山东青岛西海岸新区胶南第一高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

山东青岛西海岸新区胶南第一高级中学2026-2027学年高一（上） 第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题 1．设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 1．【答案】D 【解析】。 2．命题“，都有 ”的否定是（　　） A．，都有 B．，使得 C．，使得 D．，使得 2．【答案】B 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，量词改为“”，结论“”改为“”。 3．已知 都是正实数，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】由 ，。 4．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．【答案】B 【解析】由函数解析式有意义 得，即 ，得 ；又 ，所以 。 5．下列说法正确的是（　　） A．“对任意一个无理数 ， 也是无理数”是真命题 B．“”是“”的充要条件 C．命题“，使得 ”的否定是“” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数 的取值范围是 5．【答案】D 【解析】A中 时 为有理数，假；B中 时 但 ，假；C中否定应为“”，假；D中 即 ，它是 的子集且不相等，得 且 ，即 ，真。 6．下列两个函数是相同函数的有（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 6．【答案】D 【解析】A中 的定义域不含 ；B中 ；C中 的定义域不含0；D中 ，定义域和对应关系都相同。 7．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线。如图，梯形 中，，且 ，， 和 为平行于底的两条割线，其中 为中线， 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（　　） A． B． C． D． 7．【答案】B 【解析】梯形中位线 ，过对角线交点的平行线 ，由 得 。 8．已知集合 ，，若集合 中恰好只有两个整数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．【答案】A 【解析】。当 时， 与 的交集含整数 ；当 时，交集含整数 ；其余情况不是恰好两个，所以 。 二、多选题 9．已知集合 ，，则下列数是集合 中的元素的有（　　） A． B． C． D． 9．【答案】ABD 【解析】，，乘积集合为 ，所以 是元素，4不是。 10．下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．【答案】ABCD 【解析】A由 得 ；B函数 在 上递增；C作差 ；D函数 在 上递增。 11．已知 是正数，且 ，下列叙述正确的是（　　） A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 的最小值为 11．【答案】ACD 【解析】由 得 ；；；。 三、填空题 12．设集合 ，则集合 的子集个数为________。 12．【答案】32 【解析】 是12的正因数，，得 ，共5个元素，子集个数 。 13．“方程 至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则 的取值范围是________， 的取值范围是________。 13．【答案】； 【解析】方程至多一个实数解需 ，即 。要使 是必要不充分条件，需 ，且不能过宽到包含负数，故 。 14．已知实数 满足 ，，则 的取值范围是________。 14．【答案】 【解析】令 ，则 ，，所以范围为 。 四、解答题 15．已知集合 ，集合 。 （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围。 15．【答案】（1）；（2） 或 。 【解析】（1），。 需 ，，且 ，所以 且 。 （2）。当 时，，即 ；当 时，，需 且 ，即 。 16．设矩形 （其中 ）的周长为24，如图所示，把它沿对角线 对折后， 交 于点 。 （1）证明： 的周长为定值； （2）设 ，记 的面积为 ，求当 为何值时， 取得最大值，并求出最大值。 16．【答案】（1）定值为12；（2） 时，最大面积为 。 【解析】（1）设 ，则 。由折叠对称性可得 ，所以 的周长为 ，为定值。 （2）设 ，则 。由 得 ，解得 。于是 。令 ，利用基本不等式（或求导）可得 时 。 17．（1）比较两个代数式 与 的大小。 （2）已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 17．【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）作差： ，所以前者大于后者。 （2）由解集 得 ，所以 。不等式 即 ，解得 。 18．天气转冷，宁波某暖手宝厂扩大销量，拟进行促销活动。根据前期调研，获得该产品的销售量 万件与投入的促销费用 万元（）满足关系式 （ 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件。已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为 元，设该产品的利润为 万元。（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） （1）求出 的值，并将 表示为 的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 18．【答案】（1），（）；（2） 万元时，最大利润123万元。 【解析】（1）不促销时 ，代入 得 ，所以 ，。利润 。 （2），当且仅当 ，即 时取等号，最大利润123万元。 19．设非空数集 ，若 ，都有 ，则称 是一个“乘法封闭集”；若 ，有 ，则称 为 的一个“完美元素”。 （1）已知含有两个元素的集合 是一个“乘法封闭集”，求集合 ； （2）已知集合 。 （i）判断集合 是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若 是集合 的一个“完美元素”，求 的值。 19．【答案】（1） 或 ；（2）（i）是；（ii）1。 【解析】（1）若 ，另一个元素 需满足 ，得 ，；若 ，两个非零元素的乘积仍在 中，只能是 。 （2）（i）设 ，则 ，所以 是乘法封闭集。 （ii）若 是完美元素，则 ，所以 整除 。又 ，且不能为 ，故 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东青岛西海岸新区胶南第一高级中学2026-2027学年高一（上） 第一次月考数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．命题“，都有 ”的否定是（　　） A．，都有 B．，使得 C．，使得 D．，使得 3．已知 都是正实数，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．“对任意一个无理数 ， 也是无理数”是真命题 B．“”是“”的充要条件 C．命题“，使得 ”的否定是“” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数 的取值范围是 6．下列两个函数是相同函数的有（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 7．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线。如图，梯形 中，，且 ，， 和 为平行于底的两条割线，其中 为中线， 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，，若集合 中恰好只有两个整数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知集合 ，，则下列数是集合 中的元素的有（　　） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 11．已知 是正数，且 ，下列叙述正确的是（　　） A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．设集合 ，则集合 的子集个数为________。 13．“方程 至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则 的取值范围是________， 的取值范围是________。 14．已知实数 满足 ，，则 的取值范围是________。 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知集合 ，集合 。 （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围。 16．（15分）设矩形 （其中 ）的周长为24，如图所示，把它沿对角线 对折后， 交 于点 。 （1）证明： 的周长为定值； （2）设 ，记 的面积为 ，求当 为何值时， 取得最大值，并求出最大值。 17．（15分）（1）比较两个代数式 与 的大小。 （2）已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 18．（17分）天气转冷，宁波某暖手宝厂扩大销量，拟进行促销活动。根据前期调研，获得该产品的销售量 万件与投入的促销费用 万元（）满足关系式 （ 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件。已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为 元，设该产品的利润为 万元。（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） （1）求出 的值，并将 表示为 的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 19．（17分）设非空数集 ，若 ，都有 ，则称 是一个“乘法封闭集”；若 ，有 ，则称 为 的一个“完美元素”。 （1）已知含有两个元素的集合 是一个“乘法封闭集”，求集合 ； （2）已知集合 。 （i）判断集合 是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若 是集合 的一个“完美元素”，求 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $