广东省韶关市曲江区曲江中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期第一次月考考试 高一年级数学试卷（答案） 一、单项选择题 1.下列各组对象中，能构成集合的是() A.非常大的自然数 B.喜欢运动的人 C.小于100的正整数 D.3的所有近似值 【答案】C 【详解】根据集合的元素的确定性（确定性是指对于任意对象，都能明确判断它是否属于给定集合， 不存在模糊的判定标准.)依次对4个选项进行判断： 选项A:非常大的自然数，没有明确的量化标准，无法判定一个自然数是否属于该组对象，不满足 确定性，不能构成集合： 选项B:喜欢运动的人，没有明确的判定依据，无法判定某个人是否属于该组对象，不满足确定性， 不能构成集合： 选项C:小于100的正整数，判定标准明确，即所有满足1≤n≤99(n∈Z),能构成集合： 选项D:√3的所有近似值，没有明确的精度要求，无法判定一个数是否属于该组对象，不满足确 定性，不能构成集合 2.已知集合A={0,1,2,3,4},B={x0<x<3},则A∩B=() A.{1,2} B.{1,2,3} c.{0,l,2} D.{0,1,2,3} 【答案】A 【解析】A由题意有：A∩B={1,2} 3.命题x>1,x2-m>1的否定是() A.Vx>1,x2-m≤1 B.3x≤1，x2-m≤1 C.3x>1,x2-m≤1 D.x≤l,x2-m≤1 【答案】C 【解析】C命题x>1,x2-m>1是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是x>1,x2-m≤1. 4.下列图象中，能表示函数y=f(x)图象的是() 1① 2 ③ ④ A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【答案】D 【详解】解：一个x只能对应一个y,①③符合题意， 对于②中，当x>0时，一个x对应两个y,不符合函数的定义： 对于④中，当x=0时，一个x对应两个y,不符合函数的定义. 故选：D 5.已知a∈R,p=(a-1)(a-3),g=(a-22,则p与9的大小关系为() A.p>9 B.P≥q C.p<q D.p<q 【答案】C 【详解】由题意，p=(a-l(a-3),g=(a-2)}2 则p-q=(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0, 所以p-9<0,即p<9, 故选C 6.“a>b”是“ <<0的() a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为1<<0，所以b>0, a b 对不等式两边同乘正数ab,则b<a, 即a>b,所以由上<<0可以推出a>b,必要性成立， a b 若a>b,取a=2,b=1,则-= 1_1.1=-1, a2'b 所以上<且上>0,>0，但是不满足上<<0， a b a b a b 11 所以由a>b不能推出二<，<0，充分性不成立， a b 综上所述：a>b是1<1 <0的必要不充分条件 a b 7.若1<a+b<4,-2<a-b<4,则a+3b的取值范围是() A.-5<a+3b<13 B.-2<a+3b<10 C.-2<a+3b<9 D.-5<a+3b<10 【答案】B 【详解】设a+3b=m(a+b)+n(a-b),其中m,n为实数， m+n=1 m=2 所以a+3b=(m+n)a+(m-n)b,故 m-n=3'解得 n=-1' 所以a+3b=2(a+b)-(a-b),因为1<a+b<4,所以2<2(a+b)<8, 又-2<a-b<4,则-4<-(a-b)<2,所以-2<2(a+b)-(a-b)<10,即-2<a+3b<10. 8.设max{x,y,z}为x,y,z中最大的数.已知正实数a,b,记M=max 8a,2b, 则M的最小值 为() A.1 B.√2 C.2 D.4 【答案】C 【详解】由M=max{8a,2b, 1 得M≥8a,M≥2b,M≥ Jab' 1 所以M+M≥8a+2b,即M≥4a+b,因为M≥ ,所以M2≥4a+b ab 由基本不等式可得4a+b≥24ab=4ab,所以a+≥ 4， ab 所以M2≥4，M≥2，当M=8a,M=2h,M=1 而，即a=6=1时，M取得爱小位2 故选：C 二、多项选择题 9.下列命题是真命题的是() A.每一个末位是0的整数都是5的倍数 B.对任意实数x,x的平方是正数 C.有些菱形是正方形 D.存在一个三角形，它的内角和小于180 【答案】AC 【详解】选项A,每一个末位是0的整数都是5的倍数是真命题，A正确： 选项B,当x=0,x2=0,显然0不是正数，B错误： 选项C,正方形是特殊的菱形，C正确： 选项D,所有的三角形内角和都是180°，不存在内角和小于180°的三角形，D错误 10.对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A且xB}叫做集合A与集合B的差集，记作A-B.己知集 合A=1,2,3,4,5,6,B={3,4,5,6,7}.则下列说法正确的是（) A.A-B={1,2} B.B-A={7} C.A-(A-B)=B D.(AUB)-（A-B)=B 【答案】ABD 【详解】依题意可得A-B={xx∈A且x生B}, 当A=1,2,3,4,5,6,B={3,4,5,6,7}时，可得A-B=12，即A正确；同时B-A={7},所以B正 确：结合A选项可得A-(A-B)=3,4,5,6}≠B,即C错误；易知AUB=1,2,3,4,5,6,7},又 A-B=1,2},所以(AUB)-（A-B)=3,4,5,6,7}=B,即D正确 故选：ABD 1.已知关于x的不等式2☑+m-6-网-1>0(a>0,b>0)的解集为（写》UL,)。 则下列结论正确的是() A.2a+b=0 B.ab的最大值为3 C.a2+2b2的最小值为 50 9 D. 2+ +的最小值为？」 a+l b 【答案】BCD 【详解】由题可知，2a+m>0且名=有=1为方程2a+m2-6-m-1=0的两个实数根， b-m 1. 2 -11 则由韦达定理可得+50+m-亏1-号，52a十m方所以 3(b-m)=2(2a+m),2a+m=3,即b-m=2,因此2a+b=5,选项A错误： 由2a+h=5,a>0,>0,根据基本不等式可得b=×2axh≤x2a+b_25, 2 248 当且仅当20=6，回a=子办-多时取等号，此时6的最大值为管速项B正确： 4 2 电2a+h=5,则b=5-2a,所以d+28=+25-2a=90-40a+50=9a-0+0 根据二次画数开口向上，当a-)时，心+26的受小值为0 ,选项c正确 由2a+h=5,则2(a++b=7,又a>0,b>0,所以a+1>0,因此2+×2+》 Ea+lb-7x a+ 7, 当且仅当26=2a+,即a= a+l b 拿6-写时等号，此时+君3张小值为号进项D止确 9 三、填空题 2.不等式x-2到-引0的解柴为 【答案】 或) x2,x≤0 13.设函数f(x)= 6 x+0-6,x>0 则f(f(-2)= 【答案】- 2 4 9 14.已知a,beR且ab>0,则ab a2+b2 (a+b) 的最小值为 【带吉05 【u1og6-6w可g 4a-9-4+ 12 (a+b)2a+b 4a+A、0c+ 因为 >0, a2+b2 (a+b) 4 1 4a+b) 所以ab a+b 2 a+b 4(a+b)29(ad2+b2) 当且仅当 a2+b2 ,即2+b2=4b时，等号成立， (a+b)2 4 9 故ab a2+b2 (a+b)2 的最小值为号 四、解答题 15.已知集合A={-2≤x≤0，B={xx<-1或x>4},全集U=R (I)求A∩B,AUB; (2)求C,B,AUC,B) 【详解】(1)因为A={x-2≤x≤0，B={xx<-1或x>4}, 所以AnB={-2≤x<-,AUB={x≤0或x>4}: (2)由题意可知C,B={x-1≤x≤4}，又A={x-2≤x≤0}， 所以AUC,B={x-2≤x≤4} 16.(1)当x>3时，求函数y=2x+ 8 的最小值： x-3 (2)已知正数x,y满足x+2y=2. (i)求y的最大值： 21 (i)求二+二的最小值， x y 【详解】4D由x>3,所以x-3>0,所以y=2r+820r-别+3+6 x-3 ②220-3)x836=8+6=14,当且仅当20-列=8 即x=5时，函数取到最小值14 x-3 (2)(i)因为正数x,y,由基本不等式得2=x+2y≥2V2xy, 解得ys :(当且仅当x=2y=1时取等号)，所以y的最大值号： +2+++= 当且仅当y-二时，即x=2y=1取等号，放+的最小值为4 2 x v 17.某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年因该 设备额外产生收益50万元，该设备前x年的维修、保养等费用共(2x2+10x)万元.设使用x年后该 设备的盈利额为y万元（设备的盈利额=因设备额外产生的收益一设备的购进成本-设备维修保养 费)，其中x∈N (1)写出y关于x的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利. (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备： 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备， 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由 【详解】(1)由题意得使用x年后：y=50x-72-(2x2+10x)=-2x2+40x-72,xeN 令y>0,-2x2+40x-72>0即2x2-40x+72<0,解得2<x<18因为x∈N,所以3≤x≤17， 即从第3年开始，该设备开始盈利 2)方案①：平均盈利额为之2x+40-2=-2x+2+40≤-22x2+40=-2x12+40=6 x 当且仅当“2x= 72即x=6时等号成立 ∴.第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利16×6+52=148万元 方案②：盈利额为y=-2x2+40x-72,当x=10时，盈利额达到最大值，为128万元 .第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利128+20=148万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更 合理 18.己知函数f(x)=x2-x-1. (1)若=-1，求不等式f(x)<0的解集： (2)解关于x的不等式f(x)<(m-1)x+1: (3)当m>0时，若g(x)=-2x-m,对∈R,x∈[-1,1，关于x的不等式f(:)>8(2)恒成立， 求实数m的取值范围. 【详解】(1)当m=-1时，不等式f(x)<0,即为-x2+x-1<0, 由方程-x2+x-1=0,可得△=(1)2-4×(1)×(1)=-3<0， 可得方程无实数根，即不等式-x+x-1<0的解集为R. (2)由不等式f(x)<(m-1)x+1,即为x2-x-1<(m-1)x+1, 整理得2-(21-1)x-2<0, 当m=0时，不等式可化为x-2<0,解得x<2; 当m≠0时，不等式可化为m:G+马(x-2)<0 m ①当m>0时，不等式即为K+16-2)<0,因为-1<0<2，解得-1<x<2: ②当m<0时，不等式即为(x+上-2)>0， 0若-女2，印-m<0,解得司或r<2: 《m考品2，即m宁不等式化为位-砂>0，解得生2： 1 (i)若- 1 <2,即m<),解得x>2或x<-1 l 综上可得：当1>0时，不等式的解集为(2)； 当=0时，不等式的解集为(-0,2)： 2 <m<0时，不等式的解集为(0,2)U(-+ 当m=-二时，不等式的解集为（←∞，2）U(2,+o) 2 当<- ：不等式的解集为（之K2四. (3)当m>0时，对∈R,x2[-1,],不等式f()>g(化)恒成立， 等价于求解函数f(x)在R上的最小值大于g(x)在[-1,1]上的最大值， 当m>0时函数f(g=M2--1的图像开口向上，对称轴为x= 2 所以fx)。=f=2m-，m-1=-m-1. 4 2 4 因为函数g(x)=-2x-m在区间[-1,1]上为单调递减函数， 所以g(x)a=g1)=-2×(-)-1=2-m,所以-m-1>2-m,解得m>4, 4 所以实数m的取值范围为(4，+∞)， 19.高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题对于非空数集A, B,定义A⑧B={(x,y)川x∈A且y∈B},将A⑧B称为“A与B的笛卡尔积 (1)若A={-1,0,1,B={1,1},求A⑧B和B⑧A: (2)试证明：“4⑧A,=A,⑧A”是“A=4”的充要条件： (3)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为H.已知4⑧A,=m(m∈N),且存在实数a满足 4®A+4,®4≥a对任意meN恒成立求a的取值范围，并指明当a取到最值时4和A满 A,⑧A| 足的关系式及应满足的条件. 【详解】(1)由题意可得：A⑧B={(-1,-1),(1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),11}, B⑧A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1} （2)证明：若A=A,,设A=4=A, 由定义可知：4⑧A={(a,b)川a∈A且b∈A}=A⑧A, 所以“A⑧A=A⑧A”是“A=A”的必要条件： 若A⑧A=A,⑧A,对任意(a,b)∈A⑧A,均有(a,b)∈A⑧A, 即对任意a∈A,beA,均有a∈A,b∈A, 由任意性可知A二A,A≤A,则A=A, 所以“A⑧A=A⑧A”是“A=A”的充分条件： 综上所述：“A⑧A=A⑧A”是“A=A,”的充要条件 (3)设4=c,4|=d,c,deNW, 则4⑧4=A⑧A=cd=i,4⑧4=c2,4⑧A=dP, 4⑧4+4，⑧4 可得 4⑧4] 当且仅当=4 =口，即c=d时，等号成立， d c 所以实数a的取值范围(-o,V2]。 若a取到最大值，则c=d,即4=4， 可得c2=m,即c=Vm=（m)eN, 所以m=k2,keN.2026-2027学年第一学期第一次月考考试 高一年级数学试卷 命题老师：马杰 考试时间：2026年10月19-21日 考生注意：1、本试卷考试时间为120分钟，满分150分。 2、请在答题卡上填清楚考场号、座位号、考号、姓名、班级。 3、考试结束交答题卡。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.下列各组对象中，能构成集合的是（) A.非常大的自然数 B.喜欢运动的人 C.小于100的正整数 D.√3的所有近似值 2.已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x0<x<3},则A∩B=() A.{1,2} B.{12,3} C.{0,12} D.{0,1,2,3} 3.命题Vx>1,x2-m>1的否定是（ A.∀x>1,x2-m≤1 B.3x≤1，x2-m≤1 C.3x>1,x2-m≤1 D.∀x≤1，x2-m≤1 4.下列图象中，能表示函数y=f(x)图象的是( ① ② ③ ④ A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 5.已知a∈R,p=(a-1)(a-3),q=(a-2),则p与9的大小关系为() A.p>q B.p>≥q C.p<q D.p<g 6.“a>b”是“1<<0”的() a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若1<a+b<4,-2<a-b<4,则a+3b的取值范围是( ) A.-5<a+3b<13 B.-2<a+3b<10 C.-2<a+3b<9 D.-5<a+3b<10 8,设max(x,y5为出八2中最大的数.已知正实数Q,b,记M=max8a,26,则w 的最小值为( ) A.1 B.√2 C.2 D.4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列命题是真命题的是() A.每一个末位是0的整数都是5的倍数B.对任意实数x,x的平方是正数 C.有些菱形是正方形 D.存在一个三角形，它的内角和小于180 10.对于集合A,B,我们把集合{xx∈A且xEB}叫做集合A与集合B的差集，记作A-B.已 知集合A=1,2,3,4,5,6,B={3,4,5,6,7}.则下列说法正确的是() A.A-B=1,2} B.B-A=7} C.A-(A-B)=B D.（AUB)-(A-B)=B 山.已知关于x的不等式(a+m-mr10(a>0,b>0)的解集为（副U,+四， 则下列结论正确的是( A.2a+b=0 B。ab的最大值为空 C.a2+2b2的最小值为50 D.2+的最小值为) a+l b 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.不等式(x-2》0的解集为 x2,x≤0 13.设函数f(x)= x+6-6,x>0 则f(f(-2)= 4 14.已知a,b∈R且ab>0,则ab a2+b2(a+b2 的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演 算步骤) 15.已知集合A={x-2≤x≤0}，B={xx<-1或x>4},全集U=R. (1)求A∩B,AUB; (2)求CB,AU(CB) 16.)当>3时，求函数y=2x+8的最小值： x-3 (2)已知正数x,y满足x+2y=2. ①)求xy的最大值； 回求子+的最小色 17.某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备.预计使用该设备 后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前x年的维修、保养等费用共(2x2+10x) 万元.设使用x年后该设备的盈利额为y万元（设备的盈利额=因设备额外产生的收益 一设备的购进成本-设备维修保养费)，其中x∈N. (1)写出y关于x的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利. (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种：方案①：当年平均盈利额达到 最大值时，以52万元价格处理该设备：方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价 格处理该设备.请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由· 18.已知函数f(x)=x2-x-1. (1)若=-1，求不等式f(x)<0的解集： (2)解关于x的不等式f()<(m-1)x+1: (3)当m>0时，若g(x)=-2.x-m,对x∈R,5∈[-1,1]，关于x的不等式f(1)>g(k)恒 成立，求实数m的取值范围. 19.高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对 于非空数集A,B，,定义A⑧B={(x,y)川x∈A且y∈B},将A⑧B称为“A与B的笛卡尔积” (1)若A={-1,0,,B={1,1},求A⑧B和B⑧A: (2)试证明：“4⑧4=A⑧4”是“4=A”的充要条件： (3)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为H.已知A⑧A=m(∈N),且存在 实数a满足 4@A+4@4a对任意m∈N恒成立.求a的取值范围，并指明当a取到 A,⑧A 最值时A和A,满足的关系式及m应满足的条件.