进阶第9讲 圆的方程重点题型全归纳 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第9讲 圆的方程重点题型全归纳 目 录 题型01 圆中过定点问题 题型02 圆的方程中对称条件的突破 题型03 圆的轨迹方程与实际问题 题型04 直线与圆的位置关系及参数问题 题型05 切线方程、切线长、切点弦问题 题型06 直线与圆相交及弦长问题 题型07 圆与圆的位置关系及参数问题 题型08 公切线与公共弦问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 圆中过定点问题 【典例1】（25-26·河北张家口）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 【变式1】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型2 圆的方程中对称条件的突破 【典例1】（25-26·陕西榆林）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，所以线段的中点坐标为， 又，则， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 【变式1】（25-26·四川成都）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 题型3 圆的轨迹方程与实际问题 题型点拨 1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法 （1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． （2）定义法：根据圆的定义列方程求解． （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． （4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的坐标； （3）列式：列出关于 x，y 的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【典例1】（25-26·海南）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 【变式1】（25-26·重庆）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 题型4 直线与圆的位置关系及参数问题 题型点拨 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例1】若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 【变式1】（25-26·重庆）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 题型5 切线方程、切线长、切点弦问题 题型点拨 1、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设切线为时，只考虑了斜率存在的直线．因此利用判别式求出这些切线后，还必须单独检验斜率不存在的直线是否为圆的切线． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 【典例1】（25-26·河北廊坊）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1， 显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，得，所以. 故选：A 【变式1】（25-26·河南驻马店）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 题型6 直线与圆相交及弦长问题 题型点拨 弦长问题 （1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【典例1】（25-26·湖北孝感）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 【变式1】在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 题型7 圆与圆的位置关系及参数问题 题型点拨 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 【典例1】（25-26·江苏苏州）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式1】已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 【答案】A 【分析】点在阿波罗尼斯圆上，且是圆上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的圆心和半径. 【详解】设，由，两边平方得， 整理得，圆心为，半径为2． 圆的圆心为，半径为， 由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时无解， 所以只能是两圆内切，即， 解得或1． 时圆在内，时圆在外 故选：A 题型8 公切线与公共弦问题 题型点拨 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆的公切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【典例1】（25-26·河北秦皇岛）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 【典例2】（25-26·上海徐汇）两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式1】（25-26·江苏泰州）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 强化训练（共10题） 1．（25-26·江苏宿迁）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【详解】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 2．已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，即为圆的圆心坐标，进而可得圆的方程． 【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称 可得，化简得，解得 又两圆半径相等，故圆的方程为 故选：B 3．（25-26·甘肃兰州）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【详解】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 4．（25-26·山东青岛）（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 5．（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    6．（25-26·上海）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程. 【详解】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 7．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 8．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 9．（25-26·江西抚州）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 10．（25-26·贵州黔南）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 知识小测（共5题） 1．（25-26·河南鹤壁）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 2．（25-26·北京密云）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 3．（25-26·江苏）已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意可得，解出即可得. 【详解】可化为， 则，解得或， 即的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26·广东梅州）（多选）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切， 所以或，即或， 所以或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 5．（25-26·河南信阳）圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $第9讲圆的方程重点题型全归纳 目录 题型01圆中过定点问题 题型02圆的方程中对称条件的突破 题型03圆的轨迹方程与实际问题 题型04直线与圆的位置关系及参数问题 题型05切线方程、切线长、切点弦问题 题型06直线与圆相交及弦长问题 题型07圆与圆的位置关系及参数问题 题型08公切线与公共弦问题 强化训练（共10题) 知识小测（共5题) 题型精讲 题型1圆中过定点问题 【典例1】(25-26河北张家口)点M是直线2x-y+5=0上的动点 经过定点 【变式1】已知曲线C:（1+a)r+(1+a2-4r+8ay=0 (1)当a取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点. 题型2圆的方程中对称条件的突破 【典例1】(25-26陕西输林)已知圆M:(+1旷+0+2少=1与圆 则1的方程为() O是坐标原点，则以OM为直径的圆 :(x-3+(+4=1关于直线对称， A.x+2y+5=0 B.x-2y-5=0 C.2x+y+5=0 D.2x-y-5=0 :(x-1)2+y-1)2=2 【变式1】(25-26四川成都)圆 “关于直线 :y=x-1 对称后的方程为() Ax-2+=2B.+2+y=2C.+0-2=2D.+0+=2 题型3圆的轨迹方程与实际问题 题型点拨 1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解. (2)定义法：根据圆的定义列方程求解 (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解。 (4)代入法（相关点法）：找出要求的点与已知点的关系，代入己知点满足的关系式求解. 2、坐标法求轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的平面直角坐标系： (2)设点：用（优，）表示轨迹（曲线）上任意一点M的坐标； (3)列式：列出关于x,y的方程： (4)化简：把方程化为最简形式： (5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 【典例1】(25-26海南)据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期某拱桥及 其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度AB=4Om,拱高OP=10m,与OP相距am的支柱 AP=5m 则a=() 4,B A.5 B 5v5 C.15 D.105 【变式1】(25-2ó重庆)点P在因+少=36 2(4,0 运动，它与点 所连线段中点为M,则点M轨迹方 程为() A.x-22+广=9B(x+2y2+=9 B C.+0-2y=9D.r+0+2y=9 题型4直线与圆的位置关系及参数问题 题型点拨 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过 定点的直线系， 【典例1】若圆C:P+y-12x+10+25=0 1:3x+4y+c=0 有四个不同的点到直线 的距离为3，则的 取值范围是() A.(0,17) B.-13,0) C.(-13,17) D.(13,17) 为：5x+V39y+1=0,则因 C:x2+y2-6x=0 【变式1】(25-26重庆)直线的方程 上到直线距离为1的 点的个数为() A.4 B.2 C.1 D.3 题型5切线方程、切线长、切点弦问题 题型点拨 1、求圆的切线方程的三种方法 (1)几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率 不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程， (2)代数法：设切线为y-y。=k(x-x,)时，只考虑了斜率存在的直线.因此利用判别式求出这些切 线后，还必须单独检验斜率不存在的直线X=X是否为圆的切线。 (3)设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程. 2、与圆的切线相关的结论 （1)过圆+少2=r2上一点P(,%)的圆的切线方程为，+少，=r户 (2)过(x-a+(y-b=r产上一点P(,)的圆的切线方程为： (x-a)(x-a)+(y-b)(-b)=r2 (3)过x-a+(y-b=广外一点P(,)作圆的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB 所在直线方程为：(x-a(x,-a)+(0y-b)(%-b)=r2 (4过圆外一点P(6,)写引回x-。+(0-b=r的两条切线，则过圆外一点P()的切线长 为d=V,-a'+。-b}2- 【典例1】(25-26河北廊坊)一条光线从点 A(-1,1) 射出，经直线'=反射后，与圆C: (x-102+(0y-32=1 相切，则反射后光线所在直线的斜率为() A.5 B ±v10 C.±3 D +V5 C:(x-1)2+y2=4 P(-3,2) 【变式1】(25-26河南驻马店)过原点0的直线1与圆 交于A,B两点，且点 (I)过点P作圆C的切线m,求切线L的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程. 题型6直线与圆相交及弦长问题 题型点拨 弦长问题 (1)利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离d,弦长具有的关系2=+（匀} 这也是求弦长最 常用的方法。 (2)利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算 弦长 1:y=kx+b (x,),(x2,y2) (3)利用弦长公式：设直线 ,与圆的两交点 ,将直线方程代入圆的方 程，消元后利用根与系数关系得弦长： 1=+F13-名卡V0+IG+P-4x=0+码A 【典例1】(25-26湖北孝感)已知线段AB的端点B的坐标是 8),瑞点4在圆r+广=16上运动，M 是线段AB的中点 (1)求点M的轨迹方程； 2,0) (2)记(1)中所求轨迹为曲线C,过定点 的直线I与曲线C交于P,Q两点，并且被曲线C截得的弦长 为6 ,求直线I的方程. 【变式】在平面直角华标系中，Q2.0.过点 P(2, 作直线与O:+少=文于不同的商色从》 MN (1)若直线1的斜率为1，求 OM ON k k2 k+k2 (2)设直线 的斜率分别是，，探索 是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理 由 题型7圆与圆的位置关系及参数问题 题型点拨 (1)几何法：若两圆的半径分别为上，2，两圆连心线的长为d. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 光 交点个数 0 0 d与1，的关系 d>5+3 d=r+乃 5-2<d<片+2 d=5-2 0≤d<5-3 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. △>0三相交 圆C方程消元，一元二次方程△=0→内切或外切 圆C,方程 △<0=→外离或内含 【典例1】(25-26江苏苏州)若圆+少=4 （a,1 总存在两个点到点的距离为3，则实数α的取值范围是 () A.（-1,) B.（-26,26) c.（-1,0U(0,1) D.（-26,0u0,26) 【变武1】已知O0,0),4(-30,因C:(-2旷+=r(>0)上有且仅有-个点P满足P4=2P0,则 r的取值可以为() A.1或3 B.2 C.3 D.1或5 题型8公切线与公共弦问题 题型点拨 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线. 2、两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 02 O: 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y=:+b,由公切线的意义（两圆的公切线）可知， 两圆心到直线y=a+b的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k和b的方程，解这个方程组得到 k,b的值，即可写出公切线的方程； (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程 【典例1】（25-26河北秦皇岛)（多选）与圆G:(-1少+y=8和圆C:(-5列+0-4-8 相切的直 线方程可能为() A.x+2y-5=0 B.x+y-5=0 C.x-y-5=0 D.x-y+3=0 【典例2】(25.26上海徐汇)两圆-5+0-5=75+3旷+(0+1=75的公共孩长为 【变式11(2526江苏泰州)已知圆x-a+0-少=l与圆+y=3相交于4B两点，若直线B的顿 斜角为45°，则实数a的值为一· 强化训练（共10题） 1.（25-26江苏宿迁)圆x-旷+(0)-2=4上恰有3个点到直线y=2x+m的距离等于1，则实数m的值 为() A.t1 B,2 c tv5 D.25 2.已知圆 0:(x-2)2+(y-1)2=9 和直线：x-y+1= 0若因0与因0关于直线对称，则图的方程为 () A.x-3}+y=9 B.r+0-3)2=9 c.-2y+0-3y=9 D.x-3y+0-2}=9 3.(25-26甘肃兰州)曲线=1+V4-r(-2≤x≤2)与直线y=(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值 范围是() a[ D. 4.(25-26山东青岛)（多选）已知圆4：r+y-2y-3=0圆B:r+广-4r+3=0 ，则下列说法正确 的是() A.点P(2,-1)在圆A内 B.圆A上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为1 C.圆A和圆B的公切线长为2 D.圆A和圆B的公共弦所在的直线方程为2x-y-3=0 5.(多选)若圆： 国S,r+y=l和9，+y-25ar-2a-5=0(a>0)有且仅有一条公切线1，则下 列结论正确的是() C C A.圆与圆内切 B.a-1 C.公切线I的方程 2x-25v+5=0D.公切线1的方程为5x+y+2=0 6.(25-26:上海)古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k( k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。在平面直角坐标系中，设 (-3,0) WMA=2 B(3,O),动点M满足MB，则动点M的轨迹方程为 7.过点 )作圆0：r+广-4y=0的两条切线PA,PB,切点分别为4B,则直线4B的方程为_ (-2,-1) 8.在气象台A正西方向 00v3km ”处有一台风中心，它正向北偏东60方向移动，移动速度的大小为 20kmh,距台风中心l00km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在 地受到影响的持续时间为 小时 9（25-26江西抚州)已知0为原点，直线x+2y-3=0与圆C:+广+x-6y+m=0本 与圆 之两点 (1若Pg=2 ,求m的值； (2)若过O点作圆的两条切线，切点为M、N,求四边形ONCM面积的最大值. 10.(25-26贵州黔南)已知直线 :(k+2)x-(k+y-k-3=0(k∈R)恒过定点C,且以C为圆心的圆与 直线3x+4y-20=0相切： (1)求圆C的一般方程： (2)设过 P-2,0)的直线与圆C交于A,月丙点，判断P4P9 是否为定值若是，求出这个定值：若不是， 请说明理由： 知识小测（共5题) 1.（25-26河南鹤壁)过点P(0可以作圆C:×+广-2x=0 切线的条数为() A.0 B.1 C.2 D.无数条 2.(25-26北京密云)已知圆G:x-6+0-2=9 gC2:x2+y2-6x+4y+9=0 和 ,则它们的位置关系是 () A.外离 B.相切 C.内含 D.相交 C:x2+y2+2mx-2y+2=0 3.(25-26江苏)已知曲线 表示圆，且 P1,2刃在曲线C外，则m的取值范围 是() B.(-o0,-1)U(1,+oo) 。(别 p（3-ua树 4.(25-26广东梅州)（多选)圆C:r+y=1与圆C,:r+0-a=9有且只有一个公共点，则“的值 可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26河南信阳)圆+少+mr-2y-m=0。 恒过的定点是一