高一数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（沪教版）

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．用描述法表示被除余的所有自然数组成的集合：____________________． 【答案】 【详解】被除余的所有自然数即，的所有值， 所以被除余的所有自然数组成的集合为 2．用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 【答案】且 【详解】反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即对结论进行否定； 原命题的结论为“或”，逻辑连接词“或”的否定为“且”， “”的否定为“”， 可得结论的否定为“且”. 3．求值：_______________． 【答案】/5.875 【详解】 ． 4．根式化成分数指数幂为___________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 5．不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】因为不等式,解得或, 所以，不等式的解集为 6．若“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为“”是“”的必要而不充分条件，可知集合是集合的真子集， 则，解得：, 所以实数的取值范围是. 7．已知，，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解法一：由得， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由得， 得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为． 8．已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为_____； 【答案】 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得， 判别式， 当时，，有两个实根，符合条件， 9．已知关于x的不等式 的解集为，则关于x的不等式 的解集为_____________________. 【答案】 【详解】由解集为且二次函数在两根之间为正，知，两个根为， 所以． 比较系数得，． 于是． 因，故等价于，解得． 故的解集为. 10．若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 【答案】 【详解】“存在，使得成立”是假命题， 等价于其否定“对任意，恒成立”为真命题. 由，将不等式变形为 根据基本不等式，时， ， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 要使对所有恒成立，只需， 故实数的取值范围是. 11．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由; 结合绝对值三角不等式得到； 因为对任意的，不等式恒成立； 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 12．设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_______． 【答案】 【详解】①当中个元素，中个元素，则，，此时，共种； ②当中个元素，中个元素，则，，所以，， 所以或或或，共种； ③当中个元素，中个元素，则，，此时没有符合题意的集合； ④当中个元素时，中个元素，则，，所以，， 所以或或或，共种； ⑤当中个元素时，中个元素，则，，所以，， 所以共种； 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对不等式化简变形可得： ，即，进一步化简可得： ，即， 所以原不等式等价于：， 若，则，，， 因此，原不等式成立， 即，充分性成立， 若取，，此时，​， 满足（原不等式成立），但不满足， 即，所以必要性不成立。 因此“”是“​”的充分不必要条件. 14．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 【答案】D 【详解】不妨取2024年是第1年， 根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即，+ 则，则第4年符合题意， 即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 15．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知且，对前两项通分化简， 因此原不等式等价于， 令，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故， 原问题转化为对所有，不等式恒成立， 将不等式变形为，因为，所以， 要使不等式恒成立，只需大于等于右侧函数在上的最大值， 而是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此当时，取得最大值，故. 16．已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【详解】（1）证明：要证， 即证， 即证 即证 3分 即证， 因为 所以得证； 6分 （2）证明：由题，， 假设且 9分 即，所以， 11分 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 14分 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. （1），则， 1分 ， 3分 ， 4分 由，则； 6分 （2），， 9分 则 13分 ，即. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）已知，即， 1分 若时， 当时，即，可得； 2分 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 5分 时，实数的取值范围为或. 6分 （2）若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 8分 当时，由，可得； 10分 当时，，即， 又，（等号不同时取），解得， 又，故. 13分 综上，实数的取值范围为. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数． (1)关于的不等式的解集为， ①求不等式的解集； ②讨论关于的不等式的解集； (2)已知，，当时，，若存在正实数，，使不等式成立，求的取值范围． 【详解】（1）①因为关于的不等式的解集为， 所以，且，则， 2分 则可转化为， 即，解得， 4分 ②由题意得可化为， 而，当时，可得，解得， 此时恒成立，解得， 5分 当时，可得，解得， 可得，解得， 7分 当时，可得，解得， 令，解得， 9分 综上可得，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 10分 （2）因为当时，， 所以，即，所以， 12分 若存在正实数a，b，使不等式有解，则， 14分 又， 当且仅当，即，时，取等号，即， 16分 所以，即，解得，或， 所以的取值范围是． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 【详解】（1）当时，， 1分 当时，， 2分 当时，， 3分 当时，， 所以，． 4分 (2)由题意知，中的最小元素为，即对于任意，都有．     中包含的相邻元素的差：，． 6分 根据条件可知，，．     由，得，所以． 8分 由，得，所以． 综上所述，得证． 10分 （3）设集合的元素个数为，将中元素从小到大排列为，，…，． 由（2）中的分析可知，（），所以． 所以． 12分 因为，所以且． 所以，解得． 15分 因为为整数，所以的最大值为1013． 验证存在性：取（即1到2025的所有奇数），此时． 因为奇数与奇数的和、差都是偶数，所以，． 显然中元素除了0以外，都在中，即． 故集合中元素个数的最大值为1013． 18分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数。 5．难度系数：0.7 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．用描述法表示被除余的所有自然数组成的集合：____________________． 2．用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 3．求值：_______________． 4．根式化成分数指数幂为___________． 5．不等式的解集为__________． 6．若“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是___________． 7．已知，，，则的最小值是________． 8．已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为_____； 9．已知关于x的不等式 的解集为，则关于x的不等式 的解集为_____________________. 10．若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 11．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 12．设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 15．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A． B． C． D． 16．已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数． (1)关于的不等式的解集为， ①求不等式的解集； ②讨论关于的不等式的解集； (2)已知，，当时，，若存在正实数，，使不等式成立，求的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数。 5．难度系数：0.7 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．用描述法表示被除余的所有自然数组成的集合：____________________． 2．用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 3．求值：_______________． 4．根式化成分数指数幂为___________． 5．不等式的解集为__________． 6．若“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是___________． 7．已知，，，则的最小值是________． 8．已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为_____； 9．已知关于x的不等式 的解集为，则关于x的不等式 的解集为_____________________. 10．若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 11．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 12．设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 15．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A． B． C． D． 16．已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数． (1)关于的不等式的解集为， ①求不等式的解集； ②讨论关于的不等式的解集； (2)已知，，当时，，若存在正实数，，使不等式成立，求的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合. (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求集合中元素个数的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、且 3、/5.875 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 A D C B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）证明：要证， 即证， 即证 即证 3分 即证， 因为 所以得证； 6分 （2）证明：由题，， 假设且 9分 即，所以， 11分 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 14分 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1），则， 1分 ， 3分 ， 4分 由，则； 6分 （2），， 9分 则 13分 ，即. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）已知，即， 1分 若时， 当时，即，可得； 2分 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 5分 时，实数的取值范围为或. 6分 （2）若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 8分 当时，由，可得； 10分 当时，，即， 又，（等号不同时取），解得， 又，故. 13分 综上，实数的取值范围为. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 【详解】（1）①因为关于的不等式的解集为， 所以，且，则， 2分 则可转化为， 即，解得， 4分 ②由题意得可化为， 而，当时，可得，解得， 此时恒成立，解得， 5分 当时，可得，解得， 可得，解得， 7分 当时，可得，解得， 令，解得， 9分 综上可得，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 10分 （2）因为当时，， 所以，即，所以， 12分 若存在正实数a，b，使不等式有解，则， 14分 又， 当且仅当，即，时，取等号，即， 16分 所以，即，解得，或， 所以的取值范围是． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 【详解】（1）当时，， 1分 当时，， 2分 当时，， 3分 当时，， 所以，． 4分 (2)由题意知，中的最小元素为，即对于任意，都有．     中包含的相邻元素的差：，． 6分 根据条件可知，，．     由，得，所以． 8分 由，得，所以． 综上所述，得证． 10分 （3）设集合的元素个数为，将中元素从小到大排列为，，…，． 由（2）中的分析可知，（），所以． 所以． 12分 因为，所以且． 所以，解得． 15分 因为为整数，所以的最大值为1013． 验证存在性：取（即1到2025的所有奇数），此时． 因为奇数与奇数的和、差都是偶数，所以，． 显然中元素除了0以外，都在中，即． 故集合中元素个数的最大值为1013． 18分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $