2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册进阶第17讲 数列求和题型全归纳讲义

第20讲数列求和题型全归纳 目录 题型01裂项求和基础型 题型02裂项求和根式、指数型 题型03错位相减求和 题型04分组、并项求和 题型05倒序相加求和 强化训练（共10题) 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1裂项求和基础型 题型点拨 mm11 1111 基础原理： p99-ppq,如：2×44-224： s:0a立：@0-o可1， 111 注意（避免掉坑） 6分阳t,d可治 2来不阳t是系，d网可语 ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察消项后剩余的首尾项 (或正、负项)的对应关系 11(11 (1)n(n+k)kn n+k); 1 111 (2)(2n-1)(2n+1)22n-12n+1: 1 (3) n(n+1)n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2): 分式型分子裂差法 f(n) 形如a,·a1型，如果f(n)=元(a+1-an),则可以分子裂差：anantl anan+l 【典例1】(25-26广东佛山)已知 是首项为1的等比数列，数列 满足 b=3,a ba -an =nant 求a,的通项公式 2 (2)设 b,b1,求数列c}的前n项和S. 【变式1】(25-26湖南)已知等比数列 ,的各项均为正数，首项4-3.为其前项和，且 S,+3S2=S3 ①求数列a的通项公式。 1 (2)b=l0g3an, C,h,2,求数列c,}的前n项和工. 题型2裂项求和根式、指数型 题型点拨 a+k++k-同) 2" (2-1)-(2”-1)1 1 (2) 2-2”-)(2-12-0）2-12- w80西1 3” n+2-20n+0-n=21.1=1 1 (4)nn+)-2”nn+1)-2(nn+12n-2m+1)-2” 【奥例1】已知各项都是正数的数列a,}共前n项和为S,4=1,且5-反-包+-) )求a,的通项公式 +++=3 (2)若b.=Va。+Va1,求证：bbb:. 【变式1】数列a,的通项公式为2Nn++(a+),则这个效列的前63项之和为《) P > 7 9 A.9 B.9 C.8 D.10 题型3错位相减求和 题型点拨 (1)适用条件 an} (d≠0) b,}是公比为 (9≠1) S 若 是公差为 的等差数列， 的等比数列，求数列{anb}的前n项和 (2)基本步骤 g展开Sn=a1b1+a2b2t…+am-bn-1+anbn① ⊙-d乘公比qSn-a1b2ta2bgt…+an-bntan bn+1② ⊙错位相减 ①-②：得(1-q）Sn=arb1tazb2t…tam-rbm-1tamb, (a1b2ta2b3t…+aa-batanba1） =arb1+d(b2+b3t…+bn】ambn+1③ 求和 Sn= arb+d(b2+b3++b)-anb 1-g (3)注意事项 ①在写出5与95的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出3一9心。 【典例1】(25.26湖南长沙)已知等差数列a满足巴+4。=12,4=8，数列清足 b1=28+bn (1)求数 a}和}的通顶公式 an (2)设 C的前n项和为n,求证：)S了 【变式1】（2526北京)已知数列a的前”项和为5=3”-1，数列么满足.么=- b1=b,+(2n-1(neN*） ①求数列a的通项公式“。 ②求数列6 的通项公式； 3)若c-46 2n,求数列{c}的前n项和T 题型4分组、并项求和 题型点拨 并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 【典例1】 (25-26江苏苏州)已知数列 满足0，=2a+2-1m≥2)，且4，=81 an-1 (1)证明：数列2”了是等差数列，并求数列a}的通项公式： (2)求数列 ,的前”项和5， 【变式1】已知数列a,的首项4=1，a+0=3×2 (1)求证： {a,-2是等比数列： ②求数列a的前”项和5， n2 (3)令 an-(-1)”,求数列b}的最大项. 题型5倒序相加求和 题型点拨 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可 用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）· 【典例1】(25-26福建漳州)德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对 1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定 2x 的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数f0=3+6078(k>0）,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+2025) 等于() k+2025 2k+6078 2k+6078 k+2025 A. 3 B 3 C D. 6 6 1 1本1、526：里拉江哈尔滨)若等差数列{Q,}满足402，则4+24+24+2（) 2025 2025 A.2025 B. 2025 C 4 D. 2 8 强化训练（共10题) 1.(2526广东佛山)已知等比数列a的前”项和为5，且2 2S,=ant-1 山)求a}的通项公式， (s. (2)求数列 的前”项和7 2. (25-26福建龙岩)设数列{a,}的前”项和为S,S=m+n,亿，}是等比数列，么=，么= 8 (1)求数列 a. 的通项公式： 1 +6 (2)求数列S 的前n项和Tn an 3.已知数列{a,}中，a=3,a,=15,且数列n}为等差数列. 山求a,}的通项公式： 1 ②)记S为数列a,的前n项和，证明：了< 4.(25-26浙江温州)已知数列 的前”项和为，且S,=2-2 @求数a的通项公式： a ②令么a,-a-可，求数列}的前n项和。 5.(25-26湖南邵阳)已知数列 a满足4=5，a-2a,=3”(neN),记么=a,-3y ①求数列a,的通项； =2n+1 (②)设”b。,求数列{c}的前n项和为S. 6.(25-26广西北海)已知数列 ,清足4=4a=3a,-2 0)求a,的通项公式 =20,-) (2)若 ,记散列色}的前0现和为，求证，工<生. 7。.(2526福定厦门)已知等差数列a清足“，+a=l12.a,=8,数列满足4=l=2+. ①求数列a和的通项公式 an (②四设C,b,十1数列c}的前n项和为5，求Sm 2” 8.记5，工分别为数列a,亿}的前n项和，已知95.=12a,-4+4,且2a,十a )求a,的通项公式： 2T,≥V2-1 (2)证明： ).(2526江苏盐城)已知等差数列a的公差为4，且d+0,设5为a,的前”项和，数列满足 b=2S,-n(neN)】 若4=1d=1 且 <a,求” ②若数)也是公差为d的等差数列 ①求数列6 的通项公式： (-1)"bn ②求数列 的前2n项和 10.(25-26江苏苏州)已知函数 -9数到a动 2 (1)求证： f()+1-为定值，并求数列a的通项公式： [1 T<2 1 1 (2)记数列aa1J的前n项和为Tn，求证：3 知识小测（共5题） 1.(25-26北京顺义)已知等比数列 为递增数列，其的”项和为5,4=3,5=21 (1)求数 a,}的通项公式： (②考数列也-Q,是首项为1，公差为3的等差数列，求数列仙，的通顶公式及前”项和 2.(25-26福建厦门)已知数列a满足4=2，a,=n(a-a,儿neN) (1)求数列 的通项公式： 1 bn= (②)设”a-1,求数列也，}的前n项和为S. 3.(25-26河南)已知等差数 a的前”顶和为3，且20，+a=46,8=160 求o} 的通项公式和5： bn= (2若。S。,求数列也}的前n项和T. 4.(25-26江西南昌)已知等差数列a满足：4=2，且“，4，“成等比数列. (1)求数列 ,}的通项公式： bn=- (2)若等差数列，，的公差不为零，且数列 11 a ,}满足：”V,+20,求数列6，}的前9项和 5.已知数列a清足：4-1，a=a,+2'(aeN) (1)求数 a,}的通项公式： (②)设数列b.}的前n项和为S,若a,0,求证：S。<1, 第20讲 数列求和题型全归纳 目 录 题型01 裂项求和基础型 题型02 裂项求和根式、指数型 题型03 错位相减求和 题型04 分组、并项求和 题型05 倒序相加求和 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 裂项求和基础型 题型点拨 基础原理：，如：； 基本题型：①；②； 注意（避免掉坑） ①分母分解因式：； ②系数不相同就提系数：； ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察消项后剩余的首尾项（或正、负项）的对应关系. （1）； （2）； （3）； 分式型分子裂差法 形如型，如果，则可以分子裂差： 【典例1】（25-26·广东佛山）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【详解】（1）设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． （2）因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 【变式1】（25-26·湖南）已知等比数列的各项均为正数，首项，为其前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算求出公比，即可求得其通项公式； （2）先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求其和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由可得，整理得， 即，因，则得， 解得或，依题意，故 故数列的通项公式为． （2）因，则， 故 ． 题型2 裂项求和根式、指数型 题型点拨 （1） （2） （3） （4） 【典例1】已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对题干条件化简，求出前项和为与的关系式，再利用关系式求出通项公式. （2）先求出数列的通项公式，根据裂项相消法求出的值. 【详解】（1）由题意得， 所以，又数列是各项都是正数的数列，， 所以，， 当时，有， 所以， 所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 裂项得，证毕. 【变式1】数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求和即得. 【详解】依题意，， 所以这个数列的前63项之和. 故选：C 题型3 错位相减求和 题型点拨 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 【典例1】（25-26·湖南长沙）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 【变式1】（25-26·北京）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由分析计算即可求解； （2）由累加法即可求解； （3）由错位相减法计算求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 题型4 分组、并项求和 题型点拨 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 【典例1】（25-26·江苏苏州）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对递推式合理变形，再利用等差数列的定义证明等差数列，再求解通项公式即可. （2）结合题意并利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 两侧同时除以，可得，得到数列是公差为1的等差数列， 而，可得，故，解得， 则，故. （2）由题意得， ， 两式相减可得， 则， 得到， 可得， 则， 故. 【变式1】已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . （3）由（2）可得， 则， 所以当时，当时， 即， 所以数列的最大项为； 题型5 倒序相加求和 题型点拨 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【典例1】（25-26·福建漳州）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 【变式1】（25-26·黑龙江哈尔滨）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 强化训练（共10题） 1．（25-26·广东佛山）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，通过作差即可求解； （2）由等比数列求和公式得到，再通过分组求和即可. 【详解】（1）因为，故，两式相减 所以即，故等比数列的公比为， 当时，，故， 故 （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前项和 2．（25-26·福建龙岩）设数列的前n项和为，，是等比数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，利用与的关系求即可； （2）利用等比数列的通项公式可得，利用裂项相消法与分组求和法可得. 【详解】（1）∵，∴当时，， 当时，， ， 当时，符合上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，，∴， 在等比数列中，公比，∴， ∴， ∴数列的前n项和 . 3．已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 4．（25-26·浙江温州）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，，所以， 当时，也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以. 5．（25-26·湖南邵阳）已知数列满足，（），记. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证是等比数列，求出，即可得出的通项； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. （2）由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 6．（25-26·广西北海）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式. （2）写出数列的通项公式，根据裂项求和法，求出数列前项和，进而得证. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以． 7．（25-26·福建厦门）已知等差数列满足，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列{}的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用已知项之间的关系列方程求出公差和首项，从而得到通项公式；对递推数列，通过累加法求出通项公式，再验证首项； （2）将通项代入分数形式的表达式进行化简，得到等差乘等比型数列求和，通过错位相减法求得前n项和的表达式. 【详解】（1）等差数列满足，可得，即， ，，，即； 由数列满足， 可得，则 ，，， 即， （2）证明：， 数列的前项和, 相减可得 ， . 8．记分别为数列的前项和，已知，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用和的关系式，消去得到的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可； （2）根据（1）的结论和的关系式，利用裂项相消法求出的表达式，结合数列增减性即可证明. 【详解】（1）因为①， 当时，，解得． 当时，②， 由 ①－②得， 即，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，所以． （2）由（1）可知， 从而， 因为，单调递增，则． 9．（25-26·江苏盐城）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 10．（25-26·江苏苏州）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 知识小测（共5题） 1．（25-26·北京顺义）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设出公比，根据条件得到方程组，求出公比，得到通项公式； （2）利用等差数列通项公式得到，然后分组求和得到结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以， ，解得（负值舍去）， 所以，即； （2）由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以， 所以， . 2．（25-26·福建厦门）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，进而可得，即可得结果； （2）整理可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可得， 即对任意恒成立，可得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 所以. 3．（25-26·河南）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以， 解得，， 所以，； （2）由（1）知， 所以. 4．（25-26·江西南昌）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用，，成等比数列列出关于公差的方程，再利用等差数列的通项公式即可； （2）利用（1）中的通项公式，利用分母有理化化简，最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 . 5．已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $