精品解析：安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷(A)

高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章第二节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 7 4. 已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知直线经过点和点，且直线的一个方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 一组数据：，，，，，，的分位数为 B. 若事件A与事件B是对立事件，则 C. 若，则事件A与事件B一定是对立事件 D. 若事件A与B独立，，，则 10. 光线自点射入，经直线：反射后经过点，则（ ） A. 入射光线所在直线的方程为 B. 反射光线所在直线的方程为 C. 入射光线所在直线与夹角的正切值为 D. 入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 11. 如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（ ） A. 当时，的长为 B. 长度的最小值为 C. 三棱锥与三棱锥的体积相等 D. 存在，使得直线与所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为__________． 13. 若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是__________． 14. 如图，在多面体中，平面平面，四边形和均为正方形，且，若该多面体的外接球为球，则平面截球所得截面的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 16. 在四面体中，，． （1）求的值； （2）已知是线段中点，点满足，求线段的长． 17. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）证明：； （2）若，且的面积为，求角的大小及的周长． 18. 已知直线：． （1）证明：不论为何实数，直线恒过一定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 19. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为（）的直线的方程为． （1）已知平面的方程为，直线的方向向量为，求直线与平面所成角的大小； （2）已知平行六面体的体积为6，底面是边长为2的菱形，侧棱与底面所成角为，二面角是锐角，，与交于点，．以为原点，，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （i）证明：//平面； （ii）求平面的方程； （iii）求平面与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章第二节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 又， 即， 故选：D 2. 复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 所以. 3. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，且，共线， 所以，解得，，所以． 4. 已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，因，即，，是共面向量，不能构成空间基底，故A错误； 对于B，因，即，是共面向量， 不能构成空间基底，故B错误； 对于C，因，即是共面向量， 不能构成空间基底，故C错误； 对于D，对于，假若， 则可得，该方程显然无解， 即不是共面向量，能构成空间的一个基底，故D正确. 5. 已知直线经过点和点，且直线的一个方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量与方向向量平行及平行关系的坐标表示求解即可. 【详解】. 由题意知，与方向向量平行，所以， 解得. 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】对截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程利用待定系数法求解. 【详解】当截距为零时，直线过原点，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 当截距不为零时，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 综上所得，直线的方程为或. 7. 已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 可知，则，解得，即， 则， 则，可知当时取得最小值，此时. 8. 已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得直线方程为，设， 则， 当时，，即， 化简得，当时方程有解， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 一组数据：，，，，，，的分位数为 B. 若事件A与事件B是对立事件，则 C. 若，则事件A与事件B一定是对立事件 D. 若事件A与B独立，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算判断A项，利用对立事件的定义直接判断B项；通过举反例排除C项；利用独立事件的性质与乘法公式计算即得. 【详解】对于A，将这组数据升序排列为，因，则这组数据的分位数为第五位数，故A正确； 对于B，根据对立事件的定义可知结论正确，故B正确； 对于C，若做一个抛骰子的试验，记抛出偶数点为事件，抛出点数不小于4点为事件，显然与不互斥， 同时，满足，事件A与事件B不是对立事件，故C错误； 对于D，因事件A与B独立，则事件A与也独立，故，故D正确. 10. 光线自点射入，经直线：反射后经过点，则（ ） A. 入射光线所在直线的方程为 B. 反射光线所在直线的方程为 C. 入射光线所在直线与夹角的正切值为 D. 入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别求出，关于直线的对称点，求出入射光线和反射光线所在直线的方程,利用两直线夹角的正切公式即可求解. 【详解】设点关于的对称点， 则，解得：，即， 所以入射光线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为：，即，故A不正确； 设点关于的对称点， 则，解得：，即， 所以反射光线的斜率为， 所以反射光线所在直线方程为：，即，故B正确； 对于C，因为入射光线所在直线方程为：，所以入射光线所在直线与夹角的正切值，故C正确； 对于D,因为反射光线所在直线方程为：，入射光线所在直线方程为：，入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为，故D正确. 11. 如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（ ） A. 当时，的长为 B. 长度的最小值为 C. 三棱锥与三棱锥的体积相等 D. 存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求出坐标，代入已知条件算出向量，直接求向量模长，判断选项A；写出长度关于的表达式，转化为二次函数求最小值，判断选项B；利用等体积法转换顶点，分析到平面距离相等，结合同底判断三棱锥体积相等，判断选项C；求出两直线方向向量，利用线线角的正弦公式列方程，通过一元二次方程判别式判断解是否存在，判断选项D． 【详解】已知长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ，，故， ，，则，； 选项A：时，，， 故A正确； 选项B：， 二次函数开口向上，对称轴为， 故最小值， ，故B错误； 选项C：，平面中，即， 点横坐标为，点横坐标为， 则上所有点P横坐标都是，故到平面的距离都是， 同底且高相等，故，故C正确； 选项D：， 设夹角为，则 ，， ， 化简整理得，即， ，方程无实根，不存在这样的，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由在方向上的投影向量的模公式得： ． 13. 若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是__________． 【答案】## 【解析】 【详解】设直线上任意一点为， 则当直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度时， 直线上任意一点也进行同样的移动，故平移后得． 由于平移后所得直线与直线重合，则点与点都在直线上， 则直线的斜率． 14. 如图，在多面体中，平面平面，四边形和均为正方形，且，若该多面体的外接球为球，则平面截球所得截面的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析可得该多面体为长方体的一部分，且外接球的球心为长方体的中心，即可求得外接球的半径R，如图建系，求得各点坐标，即可求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式，可得点到平面的距离d，进而可得截面圆的面积. 【详解】如图，可知该几何体是长、宽、高分别为4，4，的长方体的一部分， 所以该多面体的外接球的球心为长方体的中心，且半径， 以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则球心，，，，    设平面的法向量为， 因为，， 所以， 令，得， 因为， 所以点到平面的距离， 设截面圆的半径为，则， 所以所求截面的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为，， 将点代入，得，解得， 故直线的一般式方程为． 【小问2详解】 由题知，直线的斜率为， 设直线的斜率为， 由题意知，即，解得． 又因为直线经过点， 由点斜式得， 整理得， 故直线的一般式方程为． 16. 在四面体中，，． （1）求的值； （2）已知是线段中点，点满足，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，再由空间向量数量积的运算律求解； （2）由题可得，，再根据模长公式求解． 【小问1详解】 设，，， 则，且． ，， 所以． 【小问2详解】 因为是中点，所以． 由，得， 所以， 所以 ， 所以线段的长为． 17. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）证明：； （2）若，且的面积为，求角的大小及的周长． 【答案】（1）由得， 因为，所以，则， 整理得，由正弦定理边角关系得. （2），的周长为 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系、三角恒等变换及正弦边角关系化简已知条件，即可证明； （2）根据（1）及三角形面积公式、余弦定理求得、、，结合三角形的性质求角和三角形周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 因为的面积，所以，得， 因为，所以或， 由余弦定理，得， 当时，，所以， 所以，又，所以； 当时，，即，与，矛盾，舍去， 综上，，的周长为. 18. 已知直线：． （1）证明：不论为何实数，直线恒过一定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】（1）将直线的方程整理为， 由，解得，所以不论为何实数，直线恒过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线方程化为，联立求定点，即可证； （2）讨论、，结合直线过第四象限的特征列不等式求参数范围； （3）根据已知及截距式得，应用基本不等式、三角形面积公式得面积并确定等号成立条件，联立前提求得，，即可得直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，直线：，不经过第四象限，符合题意； 当时，直线：， 由不经过第四象限可知，解得， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 设直线与轴负半轴交于，与轴负半轴交于，，， 直线的截距式方程为，即， 因为直线恒过，代入得，即， 三角形面积，由，所以，， 当且仅当时等号成立，即， 代入，得，所以，， 此时直线过点，，方程为，化简得， 该直线对应参数，所以直线的方程为. 19. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为（）的直线的方程为． （1）已知平面的方程为，直线的方向向量为，求直线与平面所成角的大小； （2）已知平行六面体的体积为6，底面是边长为2的菱形，侧棱与底面所成角为，二面角是锐角，，与交于点，．以为原点，，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （i）证明：//平面； （ii）求平面的方程； （iii）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）（i）证明：连接交于点，连接， 在平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又为的中点，为的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以//平面． （ii）；（iii） 【解析】 【分析】（1）根据线面角公式求出正弦值，再判断角度； （2）建立空间直角坐标系根据法向量和公式求解即可。 【详解】（1）因为平面的方程为， 所以平面的法向量可取， 设直线与平面所成角的大小为， 又直线的方向向量为， 所以， 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为． （2）（i）略 （ii）设平行六面体的高为，体积为， 则， 所以， 又，， 所以，，， 所以，． 设，则， 则，， 又， 所以，所以． 因为与底面所成角为， 平面的一个法向量为， 所以， 又，，由二面角是锐角知，所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 取一个法向量， 又点， 所以平面的方程为， 即． （iii）由（ii）知，平面的一个法向量， ，， 设平面的一个法向量为， 则， 取一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $