精品解析：辽宁朝阳市凌源市2025-2026学年上学期九年级十月数学学情自测

凌源市十月份月考九年级数学试卷 （考试时间100分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，8 B. ， C. 3， D. ，8 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ） A. 完全平方公式 B. 平方根的意义 C. 等式的性质 D. 一元二次方程的求根公式 5. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 7. 抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 6 1 a 1 6 … 则表格中a的值应为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 3 10. 如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 把方程化成一元二次方程的一般形式为 ________． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________． 13. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________． 14. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 _______． 15. 有一块长、宽的矩形基地，准备修筑同样宽的三条直路．如图，把基地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种植硫菜面积为基地面积的．设道路的宽度为，所列方程为________． 16. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 三、解答题（共 72分） 17. 请用题中指定的方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知二次函数的图象经过原点，当时，函数有最小值． （1）求这个二次函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出它的图象． （2）利用图象填空：这条抛物线的开口向______，顶点坐标为______，对称轴是直线______；当______时，y随x的增大而减小． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时方程的根． 21. 如图，抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点． （1）请直接写出此二次函数的解析式为______； （2）试判断点是否在抛物线上，并说明理由； （3）抛物线对称轴交于点，求线段的长； （4）直接写出的面积为______． 22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 23. 如图所示，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．设运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式及的取值范围 （2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 24. 某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． （1）请直接写出与之间的函数关系式； （2）当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ （3）该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． （1）请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌源市十月份月考九年级数学试卷 （考试时间100分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，8 B. ， C. 3， D. ，8 【答案】C 【解析】 【分析】方程已为一元二次方程一般形式，直接对应各项系数即可． 【详解】解：的二次项系数为3，一次项系数为． 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算各方程的根的判别式，的方程没有实数根． 【详解】解：、，有实数根，不符合题意； 、，有实数根，不符合题意； 、，没有实数根，符合题意； 、，有实数根，不符合题意． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 4. 用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ） A. 完全平方公式 B. 平方根的意义 C. 等式的性质 D. 一元二次方程的求根公式 【答案】B 【解析】 【分析】用直接开平方法解形如“（）”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案． 【详解】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义． 故选：B． 【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的理论依据，解题的关键是知道用直接开平方法解一元二次方程的理论依据就是平方根的意义． 5. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 抛物线为顶点式的形式，其中，， ∴ 顶点坐标为. 6. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 7. 抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得． 8. 若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为．根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为：， ∴点A到对称轴的距离为：， 点B到对称轴的距离为：， 点C到对称轴的距离为：， ∵， ∴该函数图象开口向上， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大． 9. 已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 6 1 a 1 6 … 则表格中a的值应为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线上的两点的纵坐标相等时，由这两点的横坐标可求得抛物线的对称轴，再由对称轴可求得点关于对称轴的对称点的横坐标，这时这两个点的纵坐标相等 【详解】∵由表格可得已知点和纵坐标相等， ∴该二次函数的对称轴， 设点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴， 解得：， ∴根据表格可知点关于对称轴的对称点为， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键 10. 如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可． 【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM． 由题意可知，AM=OB， ∵ ∴OA=1，OB=AM=2， ∵抛物线是轴对称图形， ∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积， ∵，， ∴四边形ABOM为平行四边形， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积． 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 把方程化成一元二次方程的一般形式为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，将原方程所有项移到等号左侧，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 因此一元二次方程的一般形式为 ． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将方程的根代入原方程，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得， 化简得 ， ∴ ． 13. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可； 【详解】∵二次函数开口向下， ∴， 设二次函数解析式为， ∵过点（0，－1）， ∴， ∴二次函数解析式为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键． 14. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移“上加下减”的规律求解. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，可得所得抛物线的解析式为. 15. 有一块长、宽的矩形基地，准备修筑同样宽的三条直路．如图，把基地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种植硫菜面积为基地面积的．设道路的宽度为，所列方程为________． 【答案】（30-2x）（20-x）=30×20×． 【解析】 【分析】设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30-2x）m，宽为（20-x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合种植硫菜面积为基地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30-2x）m，宽为（20-x）m的矩形， 根据题意得：（30-2x）（20-x）=30×20×． 故答案为：（30-2x）（20-x）=30×20×． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为 ∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为， ∴由题意可得：时，的取值范围为： ． 三、解答题（共 72分） 17. 请用题中指定的方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的解题步骤，先移项，二次项的系数化成，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案． （2）根据公式法解一元二次方程的解题步骤，先确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式，再代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：， 整理，得， 配方，得，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ， ∴； ∴，． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 则或， ∴，； 【小问2详解】 解： 即 则或 ∴，． 19. 已知二次函数的图象经过原点，当时，函数有最小值． （1）求这个二次函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出它的图象． （2）利用图象填空：这条抛物线的开口向______，顶点坐标为______，对称轴是直线______；当______时，y随x的增大而减小． 【答案】（1）； （2）上；；； 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得二次函数的解析式为，然后将代入计算，即可获得该二次函数的解析式，然后在坐标系中画出它的图象； （2）根据二次函数图象的性质作答． 【小问1详解】 解：∵当时，函数有最小值， ∴二次函数的解析式为． ∵二次函数的图象经过原点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 画出它的图象略； 【小问2详解】 解：由图可知，这条抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线； 当时，y随x的增大而减小． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）且 （2）1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，以及方程有两个实数根时建立不等式，解之即可得到的取值范围； （2）根据（1）的结论得到满足条件时的最大整数，代入原方程求出原方程的根即可． 【小问1详解】 解：的一元二次方程有两个实数根 ，即 解得：且 的取值范围为且． 【小问2详解】 解：由（1）可得取最大整数为2，代入原方程有 即 解得： 当取最大整数时，此时方程的根为1． 21. 如图，抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点． （1）请直接写出此二次函数的解析式为______； （2）试判断点是否在抛物线上，并说明理由； （3）抛物线对称轴交于点，求线段的长； （4）直接写出的面积为______． 【答案】（1） （2）点在抛物线上，理由： ∵当时，， ∴点在抛物线上； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将横坐标代入抛物线的解析式验证纵坐标是否一致即可； （3）将抛物线的解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，以及与轴交点的坐标，继而得到直线的解析式，根据点在抛物线的对称轴上，代入横坐标的值得到点的坐标，即可得到答案； （4）根据，利用的高即是点的横坐标和横坐标的差，代入计算后即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线的解析式，得：， 解得：， ∴此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标和点坐标分别代入解析式， 得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴交于点， ∴点的横坐标为， ∴将点的横坐标代入直线的解析式，得：， ∴点的坐标为， ∴； 【小问4详解】 解：∵点坐标， ∴， 由（3）可知， ∴， ∴． 22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员． 【解析】 【分析】（1）直接利用三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和万件，表示出5月份的总件数进而得出方程； （2）首先求出6月份的任务，进而得出10名快递投递业务员能完成的快递投递任务，再利用每人每月最多可投递快递万件，即可得出需要的人数． 【小问1详解】 解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； 【小问2详解】 ∵今年6月份的快递投递任务是（万件）， ∴10名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：， ∴该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务： ∵平均每人每月最多可投递万件， ∴需要增加业务员（人）， 即该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． 23. 如图所示，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．设运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式及的取值范围 （2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）不存在． 理由：， 若的面积等于的面积的一半， 则， 化简得， ，方程没有实数根， 点、在移动过程中，不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，则，根据，即可求解； （2），根据题意得，化简得，根据一元二次方程根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ， ， ； 【小问2详解】 略 24. 某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． （1）请直接写出与之间的函数关系式； （2）当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ （3）该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 【答案】（1） （2）当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元 （3）在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元 【解析】 【分析】（1）根据每周的销售利润单件的利润每周的销售量，即可求解； （2），根据二次函数的性质即可求解； （3）先根据进货成本不超过元，求出的范围，再令求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值，最大值是， 答：当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：进货成本不超过元， ， 解得， 每周能获得元，则， 解得，， ， 不合题意，舍去， 即在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． （1）请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 【答案】（1）；；； 直线的解析式为． （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）对于抛物线，分别令和并求解，即可确定三点坐标；然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先结合三点坐标，易得为等腰直角三角形，，结合的面积为27，可解得中边上的高；过点C作的垂线，在垂线上截取，过E点作交y轴于点D，确定点坐标，进而可得直线的解析式；联立直线的解析式和抛物线解析式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，可得， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 对于抛物线， 令，可得， ∴； 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 若的面积为27， 则中边上的高， 如下图，过点C作的垂线，在垂线上截取， 过E点作交y轴于点D， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴满足条件的P点就是直线DE与抛物线的交点， 解方程组，得或， ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $