高二数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（沪教版）

2026-2027学年高二年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知向量，则的值为___________． 【答案】7 【详解】直接利用空间向量数量积的坐标形式计算即可. 因为向量，所以. 2．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖．通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为______． 【答案】 【详解】如图所示为该圆锥轴截面， 依题意，底面圆半径为，母线， 屋顶的面积， 故答案为： 3．半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 【答案】/ 【详解】不妨将球设为正方体的内切球，正方体的边长， 由球心到墙角顶点的距离为2， 则，可得，解得. 故答案为： 4．已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 【答案】 平行 【详解】由，可得直线，， 又，则和没有公共点， 又，同在平面内，因此. 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】由得 向量满足所以是平面的一个法向量. 又在平面内，所以与垂直，即因此 例如取，可得一个符合题意的点 答案不唯一，任取满足的均可. 6．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则__________． 【答案】/ 【详解】设 ，由，可得，． 根据斜二测画法的规则，在原图形中，， 且，，． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得． 在中，由正弦定理得， 所以． 7．如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】 【分析】 【详解】如图，连接，交于点，连接，由四边形是平行四边形，得， 在线段上取点，使得，由 ，得， 且为的中点，连接，则 ， 由平面 平面，得平面， 又平面 平面，所以平面平面， 又平面平面 ，平面平面 ，所以，所以． 8．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 【答案】 【详解】由正三棱柱的底面为边长为的等边三角形，可得底面三角形内切圆的半径， 所以内切圆柱的体积为 因为内切圆柱的体积为，可得，解得，所以， 所以该正三棱柱的底面边长为. 9．如图，在四面体中，，，两两垂直，，，则二面角的大小为________． 【答案】 【详解】因为，，两两垂直，，， 所以， 所以是等腰三角形，是等腰直角三角形， 所以 取中点，连接，，如图所示， 则，，， 且平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， ， 由余弦定理可得， 因为二面角的取值范围是，所以，即二面角的大小为. 10．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 【答案】 【详解】由题意，正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径. 法一：连接，相交于点，则点为的中点，连接. 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由，得，则， 则截面圆半径，所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 则到平面的距离， 所以截面圆半径，所以截面面积. 11．在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，则点的距离为_______． 【答案】2 【详解】 正方体中 平面 ，因此 是三棱锥 的高，且 ， 正方形 面积为 ， ， ， ， 因此 ， ， 在直角三角形 中，，，故 ， 在直角三角形 中，，，故 ， 在直角三角形 中，，，故 ， 所以， 所以， 所以， 设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积为 ， 由体积相等 ，得，得. 12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，点、在线段、上移动，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 所以PQ的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得该方亭上、下底面的边长分别为1、2. 所以该方亭体积为. 14．如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】如图，分别在平面内构造矩形、，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，又平行且相等，所以四边形为矩形， 因为二面角等于，，，所以， 因为，，所以在中， 因为，则 15．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，则，则， 若平面，则 即， 则，得，故. 16．正三棱柱中，，动点P在侧面内，且直线与面所成角的正切值为，则线段扫过的曲面面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点为，连接，， 由为正三角形，所以， 在正三棱柱中，平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又，所以， 所以， 所以，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧， 又，所以， 所以，所以， 所以的弧长为：， 又， 所以线段扫过的曲面为点沿圆弧运动时扫过的曲面是圆锥侧面的一部分， 所以线段扫过的曲面面积为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求面和面夹的余弦值． 【详解】(1)证明：由于是等腰直角三角形，且， 故, 2分 又三棱柱为直三棱柱，所以平面， 平面，故， 4分 平面， 故平面 6分 （2）由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， , , 8分 设平面的一个法向量为， 则令，则，故， 10分 又平面的一个法向量为, 11分 故, 故平面与平面的夹角余弦值为 14分 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱锥中，等边两边，的中点分别为，，平面和平面相交于直线， .    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【详解】(1)证明: 由，分别为，的中点，则， 又平面，平面，故平面， 2分 又平面平面，平面， 故， 4分 又平面，平面， 故平面； 6分 （2）由、为中点，则， 由，则， 则，则等边中，， 则，故，故， 9分 由，、平面，故平面， 11分 故即为三棱锥的高， 则. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体．    (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； 【详解】（1）在矩形中，连接与相交于点，即为与的中点，    则， 在翻折后点为中点，还是有， 故三棱锥外接球球心为点， 3分 半径， 所以外接球表面积． 6分 （2）由题可知， 所以 因为， 设，，即，可得为的重心， 9分 如图，设，，， 则，，， 11分 由为的重心，可知，即， 可得，    所以 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分） 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 【详解】(1)如图所示，作出符合题意的图形， 取的中点，连接，． 因为为的中点，所以且．     又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故．     2分 又平面，平面， 所以平面． 4分 （2）取的中点，的中点，连接，． 易得，而平面，则平面．     6分 因为，所以，且．     所以，，两两互相垂直．以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，．     8分 设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为．     10分 易知是平面的一个法向量．     因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 12分 (3)由（2）可知，，，， ，平面的一个法向量为．     14分 因为， 所以直线不在平面内． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【详解】(1)证明： 如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 2分 所以， 所以，，, 所以； 4分 （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 5分 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，， 所以异面直线和所成的角的余弦值为； 8分 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； 10分 （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 12分 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 15分 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 18分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三第10、11章+选修一第3章。 5．难度系数：0.65 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知向量，则的值为___________． 2．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖．通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为______． 3．半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 4．已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 6．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则__________． 7．如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 8．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 9．如图，在四面体中，，，两两垂直，，，则二面角的大小为________． 10．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 11．在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，则点的距离为_______． 12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，点、在线段、上移动，则的最小值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（    ） A． B． C． D． 14．如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（   ） A． B． C． D．4 15．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 16．正三棱柱中，，动点P在侧面内，且直线与面所成角的正切值为，则线段扫过的曲面面积为（     ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求面和面夹的余弦值． 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱锥中，等边两边，的中点分别为，，平面和平面相交于直线， .    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体．    (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分） 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)。 2325 1、7 2、6V3m2 3、3/3 5、(山，2，-2)（答案不唯一，满足x+y=3即可） 2525 4、平行 6、313 1 π 1、3 8、4W3 9、3 2525 10、3 11、2 12、3/3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一 个正确答案 13 14 15 16 C B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 【详解】(1)证明：由于△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=A4=2, 故BC LAC, 。。。。。。。。。 2分 又三棱柱“ 6C-48G为直三棱柱，所以C平面MBC BCc平面4c,枚BC1CC 4分 AC∩CC=C,AC,CC ACCA 平面 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故BC1平面 CCA 6分 CC CB,CA (2)由于 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， C(0,0,0),C(0,0,2),D(2,0,1),B(0,2,2) CD=(2,0,1),CB=(0,2,2) 8分 设平面8，C”的一个法向量为m=(:,少)】 CD.m=2x+z=0, 则CBm=2y+2z=0,令z=2?则x=-1,y=-2,故m=(1,-2,2) 10分 又平面CDC的一个法向量为 B=(0,2,0) 1l分 cos.B=2·5=一42 2 故平面CDC与平面B,CD的夹角余弦值为3 .14分 ZA B 18、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 【详解】(1)证明： 由D,E分别为AC,BC的中点，则DEIIAB 又AB4平面PDE,DEc平面PDE,故ABII平面PDE, …2分 又I=平面PDE∩平面PAB,ABc平面PAB, 放AB/l,14分 又I丈平面ABC,ABC平面ABC, 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故/平面ABC；6分 (2)由PA=PC、D为AC中点，则PD⊥AC, 由PA⊥PC,则AC=VPA+PC=2+(2=2, 剥PD4C=1,则等边AMBC中，AB=BC=AC=2: 则a0=9c=5 ,故PD2+BD2=4=PB2,故PD⊥BD,9分 由BD∩AC=D,BD、ACC平面ABC,故PD⊥平面ABC,11分 故PD即为三棱锥P-ABC的高， 则业号PD甘k5 14分 3 4 3 19、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 【详解】(1)在矩形ABCD中，连接BD与AC相交于点G,即G为BD与AC的中点， B 则GA=GB=GC=GD, 在翻折后点G为AC中点，还是有GA=GB=GC=GD', 故三棱锥D'-ABC外接球球心为点G,3分 半径r4C-VA+sCF-1, 所以外接球表面积S=4π2=4T. 6分 (2)由题可知'm-oc= .woch,Vo-c-3 S.ABch Vry-noc= 所以'--ABC S.ABC 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为0A+20B+30C=0, 设0F=20,0c=0c,m01+0丽+0c- 3O、△AB'C' ,可得为 的重心，9分 如图，设 SAA0B=x S.B0c=y S.Aoc=2 .0-2x 5.moc =6y 5.c3 ,11分 由O为△B'C 4os=S.sc=S.ox,即2 x=6y=3z 的重心，可知 可得 S.Boc:S.ABC=y:(x+y+z)=1:6 B Yo-boc=S.= 所以Vn-ABcS.Bc 6l4分 20、(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分) 【详解】(1)如图所示，作出符合题意的图形， 取AC的中点E,连接EB,EN. 因为N为AC的中点，所以ENICC且EN=CC. 又BMICC且8M-cG, 所以ENIIBM且EN=BM, 4/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以四边形ENMB为平行四边形，故BEIIMN …………2分 又BEc平面ABC,MNC平面ABC, 所以MN/∥平面ABC. 4分 (2取8C的中点0.BC的中点F,连接40.0r 易得 F/BB,而88平面ABC,则OF上平面4BC 6分 因为AB=4C,所以A01BC,且A0=VAB2-0B=5-1P=2. 所以OA,OB,OF两两互相垂直.以O为坐标原点， 直线OB，,OF,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系0-2，如图所示， 则c(-1a0,C(←120.Mu0.402)N3 B02,0). 片uc西-20，项-( .8分 设平面CMN的法向量为 m=(x,y,z) m.CM=2x+y=0 则m:Mx+z=0令 令x=2得=4'2=3 所以平面CMN的一个法向量为 m=(2,-4,3) 10分 易知=(Q1,0)是平面48C的一个法向屉 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 i 4V29 cos(m,)= -4 因为 m:元√4+16+9×129， 4v29 所以平面CMN与平面ABC夹角的余弦值为29.12分 6h2可.瓜=29.a-a2.46-孤-得}引 6-a+.2. 平面CMN的一个法向量为m=(2,-4,3) 14分 因为m:CG=2×7+4)x +3×=-1≠0 4 2 所以直线CG不在平面CMN内， 18分 21、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 【详解】(1)证明： 如图，因为AB⊥底面BCD,CDC平面BCD 所以AB⊥CD,又CD⊥BC,且ABOBC=B 所以CD⊥平面ABC,ACC平面ABC, .2分 所以CD⊥AC, 所以os日=BD CD AD: cos0,= BD: cose =CD ' cose cos,cos 所以 ；4分 (2)如图，以DB,DC为临边作平行四边形BDCE,连结AE,则异面直线AC和BD所成的角为∠ACE或 其孙角，5分 B 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当BC1CD时，8=LBC=2CD=1,并且由1)可知4E=F+F=5,4C=+2=5 EC=BD=V22+12=V5 △4CE中，cos∠ACE=1C+EC2-4E:.4 2XAC×EC 5 4 所以异面直线AC和BD所成的角的余弦值为5；… 8分 当BD⊥DC时，AE=2,AC=V5,EC=BD=V22-=5 COSLACE=AC+EC-AE5 5 △ACE中， 2×AC×EC 5,所以异面直线AC和BD所成的角的余弦值为5； 4V15 综上可知，异面直线AC和BD所成的角的余弦值为5或5；10分 (3)如图，作PO⊥BC于点O,作QM1BD于点M,连结PM, AABC AB,PO BC AB//PO 中， 都垂直于，所以 所以POL平面BCD,且BDC平面BCD,所以P吧LBD,12分 又因为QM⊥BD,PONOM=Q, 所以BD⊥平面POM,PMc平面POM,所以PM⊥BD, №_C≌→P=x 设CQ=x”CB=22:由ABCB22W2, 得P0=方，05x522列， BO OM 22-x OM 2,得 QM=2-x △BCD中，BCCD2√2 √2， PM =PO+OM2=1 (22-x =VX2-2W2x+4 2 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x-2+222 .15分 当且仅当=V2 时，等号成立， 所以5am=8DPM≥5×2x2=2 2 所以△PBD面积的最小值是√2. 18分 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三第10、11章+选修一第3章。 5．难度系数：0.65 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知向量，则的值为___________． 2．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖．通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为______． 3．半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 4．已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 6．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则__________． 7．如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 8．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 9．如图，在四面体中，，，两两垂直，，，则二面角的大小为________． 10．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 11．在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，则点的距离为_______． 12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，点、在线段、上移动，则的最小值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（    ） A． B． C． D． 14．如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（   ） A． B． C． D．4 15．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 16．正三棱柱中，，动点P在侧面内，且直线与面所成角的正切值为，则线段扫过的曲面面积为（     ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求面和面夹的余弦值． 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱锥中，等边两边，的中点分别为，，平面和平面相交于直线， .    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体．    (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分） 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $