精品解析：山东枣庄市第十五中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

八年级阶段评估卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意要求． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根．根据平方根的性质，即可求解． 【详解】4的平方根是． 故选：C． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简带根号的数，再根据无理数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 开方开不尽，是无理数； ，是整数，属于有理数． 3. 如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”“帅”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据“車”“帅”两棋子所在的位置，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由图可知，“車”“帅”两棋子所在格点之间的距离为． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除选项A，再结合根式运算规则验证其余选项． 【详解】解：A选项：，运算错误，不符合题意； B选项：，运算错误，不符合题意； C选项：，运算正确，符合题意； D选项：，运算错误，不符合题意． 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A. 3 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】当一直角边、斜边为1和2时，第三边==； 当两直角边长为1和2时，第三边==； 故选D． 6. 比较下列各组数的大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过根式性质化简或估算无理数的取值范围，结合不等式性质比较各组数的大小． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴，故A正确； 对于B选项：∵， 又∵， ∴，故B正确； 对于C选项：∵， ∴， ∴，故C正确； 对于D选项：∵， ∴， ∴，故D错误． 7. 如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ，． 在中， ． 从顶点A爬行到点C的最短路程是． 8. 已知实数x，y满足，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求y，最后化简待求式． 【详解】解：∵且， ∴， 将代入， 得， 将，代入， 得 ． 9. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图1所示；再经过1次“生长”后，形成的图形如图2所示．如果继续“生长”下去，它将变成一棵“枝繁叶茂”的大树，如图3所示，那么“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为； 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推可知，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 10. 在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为18，12的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（） A. B. 8 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先求出大正方形的面积，再由割补法求解空白部分的面积． 【详解】解：由图得，大正方形的边长为：， 空白部分的面积为：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的绝对值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的意义． 12. 如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据，求出即可解答． 【详解】解： 根据题意可知，， ， 在直角三角形中，， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点在数轴负半轴， 点表示的数是， 即． 13. 从“+，-，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是__________． 【答案】+ 【解析】 【分析】将四个运算符号分别代入算式计算，判断结果是否为有理数即可得到答案. 【详解】解：若填，则，是有理数，符合要求； 若填，则，结果是无理数，不符合要求； 若填，则，结果是无理数，不符合要求； 若填，则，结果是无理数，不符合要求. 14. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个． 15. 对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数．”若和互为相反数，且的平方根是它本身，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的结论，由两个立方根互为相反数得到被开方数和为，先求解，再根据平方根的性质得到，最后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 和互为相反数， ∴， 解得 ； ∵ 的平方根是它本身， ∴ ， 解得 ； ． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，通电导线产生的热量，求电流． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用已知结合运算公式计算，进而得出答案． 【详解】解：由公式，得， 把，，代入，得， 因为，所以． 18. 如图，枣庄环城绿道是市民休闲健身的好去处，为方便大家夜间出行，在绿道旁加装了照明灯．某兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，借助一根长的竹竿来进行测量，已知：灯板垂直地面于点O，线段，表示同一根竹竿．设计方案如下： ①将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，测得； ②再将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，测得． 根据上面测量的数据，回答下列问题： （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求得的长度； （2）先利用勾股定理求得的长度，再用（1）的结论即可得到的长度． 【小问1详解】 解：由题意可知， 在中，，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴． 19. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，若点表示的数为，点表示的数为． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点表示的数和点、之间的距离得到点表示的数，即可求出的值； （2）根据的值可知，利用整体代入法求的值． 【小问1详解】 解：点表示的数为， 点表示的数为， ； 【小问2详解】 解： ， ． 20. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为c． （1）结合图①，求证：. （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为24，．求该图形的面积． 【答案】（1） 证明：由图形可知，小正方形的边长为， ， ， ； （2）24 【解析】 【分析】（1）由图形可知，大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全相同的直角三角形的面积的和，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长，得到，设，利用勾股定理列方程，求得，从而得到，即可求出该图形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 图形的周长为24， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 图形的面积． 【点睛】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． 21. 古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式，其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦—秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： （1）若一个三角形的三边长分别为，，，求这个三角形的面积． （2）如图，在中，，，，，分别平分，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入秦九韶公式计算即可； （2）连接，过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得出，根据海伦公式求出的面积，再结合求解即可． 【小问1详解】 解：根据公式， 令，，， 所以； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点，作于点， 因为平分，所以， 同理可得，所以. 所以 . 因为，，， 所以， 则. 所以， 解得. 22. 凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． （1）请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． （2）清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 【答案】（1）8，10；12，13 （2）勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26 【解析】 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题； （2）分别根据题干中法则①、②分类讨论，解决本题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据法则①，因为是大于1的奇数，所以， 则或， 所以或（不是奇数，舍去）， 所以， 所以， 所以勾股数为7，24，25； 根据法则②，若是大于2的偶数， 则或或， 所以或10或（舍去）， 当时，，， 所以勾股数为24，143，145， 当时，，， 所以勾股数为10，24，26； 综上所述，勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段评估卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意要求． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”“帅”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A. 3 B. C. D. 或 6. 比较下列各组数的大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图1所示；再经过1次“生长”后，形成的图形如图2所示．如果继续“生长”下去，它将变成一棵“枝繁叶茂”的大树，如图3所示，那么“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 10. 在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为18，12的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（） A. B. 8 C. D. 12 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的绝对值是______． 12. 如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 13. 从“+，-，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是__________． 14. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有__________个． 15. 对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数．”若和互为相反数，且的平方根是它本身，则__________． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，通电导线产生的热量，求电流． 18. 如图，枣庄环城绿道是市民休闲健身的好去处，为方便大家夜间出行，在绿道旁加装了照明灯．某兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，借助一根长的竹竿来进行测量，已知：灯板垂直地面于点O，线段，表示同一根竹竿．设计方案如下： ①将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，测得； ②再将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，测得． 根据上面测量的数据，回答下列问题： （1）求的长； （2）求的长． 19. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，若点表示的数为，点表示的数为． （1）求的值； （2）求的值． 20. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为c． （1）结合图①，求证：. （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为24，．求该图形的面积． 21. 古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式，其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦—秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： （1）若一个三角形的三边长分别为，，，求这个三角形的面积． （2）如图，在中，，，，，分别平分，，，求的长． 22. 凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． （1）请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． （2）清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $