安徽省六安第二中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

六安二中教育集团2026一2027学年第一学期高二第一次质量检测 数学试卷 时间：120分钟分值：150分命题人：李纯菊审题人：郭稳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.直线3x-√3y+3=0的倾斜角为() A.8 B.月 C. D. 2.已知ā=(2，-3,1)，6=(-4，m,n),且a/6,则m+n=（) A.6 B.5 C.4 D.3 3.已知向量a=(01,),五=(1，l,0),则向量6在向量a上的投彩向量为() A.(0,-1,-) B.(-1,0,-1) c D. ( 4.已知直线4：x-3y-4=0与：x+(m-1)y-6=0平行，则这两条平行直线之间的 距离为() A.2 B.10 C.1410 D.210 5 5 5.如图，平行六面体ABCD-AB,C,D,的底面是菱形，且∠C,CB=∠CCD=∠BCD=60°， B CD=CC=2,M是AC和B,D,的交点，则DM的长度为（) A.5 B.6 C.0 D.4 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等 边三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足 MP⊥MB.则点M到直线CD的最短距离为() A.5 2 B.4-V5 2 C.2-√5 D. 3-5 2 7.直线y=x+b与x=√-y2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是() A.（-2,- B.（-2,-] C.(（12) D.[l2) 试卷第1页（共4页） 扫描全能王创建 8.实数a,b满足a-b-1=0,则a+1+√(a-2)2+(b-4)2的最小值为（) A.3 B.1+√3 C.6 D.4+2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.下列说法正确的有() A.若空间中点0，A,B,C满足OC=O1+3O丽，则A,B,C三点共线 B.若{a,6,c是空间的一个基底，则{a+6,6+c,c+a也是空间的一个基底 C.a=1,6=(3,x),若x>品，则a与5的夹角为锐角 D.对空间任意一点0和不共线三点A,B,C,若O丽=20A+O丽+0C,则P,A, 3 6 6 B,C四点共面 10.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA=2W2,D为B,C的中 点，则() C A.AD⊥B,C B.B,C⊥平面ABD C.直线AC与B,C所成角为 D.AC∥平面ABD 11.己知圆C:x2+y2=1,圆C2:(x-3)+(y-4)2=4,直线1：3x+4y=11,点P为直线 1上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B,过点P作圆C的两条 切线，切点分别为C、D.O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.直线I是圆C与圆C,的公共弦所在直线 B.对于直线1上任意一点P,都有PA=PB=PC=PD C.当直线AB与CD相交时，设交点为2，则2点一定在直线I上 D.若圆G与圆C,C,均外切，记点G到直线1的距离为d,则OG=5d+1 试卷第2页（共4页） 器 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线4：3x+(1-a)y=3与l2:2x+ay=2互相垂直，则实数a的值为 13.在平面直角坐标系中，已知A(1,2),B(5,6),动点C满足CA.CB=-1,则动点C 的轨迹方程为 14.空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体， 半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米 德多面体.如图，这是一个棱数为24，棱长为√2的半正多面 体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若E为线段BC 上的动点（包含B,C两点），则异面直线DE与AF所成角的取 值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)已知△ABC中，A(-2,1),B(4,3) (1)若C(3,-2),求BC边上的高AD所在直线的一般式方程： (2)若点M(3,1)为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程， 16.(15分)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BCIIAD,CE⊥AD,垂足为E, AD=3BC=3,EC=1,将aDEC沿EC折起到△D,EC的位置，如图2所示，平面D,EC⊥ 平面ABCE. (I)求证：平面BCD⊥平面CDE: (2)求直线CD,与平面ABD,所成角的正弦值： 图 图2 试卷第3页（共4页） 扫描全能王创建 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是边长为 4的等边三角形，MD1BC,MB⊥BC,BC=0=号4D,M是棱CP上的点，且=A, CP 1∈(0,1). (I)若PA1I平面BDM,求入的值： (②)若1-号，求平面ABCD与平面BDM夹角的余弦值： 18(17分)己知圆M与直线V5x+y+2=0相切于点P(-5,,圆心M在y轴上 (1)求圆M的标准方程： (2)过点R(2,5)作圆M的切线，求切线的方程： (3)直线l:y=a-3与圆M交于A,B两点，若aMAB的面积为2，求直线l的方程， 19.(17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶 点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 K,=l-(<@Pg,+2g,Pg,+…+20P阳，+2Q,Pg).其中Q=l2kk≥)为多面 体M的所有与点P相邻的顶点，且平面2P2,平面2P2,,平面O-P2和平 面2，Pg为多面体M的所有以P为公共点的面.例如：正四面体A-BCD在顶点A 处的离散曲率为，=1六B4C+∠CD+∠DM回=1-2×引分，如图，在三棱锥 P-ABC中. (I)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率之和： (2)若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,三棱锥P-ABC 在顶点C处的离散曲率为 (i)求点A到平面PBC的距离： G (i)若点G为AB的中点，则在棱PB上是否存在点2，使直线AC与平面C2G所成 角的余弦值为V3 ,若存在，求出吧的长度，若不存在，请说明理由、 6 试卷第4页（共4页） 扫描全能王创建 六安二中教育集团2026一2027学年第一学期高二第一次质量检测 数学试卷参考答案 题号 5 6 > P 9 10 答案 B C C D A D B C ABD AD 题号 答案 BCD 6.D 【详解】解：依题意取AD的中点O,连接PO,建立如图所示空间直 角坐标系，则B,2,0),P(0,0,V),设M(x,y,0),则PM=（x,y,-V5, BM=(x-1,y-2,0),因为MP⊥MB, 所以M.丽=x(-+y0-2)=0,即x-+0--} D 即动点M的轨迹为以公别为圆心，5为半径的圆，点M到直线CD。 即为圆上的点到直线x=-I的距离，所以点M到直线CD的最短距离 d=35=3-v ,故选：D 22 2 7.B 【详解】可知曲线x=√-y2是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆的右半部分，如下图所 示， 当b=-1时，曲线与y=x-1恰有两个交点， 当曲线与直线y=x+b相切时，可得(0,0)到直线x-y+b=0的距离为1， 即以=1，因为b<0,解得6=万，所以6(5-] 2 8.C【详解】设P(a,b),4:x=1,2x-y-1=0, la+1川+V(a-2)+(b-4)2表示直线2上的动点P(a,b)到直线4和点Q(2,4)的距离之和， 2 n-4 -1 令2,4)关于直线马的对称点Qm,川，则m-2 m=5 ，可得 m+2_n+4-1=0 n=1 2 2 所以2(2,4)关于直线42的对称点(5，)，则1a++V(a-2)2+(b-4)2≥5-(-)=6， 当且仅当gP⊥4时取等号，故所求最小值是'(5，)到4的距离为6. 9.ABD 10.AD 11.BCD 【详解】圆C:x2+y2=1的圆心C(0,0),半径片=1， 圆C2:(x-3)2+(y-4)=4的圆心为C2(3,4),半径片=2， 对于A,因为CC=V3-0)2+(4-0)2=5>片+2=3， 答案第1页（共6页） 扫描全能王创建 所以圆C与圆C相离，不存在公共弦，故A错误： 对于B,设P(xy)满足直线：3x+4y=11, PA=PB=PG=+-1, 1PC=PDl=PC,-=Vx-3}+(0-4-4=R2+y-2(3x+4y)+21=VR+y-i. 所以PA=PB=|PC=PD,故B正确： 对于C,先证明圆O:x2+y2=r2上点M(xM,yM)处的切线方程为xMx+ywy=2 [k.kou =-1 证明如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为k,则 aw=4 所以k=-4,又过点M(k,w,出点斜式可得y-y%=-“(x-x) yM 化简可得，xwx+ywy=x+y,又x名+y=r2,所以切线的方程为xwx+yMy=r2: ②若切线的斜率不存在，则M(tr,O),此时切线方程为x=±r。 综上所述，圆O:x2+y2=r2上点M(xM,yw)处的切线方程为xwx+ywy=r2, 设P(x,),A(x,),B(:,2),再证明直线AB的方程为x+%y=1, 证明如下：因为圆C,在A处的切线方程为xx+yy=1, 因为点P在切线方程上，所以xx。+yy。=1,同理可得x2,+少%=1， 则A(x,),B(名2，y2)满足方程xx+y%y=1, 根据不同两点确定唯一一条直线，故直线AB的方程为xx+y%y=1, 同理可得直线CD的方程为(。-3)(x-3)+(。-4)(y-4)=4, 设两条直线交点为(x,y,代入两条直线并作差得3x+4y+3x。+4y%=22, 因为点P(xo,)满足3x+4y%=11,所以3x+4y=11, 故点2(x,y)在直线1：3x+4y=1上，故C正确： 对于D,设圆G的半径为r,则r=GC-1=GC-2, 所以GC,=GC+1=oG+1, 设G(m,n),则GC,2=-(oG+1)2=0G+20G+1, 即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+20G+1, 化简可得3m+4n+0G=12, 而点G到直线1的距离d=Bm+4n-山_3m+4n-1川 V32+42 5 因为3m+4n-11=1-0G<0,所以0G-1=5d,即0G=5d+1,故D正确， 12.-2或3/3或-2 13.x2+y2-6x-8y+18=0或(x-3)+(y-4)2=7 4. 【详解】由阿基米德多面体的定义可知，原正方体棱长为2.以正方体的一个顶 点为坐标原点，三条枝所在直线分别为x,少2轴建立空间直角坐标系， B A(2,1,0),B1,0,2),F(2,2,1),C(0,1,2),D1,2,2) 设CE=1CB=(亿，-，0)，1e[0,小.所以DE=DC+CE=(u-1,-1-1,0, AF=(0,1,)· DE-AF 2 所以cos<DE,F> 2+1 22+21+1 DE AF √2V(2-)2+(2+1)2 4(22+1) 答案第2贞（共6项） 扫描全能王创建 2+22+1_1 4(22+1)42(22+1) .1 当入=0时，4+2(2+0)4 1 当元+0时，42(+)42元+) 2 当且仅当1=1时取等号 由对勾函数雀顶以及上述讨论可知划@(DE,c[香引所以cas<DE,在>e兮，马， 设异面直线DE与AF所成角为0，日∈0，] 综上所述，0e听孕 15.【详解】(1)因为B(4,3),C(3,-2), 所以e-子-5， 因为AD是BC边上的高， 所以knkc=-1→km=一了 1 所以商D所在直线的方程为y-1=-(x+2)→x+5y-3=0: …5分 (2)因为点M(3,1)为边AC的中点，设点C的坐标为(x,y) 3=2tx 所以 2 →C(8,1)， …7分 1+y 1= 2 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=:或+上=1， a a 因为直线过点C,所以1=8k或8+上=1，所以k=或a=9, …11分 aa 8 所以过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=gx或x+y-9=0。 …13分 16【详解】.(I)ABCD为等腰梯形，CE⊥AD,BC⊥CE, 又平面D,EC⊥平面ABCE,平面D,ECn平面ABCE=EC,∴.BC⊥平面D,EC, 又：BCc平面BCD,·平面BCD⊥平面CD,E …6分 (2)DE⊥EC,.D,E⊥EC, ·平面D,EC⊥平面ABCE,平面D,EC∩平面ABCE=EC,D,E⊥EC,D,EC平面D,EC, .D,E⊥平面ABCE,又AE,CEC平面ABCE, D,E⊥AE,D,E⊥CE,故EA,EC,ED,两两互相垂直， D 以E为坐标原点，EA,EC,ED所在直线分别为x,,z轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形ABCD中，CE⊥AD,AD=3BC=3,EC=1,∴.CB=l,EA=2,ED=1 ∴.A(2,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),则 AB=(-1,10),AD=(-2,0,1),CD=(0,-1,), …9分 设平面80的法向量为月=(k火列，则丽万=0 即 -x+y=0 AD·n=0 -2x+z=0' 取x=1,则y=1,z=2,则m=(1,1,2), …12分 n·CD 设直线与平面所成角为a,则sina=《cosn,CD,) CD. √6√26 答案第3项（共6页） 扫描全能王创建 所以直线CD,与平面ABD,所成角的F弦值为 …15分 6 17.解法一： (I)连接AC与BD交于点N,连接MN,因为PAW∥平面BDM,且平面PAC∩平面BDM=MN,PAC平 面PAC,所以PAMN,则 CM CN CN BC 1 ,又因为BC∥AD, 所以 CP CA NAAD2 则SY=1=CM CA3 CP ,所以元的值为 …6分 (2)取AD的中点O,连接PO,连接C0,因为△PAD是边长为4的等边三角形，所以PO⊥AD,且 PO=2V3,AO=2,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⌒平面ABCD=AD,POc平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD.又因为ADI/BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD 因为8C=4B=方4D,所以8C=2B=4,则10BC. 因为ADIIBC,所以四边形ABCO是矩形， 以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,yz轴，建立空间直角坐标系， 则A(0-2,0),B(4,-2,0),C(4,0.0),D(0,2,0),P0,0,25) =DB=(4,-4,0)DC=(4,-2,0) CP=(-4.0,2V3) …9分 丽=c+C-0c+-2,4g5, 3 nDB=4x-4y=0 设n=(x,y,z)为平面BDM一个法向量，则 4V5 n:DM=4x-2y+ 3 20 令z=1,则x=y=2√3所以n=(2√5,2√5,1) …12分 平面ABCD法向量取m=(0,0,1),则 cos(m.n) n…m1 5 所以平面ABCD与平面BDM夹角的余弦值为 -5 …15分 解法二： 【详解】(1)取AD的中点O,连接PO,连接C0, 因为。PAD是边长为4的等边三角形，所以P0⊥AD,且P0=2√5，AO=2, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POc平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD 又因为D/aC,ABBC,所以AB1AD因为8C=号B=号4D,所以 BC=2,AB=4,则A0=BC, 因为AD/IBC,所以四边形ABCO是矩形， D y 以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,-2,0),B(4.-2.0,C(40,0),D(0,2.0).P0,025) 设M(xw,yw,2w小，因为CM=1CP,所以(xw-4,yw,2)=-4,0,25), 解得xM=4-4兄，yM=0,zM=2V52,则M(4-42,0,2V5 …3分 设平面BDM的法向量为i=(x,y,z),则DB=(4,4,0),DM=(4-42,-2,2V5入 D81inJD8.i=0∫4x-4y=0 m1月即bm=06-4-2y+25=-0 则 答案第4贞（共6项） 扫描全能王创建 取y=√31，解得x=√5λ，z=21-1, 则平面BDM的一个法向量i=（V52,V52,21-), …6分 Pa=(0,-2,-25),因为PA11平面BDM,所以n1PA,即nPi=0, 所以5(-2)+(21-)(-2)=0，即1-3=0，解得=号…9分 平面BDM的法向量元=(25,25，， 平面ABCD的法向量取=(0,0,1)，设两面夹角为日， 1 则cos0= 5。所以平面ABCD与平面BDM的夹角的余弦值为是 …15分 18.【详解】(1)设圆心M(0,b),半径为r, 因为圆M与直线V3x+y+2=0相切于点P-√5，). 5.1-b,解得b=2, 所以直线kw=3=-3-0 所以圆心M0,2).所以r=Mr=(5-0+-2=2, 所以圆M的标准方程为x2+(y-2)=4. …5分 (2)当切线斜率存在时，设斜率为k, 切线方程为y-5=k(x-2),即a-y+(5-2k)=0, 由圆心到切线的距离等于半径得到 0-2+5-2k1=2, 2+1 即13-2k卡2+1，解得k=5 12 所以切线方程为5x-12y+50=0, …8分 当斜率不存在时直线x=2也是切线。 综上所述，切线方程为x=2或5x-12y+50=0 …10分 (3)由(1)知圆心M(0,2),半径r=2, 圆心到直线1：y=c-3的距离为d=0-2-.5 …12分 k2+1 k2+1 所以AB=2Vr2-d2=2N4-d2, …14分 因为AMAB的面积S=x1AB1xd=2, 2 即x2v4-d×d=2→d4-d=2,解得d=2 …16分 所以2-9 2 2 所以直线1的方程为y=士6x-3。 …17分 19.【详解】(1)由离散曲率的定义得： K=1-(LAPB+∠BPC+LAPC,K,=1-(∠PAB+∠BAC+∠PAC. 2π 2π a0a7+闪87+门d7)片-l=x'Oad7+0a7+v87T-I=Y 2π 因为∠APC+∠PAC+∠ACP=π，同理可得其他三个三角形内角和为π， 答案第5项（共6贞） 扫描全能王创建 所以K,+K,+,+K。=4-x4r=2: -2元 …5分 (2)由PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,得PA⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAc平面PAC,则BC⊥平面PAC, 由PCc平面PAC,得BC⊥PC,即∠PCB= 2 又=lc+C+o,gl ∠PCA++ 解得LPCA= 4 …7分 22 解法1：过点A作AM⊥PC于点M,由BC⊥平面PAC,AMc平面PAC,得BC⊥M, 又BCOPC=C,BC,PCC平面PCB,则AM⊥平面PCB, 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长， 在Ra4CM中，M=ACsin∠PCA=2x5.2,所以，点A到平面PBC的距离为2.…10分 2 /p 解法2：设点A到平面PBC的距离为d, ePM-2x2-ed=25a-号 则V-ABc=3 31 所以d=√2，即点A到平面PBC的距离为√2. …10分 解法3：过A作BC的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系A-2, 由题意得A0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),CB=(2,0,0),BF=(-2,-2,2),P=(0,0,2) 设平面PBC的法向量i=(x,,2), 即i=0,即 -2x-2y+2z=0 则 c8.n=0' ,令x=0,则y=1,z=1,得万=(0,1，)， 2x=0 所以点A到平面PBC的距离d=,_2=5. …10分 |川2 (i)存在.过A作BC的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系A-2,由题意得： A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),G(11,0), 所以C8=(2,0,0),BP=(-2,-2,2),CG=0,-1,0),AC=(02,0), 设B0=1BP(0≤1≤1)，则C9=CB+B0=(2,0,0)+(-2,-2,2)=(2-21,-21,22), 设4C与平面c2G所成的角为0，因为cos0=V30,所以sin0= 6 …12分 6 设平面C2G的法向量n=(x,,z)、 =0,即2-2-2y+2=0, 则 CGn=0,x-=0. 令x=1,则片=1，z1=21-1,得元=（亿，1,21-1） …14分 则血0=k(cAC同 AC·i 12刘 6 2V22+22+(22-1)26 整理得4以-1=0，解得：A= …16分 所似西-亚-（分》 所以p= …17分 2 答案第6贞（共6页） 扫描全能王创建