江苏靖江市靖城中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段质量检测数学试卷

2026-2027靖江市靖城中学九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷 （满分150分 考试时间120 分钟） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列哪个方程是一元二次方程（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 3. 下列各点，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7. 填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 8. 在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为______ m． 9. 一元二次方程的两根为和，则________． 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 11. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______． 12. 如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为_____． 13. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 15. 如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为______． 16. 如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 21. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 23. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． （1）求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； （2）根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 24. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 25. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 26. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 2026-2027靖江市靖城中学九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷 （满分150分 考试时间120 分钟） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 【7题答案】 【答案】 ①. ②. ， 【8题答案】 【答案】1800 【9题答案】 【答案】2025 【10题答案】 【答案】且 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】2或 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】， 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， 【18题答案】 【答案】，4 【19题答案】 【答案】（1）证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【21题答案】 【答案】（1），，围成这样的矩形养殖区符合题意 （2）面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【22题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【23题答案】 【答案】（1）材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： （2） 【24题答案】 【答案】（1） （2）元 【25题答案】 【答案】（1）， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2） （3）或 【26题答案】 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）； （3）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $