精品解析：辽宁大连实验中学2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷

2026-2027学年度第一学期阶段检测 （九年级 数学） 2026.10 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（10题，每题3分，共30分） 1. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，依据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断各选项即可求解． 【详解】A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． 2. 一物体从高空某一位置落下所经过的路程与下落时间满足函数关系式，其函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式得到s是t的二次函数，又a=×9.8＞0，则抛物线开口向上，然后根据t＞0可确定图象在第一象限，于是可分别对四个选项进行判断． 【详解】∵，∴s是t的二次函数，∴它的图象为抛物线． ∵a=×9.8＞0，∴抛物线开口向上． ∵t＞0，∴该函数图象为开口向上的抛物线在第一象限的部分． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a（x﹣）2+，它的对称轴为直线x=﹣，顶点坐标为（﹣）；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）． 3. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x-2）2+1，那么b，c的值分别为（ ） A. -4，5 B. 4，3 C. -4，3 D. 4，5 【答案】A 【解析】 【分析】把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答． 【详解】∵y=(x−2)2+1=x2−4x+4+1=x2−4x+5， ∴b、c的值分别为−4，5. 故选A. 【点睛】本题考查二次函数的三种形式，解答技巧是把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线平移遵循左加右减，上加下减，向左平移2个单位，自变量加2，向下平移3个单位，整体减3，代入得到新解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移3个单位，得． 5. 抛物线的图象如图所示，那么（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象的开口方向、对称轴的位置及图象与y轴的交点位置即可确定答案． 【详解】由图象知，抛物线的开口向下，所以a<0； 由图象知，抛物线的对称轴在y轴的右边，即 ∵a<0 ∴b<0 由图象知，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，即当x=0时，y=c>0 故，， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象与各系数的关系，看开口方向可确定a的符号；看对称轴在y轴的左边还是右边可确定b的符号；看抛物线与y轴交点的位置可确定c的符号；注意数形结合是本题的最大特点． 6. 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】D 【解析】 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根． ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26． 故选D． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根． 7. 某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】解：由题意得：平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 8. 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转角度、旋转中心、旋转方向即可作出判断． 【详解】根据旋转的定义可得：旋转后AD与AB重合，故C选项符合题意.故选C. 【点睛】本题考查生活中的旋转现象，解题的关键是掌握旋转的性质. 9. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系内点的坐标， 根据点可知，再结合旋转的性质得，然后根据点C在第一象限得出答案． 【详解】解：∵点， ∴， 由旋转的性质得， ∴点． 故选：D. 二、填空题（5题，每题3分，共15分） 11. 已知点与点是关于原点的对称点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，掌握知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标性质，横坐标和纵坐标均互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 点，在抛物线上，则_____．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值，比较即可得解． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴． 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的最值，二次函数的实际应用，解题关键是掌握二次函数的实际应用． 将函数解析式化为顶点式，根据题意可知，当无人机停止运动，s取得最大值，从而求解即可． 【详解】解：， ∴当时，s取到最大值， 即无人机着陆后滑行秒才能停下来， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形的边在线段上，点在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，则抛物线平移的距离为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数的性质，平移变换，掌握相关图形的性质和平移的性质是解题的关键． 连接，交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到点P是的中点，求得，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点P，连接，取的中点Q，连接， ，抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， ， 直线平分矩形的面积， 直线过点P， 由平移的性质可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 点P是的中点， ， ， ，， 抛物线向右平移的距离是3个单位． 故答案为：3． 三、解答题（共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，依次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，依次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 17. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 【答案】（1） 利用描点法画出函数图象如下： （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法，将、、代入，即可求出函数解析式； （3）①找出函数图象位于x轴上方时，x的取值范围即可； ②由函数图象可知，当时的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由表格可知，将、、代入，得 ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问3详解】 由二次函数图象可知， ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握描点法画函数图象和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 18. 如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由题意可知，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出； （2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设相交于点F， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 19. 【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明的积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 （1）请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． （2）用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） （3）如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明：设其中一个正数为，则另一个正数为，积为， ， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 即当时，积最大，此时积为， ∴当两个数相等时，乘积最大． （3）50 【解析】 【分析】（1）根据所给等式可得结论； （2）设其中一个正数为，则另一个正数为，积为，根据二次函数图象与性质可得结论； （3）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：积最大的是， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵， 根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 20. 一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 【答案】（1），此次射门在不受干扰的情况下能进球，证明： 由题意得，抛物线的顶点为， ∴设抛物线为． ∵抛物线过， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， ∵， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． （1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值可得抛物线解析式，把代入求出值与比较即可得答案； （2）把代入抛物线解析式，求出的值，再求出与球门的距离即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：或， ∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守， ∴， ， 答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门． 21. 春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） （1）请求出与之间的函数关系式： （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且是整数） （2）（，且是整数） （3）电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 由题意可得： ， 解得． （，且是整数）． 【小问2详解】 解：根据题意，得（，且是整数）． 【小问3详解】 解：， ，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． 22. 【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 （1）如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； （2）如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质画出图形； ②先证，利用全等的性质求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将绕点顺时针旋转得到，先求出，然后证明为等边三角形，当、、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【小问1详解】 ①略 ②为等边三角形， ，， 又是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ∴ ∴， ， ， 【小问2详解】 如图，将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中，， ， ， 又， ∴， 如图，过作⊥交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）直线上的“友好点”坐标为____________； （2）若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限 ①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值； ②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①的值为或；②或 【解析】 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为，再代入，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点，确定“友好该二次函数”的解析式为， ①知：图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，得，求解即可；当，即时，函数的最小值为，不符合题意；当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，则当时，函数有最小值，得，求解即可； ②如图所示，确定，，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【小问1详解】 解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； 【小问3详解】 设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图像顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ①∵“友好二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或； ②如图所示， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， 设二次函数的顶点为， ∴， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点， 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点； 当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查“友好点”的新定义，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段检测 （九年级 数学） 2026.10 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（10题，每题3分，共30分） 1. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一物体从高空某一位置落下所经过的路程与下落时间满足函数关系式，其函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x-2）2+1，那么b，c的值分别为（ ） A. -4，5 B. 4，3 C. -4，3 D. 4，5 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的图象如图所示，那么（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 7. 某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（5题，每题3分，共15分） 11. 已知点与点是关于原点的对称点，则_____． 12. 点，在抛物线上，则_____．（填“＞”“＜”或“=”） 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 15. 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形的边在线段上，点在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，则抛物线平移的距离为_______． 三、解答题（共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的． 17. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 18. 如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明的积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 （1）请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． （2）用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） （3）如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 20. 一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 21. 春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） （1）请求出与之间的函数关系式： （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22. 【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 （1）如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； （2）如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）直线上的“友好点”坐标为____________； （2）若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限 ①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值； ②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $