江苏 南京市金陵中学浦口分校2026-2027学年第一学期九年级第一次学期调研数学卷（10月）

2026~2027学年第一学期南京金陵中学浦口校区学情调研 九年级数学(10月) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是() A.x+2y=1 B.2+y=2 C.2x+x2=3 D.x+1=4 【答案】c 2.用配方法解方程x2-6c一4=0，下列配方正确的是() A.(x-3)2=5 B.(x+3)2=5 C.（x-3)2=13 D.(x+3)P=13 【答案】c 3.已知⊙O的半径为4，平面内有一点M.若OM=5,则点M与⊙O的位置关系是(). A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定 【答案】C 4.如图，己知直线y=m与双曲线y=飞的一个交点坐标为(-1,3，则它们的另一个交点坐标是( 2 A.(1,3) B.(3,1) C.(1,-3) D.（-1,3) 【答案】C 5.若点(-5，)，(-3，y2,(3,y)都在反比例函数y=左(k<0)图象上，则1,2，的大小关系为 () A.y1v2ys B.y2>1>y3 C.ys>y2 D.y>y3y2 【答案】B 6关于函数y=子3的图象有以下四个结论： ①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线y=x+3对称： ③函数图象关于直线y=一c一3对称；④函数图象关于(-3,0)成中心对称. 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】c 第1页共8页 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7.方程2-3x=0的根为_ 【答案】D1=0;=3 8.若一元二次方程x2一3x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值是 【答1号 9.若x1、心是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则1十x2-2cc,的值为一· 【答案】0 10.我市2015年底己有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷， 则绿化面积平均每年的增长率为 【答案】10% 11.如图，等边△ABC内接于⊙O,AD是直径，则∠CBD= 【答案】30 (第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，AB=BC,∠AOB=62°，则∠BDC= 【答案】31 13.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD= 【答案】35 14.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数为 °。 【答案】40 B (第14题) (第15题) 15.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°，OC=4,CD的长为 【答案】4√2 16.像√2x+3=x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,2=-1。但由 于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当c1=3时，√g=3满足题意；当x2=-1时，√I 第2页共8页 =-1不符合题意；所以原方程的解是x=3。运用以上经验，则方程x十√c+5=1的解为 【答案】x=-1 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(12分)解下列方程： (1)(x+1)2=9 (2)x2-2x-3=0 (3)x(x+1)=3(x+1) 【答案】 (1)1=2,D2=-4(2）c1=3,c2=-1(3)1=-1,2=3 18.(6分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,OE= OF。求证AC=BD。 【解析】 如图，连接OC,OD。 CE⊥AB,DF⊥AB,.∠OEC=∠OFD=90°。 在Rt△OEC和Rt△OFD中， OE=OF,Rt△OBC≥Rt△OFD(Em, OC=OD, .∠AOC=∠BOD. .∴.AC=BD 19.(7分)如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪。要使 草坪的面积是760m?,道路的宽应为多少？ 【解析】 解：设道路的宽应为c米，根据题意得： (40-x)(22-c)=760 解得：1=2，=60（不合题意，舍去） 答：道路的宽应为2米。 第3页共8页 20.(7分)已知关于x的一元二次方程x2-mc-2=0。 (1)对于任意的实数m,判断方程的根的情况，并说明理由；(3分) (2)若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根。(4分) 【解析】 解：(1)：在方程c2-mx-2=0中，△=(-m)2-4×1×(-2)=m2+8≥8， ·.不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根。 (2)将=1代入原方程，得：1-m-2=0,解得：m=-1,.原方程为x2+-2=(x-1)(c+2)=0, 解得：x1=1,x2=-2。 答：m的值为-1，方程的另一个根为一2。 21.(7分)如图，一次函数y=+2与反比例函数=的图象相交于点A2,,Bb,-1。 m (1)求反比例函数的表达式；(2分) (2》请直接写出关于x的不等式20+2>左的解集；(2分) (3)连接AO,BO,求△AOB的面积。(3分) 【解析】 ①将2，@)代入y=号+2：得a=5×2+2=3 2 A23)将A2,3)代入=点得3=号解得=6 2 六反比例函数的表达式为y=6。 (2)）将a6,-)代入y=号+2，-1=0+2解得6=6， 2 ∴.B(-6,-1)。 不等式的解集为-6<c<0或c>2。 1 (3)设直线y=2x+2交g轴于点C,令x=0,则y=2: ∴.C(0,2),OC=2。 S△4AoB=S△4og+S△BoC =2×00x1+号×0Cxe 2 =号×2x2+号×2×6 Γ2 =8 ∴.△AOB的面积为8。 22.(7分)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元。为了扩大销售，增加盈利，该店采 取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每 天可多售出2件。 （1)若每件商品降价2元，则平均每天可售出 件；(2分) (2)当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？(5分) 第4页共8页 【解析】(1)20+2×2=24。 (2)设每件商品降价x元，此时每件盈利(50-x)元，每天销售量为(20+2x)件。根据题意： (50-x)(20+2a)=1600整理得： x2-40x+300=0 解得：01=10，c2=30。 50-0≥25，即x≤25， ∴x=30不合题意，舍去。 .x=10。 答：当每件商品降价10元时，每天销售利润为1600元。 23.(8分)用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”。 已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O。 D 求证：∠B+∠D=180°。 0. 0 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E,连接AE、CE。 DE是⊙O的直径，∴一 图① 图② :∠DAE+∠AEC+∠DCE+∠ADC=360°， ∴.∠AEC+∠ADC=360°-∠DAE-∠DCE=360°-90°-90°=180°。 :∠B和∠AEC所对的弧是ADC,一。 .∠B+∠ADC=180°。 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法 证法2： 【解析】 解：证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E,连接AE、CE。 :DE是⊙O的直径，.∠DAE=∠DCE=90°。 :∠DAE+∠AEC+∠DCE+∠ADC=360°， ∴.∠AEC+∠ADC=360°-∠DAE-∠DCE=360°-90°-90°=180°。 :∠B和∠AEC所对的弧是ADC,∴.∠AEC=∠B。 .∠B+∠ADC=180°。 故答案为：∠DAE=∠DCE=90°，∠AEC=∠B: 证法2：如图①，连接OA、OC, :∠B、∠1所对的弧是ADC,∠D、∠2所对的弧是ABC, ∠B=54,D-号2 ∠1+∠2=360， D D ∴∠B+∠D=号(4+∠2-号×360=180。 图0 图② 第5页共8页 24.(7分)如图，AD、BC是⊙O的弦，且AD=BC,AC是直径，求证：四边形ABCD是矩形。 0 B 【解析】 证明：：AC为⊙O的直径，∴.∠D=∠B=90°。 在Rt△ABC和Rt△ADC中， BC=AD, LAC=AC, '.Rt△ABC≥Rt△CDA(HL ∴AB=CD,又AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， 又：∠D=90°，∴.四边形ABCD是矩形。 25.(7分)已知AB是⊙O的弦。 (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦CD,使CD=AB;(3分) (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD,使CD=AB,且AB与CD的夹角为60°。（要求：保留作 图痕迹，写出必要的文字说明)(4分) 0 B (1) (2) 【解析】 (1)如图1) 0 (1) (2)方法1：如图(2)，以点B为圆心，OB长为半径作弧交⊙O于点C,再以点C为圆心，AB长为半 径作弧交⊙O于点D,则弦CD即为所求。 方法2：如图(3)，作等边三角形ABE,作∠BAE的平分线与⊙O交于点C,以点C为圆心，AB长为 半径作弧交⊙O于点D,则弦CD即为所求。 第6页共8页 26.(10分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0满足a十b+c=0,那么称这样的方程为“美好方 程”。例如，方程x2-如+3=0,1-4+3=0，则这个方程就是“美好方程”。 (1)下列方程是“美好方程”的是 ①x2+2x-3=0②x2-3c=0③x2+1=0④x(x-1)=2(x-1) (2)求证：“美好方程”ax2+bx十c=0总有两个实数根： (3)若“美好方程”(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，求证：a+c=2b。 【解析】 (1)①④ (2)证明：：方程ac2+bx十c=0是“美好方程”， ∴.a+b+c=0,即c=-a-b。△=b2-4ac =b2-4a(-a-b) =b2+4a2+4ab =（2a+b)2≥0， ∴.“美好方程”ax2+bx十c=0总有两个实数根。 (3)证明：.方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0是“美好方程”， ∴.(b-c)+(c-a)+(a-b)=0,满足定义。 :方程有两个相等实数根，∴△=0， △=(c-a)2-4(b-c)(a-b c2-2ac+a2-4(ab-b2-ac+bc) c2-2ac +a2-4ab+462+4ac-4bc =a+2ac+c2-4ab-46c+462 =(a+c2-4b(a+c)+4b2 =(a+c-2b)2=0, ∴.a+c-2b=0, 即a+c=2b。 27.解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法。 【例题呈现】： 关于x的方程a(x+m)P+b=0的解是x1=1,c2=-2(a、m、b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m十2) 2+b=0的解是 【解法探讨】： (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路： 第1步：把1，-2代入到第1个方程 中求出m的值； 第2步：把m的值代入到第1个方程 中求出-6的值： 第3步：解第2个方程 第7页共8页 (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x+m+2)+b=0中的“x+2”看作第1个方程中的 “x”,则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题。 【策略运用】： (3)小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题， 请用他们说的方法完成解答： 已知方程(2a2-4b)x2+(4b2-4c)x+4c2-2a2=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的 长，判断△ABC的形状， 【解析】 (1)把1=1，=-2分别代入原方程，得 a(1+m2+b=0 a(-2+m)2+b=0 。解得m= 29 六原方程为ae+号+b=0,-占-9 a4 将m=号和名=呈代入第2个方程得(+昌》=号 2 a 4 解得x1=一1，w=一1o (2)1或-2 解析：把第二个方程中的“c+2”看作第一个方程中的“x”,则“x+2”的值为1或一2。 (3)关于x的一元二次方程(2a2-4b)x2+(4b-4c2)e+4c2一2a=0有两个相等的实数根，观察原方程可 得x=1,即原方程可化成m(x-1)P=0的形式， 由方程的结构特点可得，展开得mx2-2mc+m=0, ∴.二次项系数和常数项相等，即2a2-4b=4c2-2a, .a2=b2+c2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠A=90°。 第8页共8页2026~2027学年第一学期南京金陵中学浦口校区学情调研 九年级数学(10月) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是() A.x+2y=1 B.2+y=2 C.2+x2=3 D.x+1=4 2.用配方法解方程x2-6c一4=0，下列配方正确的是() A.(x-3)2=5 B.(x+3)2=5 C.(x-3)=13 D.(x+3)2=13 3.已知⊙O的半径为4，平面内有一点M.若OM=5,则点M与⊙O的位置关系是(). A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定 4.如图，己知直线y=mm与双曲线y=飞的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是( ) A.(1,3) B.(3,1) C.(1,-3) D.（-1,3) 5若点（一5，小.(-3，，3，的）郑在反比例函数y-去(k<0图象上，则：的的大小关系为 () A.y1>y2>3 B.y2>y1>y3 C.3>y1>y D.y1>y3>y9 6关于函数！=千3的图象有以下四个结论： ①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线y=c十3对称： ③函数图象关于直线y=一x-3对称；④函数图象关于(-3,0)成中心对称. 其中正确的个数是(） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7.方程x2-3x=0的根为 8.若一元二次方程x2-3c十2k=0有两个相等的实数根，则k的值是 9.若c1、w2是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则x1十x2-2c1c2的值为」 10.我市2015年底己有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷， 则绿化面积平均每年的增长率为 第1页共5页 11.如图，等边△ABC内接于⊙O,AD是直径，则∠CBD= 0 (第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，AB=BC,∠AOB=62°，则∠BDC= 13.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD= °。 14.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数为 °。 (第14题) (第15题) 15.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°，OC=4,CD的长为 0 16.像√2x十3=x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,x2=-1。但由 于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当c1=3时，√=3满足题意；当x2=-1时，√I =一1不符合题意：所以原方程的解是x=3。运用以上经验，则方程x+√x+5=1的解为 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(12分)解下列方程： (1)(x+1)2=9 (2)x2-2x-3=0 (3)c(x+1)=3(x+1) 18.(6分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,OE= OF。求证AC=BD。 第2页共5页 19.(7分)如图，在长40、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪。要使 草坪的面积是760m2,道路的宽应为多少？ 20.(7分)己知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0。 (1)对于任意的实数m,判断方程的根的情况，并说明理由；(3分) (2)若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根。(4分) 21.(7分)如图，一次函数y=如+2与反比例函数g=名的图象相交于点A2,),B6,-1。 m (1)求反比例函数的表达式(2分) (2》请直接写出关于m的不等式0+2>左的解集；(2分) (3)连接AO,BO,求△AOB的面积。(3分) 22.(7分)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元。为了扩大销售，增加盈利，该店采 取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每 天可多售出2件。 (1)若每件商品降价2元，则平均每天可售出件；(2分) (2)当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？(5分) 第3页共5页 23.(8分)用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”。 己知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O。 求证：∠B+∠D=180°。 0 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E,连接AE、CE。 :DE是⊙O的直径，∴.一。 图① 图② :∠DAE+∠AEC+∠DCE+∠ADC=360°， .∠AEC+∠ADC=360°-∠DAE-∠DCE=360°-90°-90°=180°。 :∠B和∠AEC所对的弧是ADC,.一。 .∠B+∠ADC=180°。 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法 证法2： 24.(7分)如图，AD、BC是⊙O的弦，且AD=BC,AC是直径，求证：四边形ABCD是矩形。 A D B C 25.(7分)已知AB是⊙O的弦。 (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦CD,使CD=AB:(3分) (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD,使CD=AB,且AB与CD的夹角为60°。（要求：保留作 图痕迹，写出必要的文字说明)(4分) 0 0 B B (1) (2) 第4页共5页 26.(10分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0满足a十b+c=0,那么称这样的方程为“美好方 程”。例如，方程x2-如+3=0,1-4+3=0，则这个方程就是“美好方程”。 (1)下列方程是“美好方程”的是 ①x2+2x-3=0②x2-3c=0③x2+1=0④x(x-1)=2(x-1) (2)求证：“美好方程”ax2+bx十c=0总有两个实数根： (3)若“美好方程”(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，求证：a+c=2b。 27.解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法。 【例题呈现】： 关于x的方程a(c十m)2+b=0的解是c1=1,x2=一2(a、m、b均为常数，a≠0)，则方程a(c十m+2) 2+b=0的解是 【解法探讨】： (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路： 第1步：把1，-2代入到第1个方程 中求出m的值； 第2步：把m的值代入到第1个方程 中求出的值： 0 第3步：解第2个方程 (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x十m+2)?+b=0中的“x+2”看作第1个方程中的 “”,则“x十2”的值为」 ，从而更简单地解决了问题。 【策略运用】： (3)小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题， 请用他们说的方法完成解答： 已知方程(2a2-4b)x2+(4b-4c)x+4c2-2a2=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的 长，判断△ABC的形状， 第5页共5页