按【操作一】中折叠后展平，得到折痕，连接交于点，交于点，易得，则． (4)如图2，连接，判断的形状，并证明； (5)如图3，连接，过点作，分别交于点，直接写出的值． 24．（12分）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． (1)直接写出与的数量关系． (2)若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A A A D A D B D B C 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13． 14．12 15．/ 16． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)3 (2) (3)8 【详解】（1）解： ；·····························2分 （2）解： ；·····························4分 （3）解： ．·····························7分 18．（8分） 【答案】(1)，，或，， (2)解：画图如下： 或，或， (3)甲、乙两组课外书阅读数量的中位数相等（答案不唯一） 【分析】（1）根据四分位数与中位数的含义求解即可； （2）根据四分位数与最大值，最小值的信息分别确定即可； （3）根据箱线图可得答案． 【详解】（1）解：将甲组课外书阅读数量从小到大排列为： 3，3，5，6，6，8，9，10，10， 方法一：第一四分位数：，向下取整为第3个数据，则， 第二四分位数即中位数：，向下取整为第5个数据，则； 第三四分位数：，向下取整为第7个数据，则； 方法二：这组数据的中位数为：， 第一四分位数：，即， 第二四分位数即中位数：； 第三四分位数：，即；·····························3分 （2）解：画图略 ∵乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 结合箱线图可得：， ∴排序后4， m，5，6，6，7，8， 8，9． ∵第一四分位数为， 方法一：， ∴第个数一定是， ∴或， 方法二：， ∴；·····························6分 （3）解：根据箱线图可得：甲、乙两组课外书阅读数量的中位数相等．·····························8分 19．（8分） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由对顶角相等可得，则可得，再根据圆周角定理可得，则； （2）根据垂径定理，，根据圆周角定理可得，结合可证明是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；·····························3分 （2）解：∵， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，．·····························8分 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是关键． 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ；·····························2分 （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使；·····························5分 （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为．·····························8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)的值为10 (3)解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合三边篱笆总长为即可求解； （2）根据题意可得，进行求解，再结合墙长为取合适的值即可； （3）假设能围成面积为的苗圃园，可得，运用根的判别式即可验证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵三边篱笆总长为， ∴；·····························2分 （2）解：由题意得， 解得，， ∵墙长， ∴， ∴ 解得， ∴的值为；·····························5分 （3）解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确．·····························9分 22．（9分） 【答案】(1)点处距水平地面的竖直高度为 (2)无人机与技术人员之间的距离为 【分析】（1）交的延长线于点，根据山坡的坡度为得出，在中，根据勾股定理求得，即可求解； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形，根据题意得出，解，即可求解． 【详解】（1）解：作交的延长线于点，如图， 由题意，得， 设，且， ， 在中，， 即， 解得（负值已舍）， ，即点处距水平地面的竖直高度为；·····························4分 （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形， ， ， 无人机观测点位置的俯角为， 点观测点的仰角也是，即， 在中， ， 无人机与技术人员之间的距离为．·····························9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)3 (3) (4)是等腰三角形． 证明：． ∴ ， ， ， ∴． 由正方形的对称性可得， 是等腰三角形． (5) 【分析】（1）由折叠的性质得，，进而可求出； （2）设，则，然后根据列方程求解即可； （3）先证明，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得结论； （4）由可得，证明得，可证，由正方形的对称性可得，进而可证结论成立； （5）证明得，证明得，进而可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴． 由折叠的性质得，， ∴；·····························2分 （2）解：∵正方形的边长为6， ∴． ∵为的中点， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质得，． 设，则， ∵， ∴， 解得；·····························4分 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ·····························6分 （4）是等腰三角形． 证明：． ∴ ， ， ， ∴． 由正方形的对称性可得， 是等腰三角形．；·····························8分 （5）解：由翻折得，， ∵四边形是正方形， ， ， ， ． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴．·····························11分 24．（12分） 【答案】(1) (2)① ② ③存在，点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，题目属反比例与几何综合题目，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）将坐标代入反比例函数解析式，即可得到与的数量关系， （2）①先利用直角坐标系表示得到的值，然后利用三角形相似和直角三角形正切值得到的值，进而得到分别用含的代数式表示的坐标，利用三角形的面积公式得到含的方程，求得，进而得到的坐标，求得反比例函数的解析式．②作点关于轴的对称点，的周长转化为的长，当三点共线时，取得最小值，通过求解的坐标值，得到的解析式，进而得到其与轴的交点的坐标．③此问需要分情况讨论，和两种情况，分别作图，连接，过作，利用三角形相似得到的比值，然后利用，得到，进而得到的值，最后求得点的坐标． 【详解】（1）解：将和代入反比例函数，得到， 答：与的数量关系为．·····························3分 （2）解：①如图，过点作，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：．·····························5分 ②由、的坐标分别为：、， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的周长最小， ∵的周长为最小，由点的坐标得， 直线的表达式为：， 令，即， 得， 即点的坐标为：．·····························8分 ③点坐标为或， 理由如下：由①知， ， 第一种情况，当时，， 连接，过作，如图， ， ， ， ， ， 即点的坐标为，·····························10分 第二种情况，当时，， 连接，过作，如图， 在中，， ， 解得：， 同理可得：， ， ， ， 即点的坐标为， 综上，符合条件的点坐标为或． 答：反比例关系式为 ，点的坐标为：，点存在，其坐标为或．·····························12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）“这么近那么美，周末到河北”，嘉嘉周末到正定古城游玩，测得城楼右侧的斜坡坡面，，如图所示，则该斜坡的坡度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据斜坡的坡度坡面的铅直高度÷水平宽度即可求解 【详解】∵中，，，， ∴根据勾股定理，， 该斜坡的坡度． 2．（3分）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 3．（3分）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 4．（3分）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 5．（3分）反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的性质得出，求出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在某象限内随的增大而增大， ∴， ∵点在该反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴n的值可能是． 6．（3分）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 【答案】D 【分析】定位箱线图各统计量的位置，读取最大值、最小值、中位数及四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，最大值为180，最小值为120，中位数为150 ，第一四分位数为140 ，第三四分位数为163， ∴四分位距为． 7．（3分）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（3分）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 9．（3分）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点向坐标轴作垂线围成矩形，设的长度为，矩形的周长为，当时，的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得矩形的周长为，得到当且仅当即时，取得最小值为24；据此求解即可． 【详解】解：∵的长度为， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴矩形的周长为， ∵， ∴当且仅当即时，取得最小值为24； 当时，； 当时，； ∴当时，的范围是． 10．（3分）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 11．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】由题意不难得到，则有，可判断是等腰三角形，则不难判断①和②正确；易证，则有，再根据，，从而得到，利用相似三角形的性质可判断③错误；由此可知正确的结论有2个． 【详解】解：由题意可得，，，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴点为的中点， ∴垂直平分线段， 故选项①，②正确，符合题意； 在和中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项③错误，不符合题意； ∴正确的结论有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，解题的关键是对相似三角形的判定与性质的灵活运用． 12．（3分）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．把代入，即可求解． 【详解】解：把代入， ∴， 解得，， 经检验符合， 故答案为：． 14．（3分）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 【答案】12 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴和x轴正半轴上的点，．以点A为直角顶点，为直角边在上方作等腰直角三角形，点C落在反比例函数的图象上，若，则k的值为______． 【答案】/ 【分析】如图，过点C作轴于点D．根据是等腰直角三角形，得出，．证明，根据，，得出，，则，，求得．根据点C在反比例函数图象上，代入即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D． ∵是等腰直角三角形， ∴，． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 16．（3分）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点E在上，． （1）当点E和点D重合时，的度数为___； （2）当点F在的中点时，设分别交于点M，N，的长为___． 【答案】 【分析】（1）根据题意得出，即可得出，即可求解； （2）连接，根据已知得出，求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形和等边三角形内接于，点E和点D重合， ，，，， ∴， ， ； （2）如图2，正方形和等边三角形内接于，，连接， ∵， ∴为的直径，点共线， ，， ， 是的中点，， ， 等边三角形内接于， ， ， ， ， ∴的长为． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3)8 【详解】（1）解： ；·····························2分 （2）解： ；·····························4分 （3）解： ．·····························7分 18．（8分）某班抽取了甲、乙两组学生，统计其本学期课外书阅读数量（单位：册）如下： 甲组：5，6，6，3，8，10，9，3，10； 乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 两组课外阅读数量的四分位数如下图表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a b c 乙 5 6 8 (1)根据甲组数据，求a，b，c的值； (2)在图中根据四分位数绘制出甲组课外书阅读数量的箱线图，观察图中乙组的箱线图，直接写出m，n的值． (3)根据箱线图比较甲、乙两组课外书阅读数量的特点（写出一条即可）． 【答案】(1)，，或，， (2)解：画图如下： 或，或， (3)甲、乙两组课外书阅读数量的中位数相等（答案不唯一） 【分析】（1）根据四分位数与中位数的含义求解即可； （2）根据四分位数与最大值，最小值的信息分别确定即可； （3）根据箱线图可得答案． 【详解】（1）解：将甲组课外书阅读数量从小到大排列为： 3，3，5，6，6，8，9，10，10， 方法一：第一四分位数：，向下取整为第3个数据，则， 第二四分位数即中位数：，向下取整为第5个数据，则； 第三四分位数：，向下取整为第7个数据，则； 方法二：这组数据的中位数为：， 第一四分位数：，即， 第二四分位数即中位数：； 第三四分位数：，即；·····························3分 （2）解：画图略 ∵乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 结合箱线图可得：， ∴排序后4， m，5，6，6，7，8， 8，9． ∵第一四分位数为， 方法一：， ∴第个数一定是， ∴或， 方法二：， ∴；·····························6分 （3）解：根据箱线图可得：甲、乙两组课外书阅读数量的中位数相等．·····························8分 19．（8分）如图，，都是的直径，弦，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由对顶角相等可得，则可得，再根据圆周角定理可得，则； （2）根据垂径定理，，根据圆周角定理可得，结合可证明是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；·····························3分 （2）解：∵， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，．·····························8分 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是关键． 20．（8分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ；·····························2分 （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使；·····························5分 （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为．·····························8分 21．（9分）如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． (1)边的长为________；（用含的代数式表示） (2)要使苗圃园的面积为，求的值； (3)对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 【答案】(1) (2)的值为10 (3)解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合三边篱笆总长为即可求解； （2）根据题意可得，进行求解，再结合墙长为取合适的值即可； （3）假设能围成面积为的苗圃园，可得，运用根的判别式即可验证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵三边篱笆总长为， ∴；·····························2分 （2）解：由题意得， 解得，， ∵墙长， ∴， ∴ 解得， ∴的值为；·····························5分 （3）解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确．·····························9分 22．（9分）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 【答案】(1)点处距水平地面的竖直高度为 (2)无人机与技术人员之间的距离为 【分析】（1）交的延长线于点，根据山坡的坡度为得出，在中，根据勾股定理求得，即可求解； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形，根据题意得出，解，即可求解． 【详解】（1）解：作交的延长线于点，如图， 由题意，得， 设，且， ， 在中，， 即， 解得（负值已舍）， ，即点处距水平地面的竖直高度为；·····························4分 （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形， ， ， 无人机观测点位置的俯角为， 点观测点的仰角也是，即， 在中， ， 无人机与技术人员之间的距离为．·····························9分 23．（11分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形的折叠”开展数学探究活动． 【操作一】如图1，在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，在上选一点，沿折叠，使与重合． (1)的度数为__________； (2)已知正方形的边长为为的中点．若点在上，且，求的长； (3)【操作二】将正方形按【操作一】中折叠后展平，得到折痕，连接交于点，交于点，易得，则． (4)如图2，连接，判断的形状，并证明； (5)如图3，连接，过点作，分别交于点，直接写出的值． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)是等腰三角形． 证明：． ∴ ， ， ， ∴． 由正方形的对称性可得， 是等腰三角形． (5) 【分析】（1）由折叠的性质得，，进而可求出； （2）设，则，然后根据列方程求解即可； （3）先证明，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得结论； （4）由可得，证明得，可证，由正方形的对称性可得，进而可证结论成立； （5）证明得，证明得，进而可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴． 由折叠的性质得，， ∴；·····························2分 （2）解：∵正方形的边长为6， ∴． ∵为的中点， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质得，． 设，则， ∵， ∴， 解得；·····························4分 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ·····························6分 （4）是等腰三角形． 证明：． ∴ ， ， ， ∴． 由正方形的对称性可得， 是等腰三角形．；·····························8分 （5）解：由翻折得，， ∵四边形是正方形， ， ， ， ． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴．·····························11分 24．（12分）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． (1)直接写出与的数量关系． (2)若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ② ③存在，点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，题目属反比例与几何综合题目，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）将坐标代入反比例函数解析式，即可得到与的数量关系， （2）①先利用直角坐标系表示得到的值，然后利用三角形相似和直角三角形正切值得到的值，进而得到分别用含的代数式表示的坐标，利用三角形的面积公式得到含的方程，求得，进而得到的坐标，求得反比例函数的解析式．②作点关于轴的对称点，的周长转化为的长，当三点共线时，取得最小值，通过求解的坐标值，得到的解析式，进而得到其与轴的交点的坐标．③此问需要分情况讨论，和两种情况，分别作图，连接，过作，利用三角形相似得到的比值，然后利用，得到，进而得到的值，最后求得点的坐标． 【详解】（1）解：将和代入反比例函数，得到， 答：与的数量关系为．·····························3分 （2）解：①如图，过点作，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：．·····························5分 ②由、的坐标分别为：、， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的周长最小， ∵的周长为最小，由点的坐标得， 直线的表达式为：， 令，即， 得， 即点的坐标为：．·····························8分 ③点坐标为或， 理由如下：由①知， ， 第一种情况，当时，， 连接，过作，如图， ， ， ， ， ， 即点的坐标为，·····························10分 第二种情况，当时，， 连接，过作，如图， 在中，， ， 解得：， 同理可得：， ， ， ， 即点的坐标为， 综上，符合条件的点坐标为或． 答：反比例关系式为 ，点的坐标为：，点存在，其坐标为或．·····························12分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版九年级数学上册第23~28章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）“这么近那么美，周末到河北”，嘉嘉周末到正定古城游玩，测得城楼右侧的斜坡坡面，，如图所示，则该斜坡的坡度为（   ）． A． B． C． D． 2．（3分）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．（3分）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 4．（3分）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 6．（3分）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 7．（3分）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（3分）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点向坐标轴作垂线围成矩形，设的长度为，矩形的周长为，当时，的范围是（    ） A． B． C． D． 10．（3分）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 11．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 12．（3分）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 14．（3分）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴和x轴正半轴上的点，．以点A为直角顶点，为直角边在上方作等腰直角三角形，点C落在反比例函数的图象上，若，则k的值为______． 16．（3分）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点E在上，． （1）当点E和点D重合时，的度数为___； （2）当点F在的中点时，设分别交于点M，N，的长为___． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）某班抽取了甲、乙两组学生，统计其本学期课外书阅读数量（单位：册）如下： 甲组：5，6，6，3，8，10，9，3，10； 乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 两组课外阅读数量的四分位数如下图表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a b c 乙 5 6 8 (1)根据甲组数据，求a，b，c的值； (2)在图中根据四分位数绘制出甲组课外书阅读数量的箱线图，观察图中乙组的箱线图，直接写出m，n的值． (3)根据箱线图比较甲、乙两组课外书阅读数量的特点（写出一条即可）． 19．（8分）如图，，都是的直径，弦，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 21．（9分）如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． (1)边的长为________；（用含的代数式表示） (2)要使苗圃园的面积为，求的值； (3)对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 22．（9分）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 23．（11分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形的折叠”开展数学探究活动． 【操作一】如图1，在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，在上选一点，沿折叠，使与重合． (1)的度数为__________； (2)已知正方形的边长为为的中点．若点在上，且，求的长； (3)【操作二】将正方形按【操作一】中折叠后展平，得到折痕，连接交于点，交于点，易得，则． (4)如图2，连接，判断的形状，并证明； (5)如图3，连接，过点作，分别交于点，直接写出的值． 24．（12分）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． (1)直接写出与的数量关系． (2)若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $