精品解析：湖南长沙市长沙县部分高中2025-2026学年高一上学期期末检测数学试题（省示范）

高一年级期末检测试卷 数学（省示范） 本试题卷共4页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 设，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当即时取等号. 故的最小值为3. 故选：D 3. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断. 【详解】对于A：函数的定义域为R， 又，所以是偶函数，故A错误； 对于B：由幂函数的图象可知，在上单调递增，故B错误； 对于C：函数的定义域为， 又，所以是奇函数， 又幂函数都在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D：因为对数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D错误. 故选：C. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性分析得出的大小关系． 【详解】，函数在R上单调递增， ，即，故； ，函数在上单调递增， ，即，故， ． 故选：C． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角关系得出，利用两角和差的余弦公式求得. 【详解】因，，，则，， 则. 故选：B 6. 若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C. 7. 已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值. 【详解】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C 8. 定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“跟随函数”定义得出的解析式，再由分段函数性质和辅助角公式画出函数图象，利用数形结合思想求得实数的取值范围为. 【详解】根据题意可得，所以， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数图象如下图所示： 易知当或时，取得最大值为2，当或时，； 当时，取得最小值为， 由图可知若直线与有且仅有四个不同的交点时，则. 即实数的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“跟随函数”定义并画出函数的图象，结合交点个数即可求得结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出充要条件，再求充要条件的真子集即可得解. 【详解】不等式的解集为，显然选项ABD中的范围都是的真子集，故都满足题意. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间单调递减 D. 的图象平移变换后可得的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，因为函数， 所以，即的值域为，故A选项正确； 对于B选项，令，解得， 即的图象关于点对称，故B选项错误； 对于C选项，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以函数在区间单调递减，故C选项正确； 对于D选项，由函数图象到函数图象，需要经过平移变换与伸缩变换得到，故D选项错误. 故选：AC 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解. 【详解】对任意的实数、满足， 对于选项A： 令，可得，解得，故A正确； 对于选项B：令，可得， 用代，，可得， 则， 即，故B错误； 对于选项C：令， 由，可得， 即，且， 令，则， 即，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 对于选项D：对于， 令，可得， 即，解得， 由题意可知，当时，， 则，， 可知当时，， 任取，且， 则， 可知函数在上为增函数， 因为， 则， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简求值______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算性质化简求解即可. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可. 【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ③当时，差为（舍去）0. 故答案为：或 14. 记表示不超过实数x的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为增函数； ②函数的图象关于对称； ③函数的值域为； ④存在实数使得关于的方程有无数多个解． 其中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，设，分和两种情况，并结合单调性定义即可判定；对于②，根据不满足判断；对于③，根据函数值取不到判断；对于④，取，根据图象在重合判定. 【详解】对于①，设， 当时， 当时，恒成立，， 所以，即函数为增函数，正确； 对于②，函数的图象关于对称，则满足， 当时，，不满足，故错误； 对于③，当时，，时，； 时，，时，， 所以的值域中不含元素，故错误 对于④，取时，， 取，此时与的图象在重合，故有无数多个解，正确. 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）解不等式． 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果； （Ⅱ）先移项通分，进而可求出结果. 【详解】（Ⅰ）由得，即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （Ⅱ）由得，即，即， 解得，即不等式的解集为； 16. 已知函数． （1）若的最小正周期为，求的单调递增区间； （2）在第（1）问的前提下，若，且，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据函数的最小正周期求出的值，再结合正弦型函数的性质求单调增区间； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 若的最小正周期为，则，解得， 所以． 由题意，令， 解得， 即的单调递增区间为． 【小问2详解】 ，， 又，， ， 17. 物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； （1）求上述模型的函数解析式； （2）声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 （3）当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 【答案】（1） （2）100 （3） 当且仅当即时取等号. 所以点处的声强级， 所以点会受到噪声污染的干扰. 【解析】 【分析】（1）因为当声强时，声强级；当声强时，声强级.将两组数据代入，可得模型的函数解析式； （2）将代入，利用对数的运算性质可求得； （3）由基本不等式求得的最小值为，代入，得点处的声强级的最小值约为，由此可知点受到噪声污染的干扰. 【小问1详解】 由已知得，，所以. 解得. ； 【小问2详解】 由得，. 将，代入上式，得， 两式相减，得， 所以. 【小问3详解】 略 18. 已知是定义域为R的奇函数，且 （1）求实数b的值； （2）用定义法证明在上是减函数； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明如下：设任意， ，，即，， 在上是减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据计算出的值，然后再代入检验是否满足条件，由此确定出的值； （2）设出自变量并给定大小关系，根据与0的关系证明出函数单调性； （3）先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，采用分离参数法求解出的取值范围. 【小问1详解】 由于定义域为R的函数是奇函数， 所以，解得， 检验，，满足是定义域为R的奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式，由奇函数得到， 所以. 因为在上是减函数， 所以，即，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 19. 已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． （1）若，求函数的最值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若对于，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值为，最大值为3； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意可得函数的单调性，进而求解最值； （2）转化问题为不等式对于恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）转化问题为，由（1）可得函数，时的最大值，进而结合二次函数的开口方向和对称轴讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数的最小值为，最大值为3； 【小问2详解】 由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， ①若，，则，而，不符合题意. ②若，易知开口向上，对称轴， 所以， 则，即，不符合题意； ③若， 当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 解不等式得 ，结合本情形的条件可得 ； 综上所述，实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期末检测试卷 数学（省示范） 本试题卷共4页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3 3. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间单调递减 D. 的图象平移变换后可得的图象 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简求值______. 13. 已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________. 14. 记表示不超过实数x的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为增函数； ②函数的图象关于对称； ③函数的值域为； ④存在实数使得关于的方程有无数多个解． 其中，所有正确结论的序号是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）解不等式． 16. 已知函数． （1）若的最小正周期为，求的单调递增区间； （2）在第（1）问的前提下，若，且，求的值； 17. 物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； （1）求上述模型的函数解析式； （2）声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 （3）当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 18. 已知是定义域为R的奇函数，且 （1）求实数b的值； （2）用定义法证明在上是减函数； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求k的取值范围． 19. 已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． （1）若，求函数的最值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若对于，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $