2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中测试（第1-3章）

2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中测试（第1-3章） 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 6．（本题3分）某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 8．（本题3分）已知不相等的两个实数,满足,，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．20 9．（本题3分）如图，边长分别为，，的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 12．（本题3分）如图，，若，，，则______． 13．（本题3分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么长为________． 14．（本题3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，则＝______． 15．（本题3分）对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 16．（本题3分）如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解下列方程 (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 19．（本题8分）南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． (1)若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． (2)该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 20．（本题8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．（本题9分）如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，，求的长． 22．（本题9分）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 23．（本题10分）如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 24．（本题12分）如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． (1)当点与点重合时，求四边形的面积； (2)点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． (3)当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 第6页（共6页） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中测试（第1-3章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A B B B B A 1．B 【分析】先判断是否为整式方程，再结合未知数个数、最高次数筛选选项． 【详解】解：D选项不是整式方程，不符合题意； C选项含有两个未知数，不符合题意； A选项未知数最高次数为1，不符合题意； B选项符合题意． 2．D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故该选项正确； B、， ， ，故该选项正确； C、， ， ，故该选项正确； D、， ，故该选项错误． 3．D 【分析】由矩形对角线性质得，结合已知角度求出的度数，利用直角三角形性质与勾股定理求解的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．B 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 5．A 【详解】解：由题意得 ， 即 ， 解得 6．B 【分析】明确3月到5月共经历2次月增长，结合初始投放量与5月投放量列方程. 【详解】解：∵3月投放量为8万辆，4、5月投放量的月平均增长率为x， ∴4月投放量为万辆， ∴5月投放量为万辆， ∵5月投放量达到12.5万辆， ∴可列方程为． 7．B 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵当时，是菱形； 当时，是菱形； 当时，是矩形； ∴正确，错误， 故选：. 8．B 【分析】根据,满足的等式特征，将其看作一元二次方程的两个不相等实数根，对所求式因式分解后结合根与系数的关系计算． 【详解】解：∵ 不相等的实数,满足，， ∴,是一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ 原式． 9．B 【分析】两组角分别相等的两个三角形相似，三角形相似，对应边成比例． 【详解】解：给图中顶点标字母，如下图所示， 四边形、、是正方形， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ， 所以，图中阴影部分的面积为：． 10．A 【分析】由角相等与对顶角证相似；通过四点共圆导角证明等腰直角三角形；用旋转法证明半角模型核心等式；设边长用勾股定理代数求解；用对称性与特殊角三角函数计算比值． 【详解】四边形是正方形， ． ，， ， ∴， 又， ，故正确 ， ， 是等腰直角三角形，故正确； 如图所示， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，． ． ， 、、三点共线， 在和中， ， ，故正确． 设正方形的边长为,则,， ， ， ， ， ， ，故正确． 在和中， ， ， ， ， ， 假设正方形边长为，设,则, 如图，连接，交于， ，， 是的垂直平分线， ，， 中，, 中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确． 【点睛】本题是正方形半角模型综合题，综合考查旋转全等、四点共圆、相似三角形、勾股定理与三角函数．正方形内夹角（半角模型），优先用旋转构造全等，得到；出现两个角共底边，联想四点共圆快速导角；几何多选题要逐条严格推导，注意看清分式的分子分母；涉及线段比值时，设正方形边长为简化计算． 11． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 其中，，，， ，， ， ． 12． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入已知线段长计算即可求出的长． 【详解】解：， ． ，，， ， ． 13．5 【分析】证明，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14． 4 【分析】首先证明，可得，，同理可得，进而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 15． 【分析】根据新运算定义整理得到关于的一元二次方程，利用两个相等实数根的条件，令判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵ 定义新运算， ∴，将其代入方程， 整理得一元二次方程， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 16． 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，结合勾股定理计算得出，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的坐标为． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可解得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可解得． 【详解】（1）解：在方程中， ，，， ∴， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：． 18．(1)方程有两个实数根 (2)另一根为， 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式（，方程有两个实数根；方程没有实数根）即可知道方程根的情况． （2）将方程的其中一个根代入方程即可求出的值，将值代入方程，利用直接开平方法解出即可求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：， ， 方程有两个实数根． （2）解：将代入方程得：， ， 将代入方程得：， ， ，， 方程的另一根为． 19．(1) (2)元 【分析】（）根据售价下降额与销售量增量的对应关系计算总销售量； （）设每台小风扇降价元，以总利润为等量关系列一元二次方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵原售价为元，现售价为元， ∴售价下降金额为（元）， ∵每台小风扇的售价下降元，每月多售出台， ∴每月多售出台数为（台）， ∵原每月售出台， ∴每月可卖出（台）； （2）解：设每台小风扇降价元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴降价后售价为元， 答：当每台小风扇的售价定为元时，每月利润为元． 20．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 则平行四边形是矩形． (2) 【分析】（１）结合菱形的对边平行和对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，再结合有一个直角的平行四边形是矩形即可得证； （２）利用菱形的对角线相互垂直和勾股定理，可得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）见答案 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵且， ∴在中，． 21．(1)解：， ． ，，，， ． ，， ． (2) 【详解】（1）略； （2）解：， ． 是中点， 设． ，， ， ，， ，， ． ，， ， ， ，即， ． 22．(1)证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，根据菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ， ． ∴四边形的面积为：． 23．(1)3 (2)解：不存在一个时刻，使得， 理由如下：如图，过点作于点，同理可得矩形，矩形， ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． (3)解：不存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴P点运动的时间为（秒）， Q点运动的时间是（秒）， ∵P、Q的时间不一样， ∴不存在该时刻． 【分析】（1）先求出，，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可； （2）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． （3）根据正方形的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）略 （3）略 24．(1) (2)增大；减小 理由：在中，，， ． 当点由点向点移动时，逐渐增大， 逐渐增大． 由得，即， 随着的增大，逐渐减小． (3) 【分析】（1）当点与点重合时，，由勾股定理求出，再由求出相似比，从而求出的面积，四边形的面积等于与的面积之和； （2）在中，，随的增大而增大；再由相似得，据此判断的变化； （3）由得，即平分；当时，可证，代入求出，最后在中用勾股定理求． 【详解】（1）解：当点与点重合时，． 四边形是矩形，，， ，，， ， ． ， ， ，且相似比为． 此时，， ， ． 点、分别在直线的两侧， ． （2）略 （3）解：， ，即平分． 当时，设与交于点，则， 在和中， ，，， ， ． 又由得，即， ， ． 在中，，， ， ． 答案第14页（共17页） 答案第15页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $