精品解析：安徽省界首第一中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试题

数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由化为，即该直线斜率为， 所以其倾斜角为. 故选：A 2. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，直线可以在平面内，不一定满足，因此A错误； 对于B，若，，直线可以在内，可以，不一定满足，因此B错误； 对于C，若，则平面的法向量与平面的法向量垂直；又，，则的方向向量就是的法向量，的方向向量就是的法向量，因此，故C正确； 对于D，若，，，直线和可以相交、异面，不一定平行，因此D错误. 3. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 4. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 5. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 所以（或其补角）为和所成的角， 因为三棱柱为正三棱柱，且， 所以，， ， 在中，由余弦定理可得. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 7. 已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正四棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】因为， 所以结合体积公式，可得正四棱台的高， 记上下底面的中心分别为，， 所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则 则，解得，， 所以外接球表面积. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程求出点的坐标，消去参数得到的轨迹圆；再构造点，把转化为，利用三角不等式求最小值． 【详解】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 过，两点的所有直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，求得直线的斜率，得到直线的倾斜角，根据三角函数的有界性，以及正切函数图象即可求解；对于B，根据两直线垂直，列出方程，求得的值，可判定B错误；对于C，将直线表示成斜截式，列出限制条件求解即可；对于D，当直线与坐标轴平行时，不满足条件． 【详解】对于A，直线的斜率，则，即，则，故A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直，可得， 即，解得或，所以B错误； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得，C正确； 对于D，当或时，直线方程分母为，此时直线方程不成立，故D错误． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B. 若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 三棱锥的外接球的体积是 D. 当直线与平面所成角最大时，线段长为2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线线垂直可证明平面判断A；利用可判断B；取中点为，连接，利用四棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，计算求得外接球的体积判断C；由A可证明（或其补角）为直线与平面所成角，进而计算当与重合时，直线与平面所成角最大可判断D. 【详解】对于A，连接，由题意可得， ，， 所以，所以，由正方体， 可得平面，又平面，所以平面平面， 又因为，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设到平面的距离为，， 因为为的中点，所以为定值，又（定值），所以为定值，故B错误； 对于C，取中点为，连接，因为为的中点，所以四边形为矩形， 又为的中点，所以，又由正方体，可得平面， 所以平面，所以四棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积是 ，故C正确； 对于D，连接，因为平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）为直线与平面所成角，当与重合时，最大， 此时，又，所以为锐角， 所以当与重合时，直线与平面所成角最大，此时，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线平行，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与平行， 故，整理得，解得或. 验证是否重合： 当时，化简为，化简为，两直线重合，不符合要求，舍去； 当时，为，为，两直线斜率相等且截距不同，满足平行条件. 综上，实数的值为. 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据及由点在圆外列式即可求解. 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程，可得和恒过定点，根据系数的关系，可得和垂直，即可得点P的轨迹方程D，分析可得圆C和圆D相离，根据两圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】又变形为，则恒过定点， 变形为，则恒过定点， 因为，所以， 则点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径， 又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距， 则两圆相离， 所以的最大值为， 因为点不在圆D上， 所以的最小值大于， 则的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）先求的中点，再利用点斜式求所求直线方程； （2）先求的中点，再利用直线垂直求所求直线方程； （3）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 【小问3详解】 依题意，当截距为时，直线过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即. 综上，的方程为或. 16. 已知圆M过，，三点． （1）求圆M的标准方程； （2）若过点的直线l与圆M相交于E，F两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程即可； （2）分为直线l的斜率存在和不存在两种情况来讨论，根据弦长公式列式求出斜率，即可求解. 【小问1详解】 设圆M的方程为． 把，，三点分别代入方程可得： ， 解得，，， 所以圆M的方程为，其标准方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为． 此时到直线l的距离， 弦长，满足题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即． 圆心到直线l的距离． 因，弦长公式得， 两边平方解得．所以，两边平方得． 展开得，移项可得． 则直线l的方程为，即． 综上所得，直线l的方程为或． 17. 已知和圆. （1）求过点圆的切线方程； （2）是圆上一动点，求的最值. 【答案】（1） （2）最小值是25，最大值是225 【解析】 【分析】（1）整理圆方程，得到圆心和半径，把点代入圆的方程得点在圆上，求直线斜率，由两直线垂直得到切线斜率，即可写出切线方程； （2）求圆心到点的距离，设圆上的点，则，取直线与圆的交点，即可求得最大值及最小值. 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心，半径. ∵，∴点在圆上， ，切线的斜率， ∴切线方程为，即 【小问2详解】 如图所示，圆心到定点的距离为， 设圆上的点，则， 当为直线与圆的交点时，此时取最小值， 当为直线与圆的交点时，此时取最大值， ∴，∴， 即. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以. （2） 在平面内作于H， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，平面，则 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定得平面，再由线面平行的性质即可证； （2）在平面内作于H，利用线面垂直的判定及性质定理即可证； （3）若是的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若是的中点，连接， 由（2）知，，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得，， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 19. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． （1）求点M的轨迹方程； （2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）是，定值为12；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，根据中点坐标表示点的坐标并代入圆的方程计算即可； （2）（Ⅰ）设出直线方程以及点的坐标，代入直线方程与圆的方程联立，根据向量可求得定值；（Ⅱ）设点的坐标，根据向量找到等式，即可求得结果. 【小问1详解】 设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是， 且M是线段的中点，所以，， 于是，① 因为点A在圆上上运动， 所以点A的坐标满足圆的方程，即②， 把①代入②，得，整理，得； 【小问2详解】 （Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， 则， ， ∴ ， 所以为定值，且定值为12； （Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， ∴， ∴或， 经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点， 即中，所以， 所以，直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 过，两点的所有直线的方程为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B. 若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 三棱锥的外接球的体积是 D. 当直线与平面所成角最大时，线段长为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线平行，则实数的值为________. 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程． 16. 已知圆M过，，三点． （1）求圆M的标准方程； （2）若过点的直线l与圆M相交于E，F两点，且，求直线l的方程． 17. 已知和圆. （1）求过点圆的切线方程； （2）是圆上一动点，求的最值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值. 19. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． （1）求点M的轨迹方程； （2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $