精品解析：江苏省泰州市靖江市靖城南北联盟学校2025-2026学年上学期第3次月考九年级数学试题

靖江市靖南北学校2025－2026初三上学期第3次月考 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 3. 在中，， ，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 4. 如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵DE∥BC，BD=6，AD=2，DE=1.5， ∴AB=4 ∴，即， 解得：BC=3， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系． 5. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 6. 关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根 乙：该方程两根之和为2 丙：x＝3是该方程的根 丁：该方程两根异号 如果有一个命题是假命题，则该命题是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐—判断即可． 【详解】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题， 解得x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题， ∵．两根之和不为2，而x1＝l，x2＝3与两根异号矛盾，与题意不符； 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题， 令x1＝l，则x2＝l，与题意不符， 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题， ∵x1+x2＝4≠2，与题意不符； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题真假的判断，一元二次方程根的情况的判断，属于基础题． 二、填空题（木大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 8. 若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣3m2＋2的值是______________． 【答案】-1 【解析】 【分析】把m代入方程，整体求值即可． 【详解】解：m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解， 则m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣2m＝1， ﹣3m2+6m＝-3， 6m﹣3m2＋2=-3+2=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确一元二次方程解的意义，树立整体思想，代入求值． 9. 已知，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，通过设比例常数，将，，用表示，再根据已知条件求出的值，最后代入求即可． 【详解】解：设，则，，， 由得：，即， 所以， 因此， 故答案为：． 10. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是___________． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：∵一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆， 则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交， 故答案为：相交． 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 12. 如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____． 【答案】1:4 【解析】 【详解】分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答． 详解： ∵两个相似三角形的周长之比1：4， ∴它们的相似比是1：4， ∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4． 故答案为1：4． 点睛：考查对相似三角形性质的理解：请理解和熟记以下知识点： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 14. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 15. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 【答案】100 【解析】 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 16. 如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）先计算负整数指数幂、绝对值、三角函数值和零指数幂，再算加减，即可求解； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； 解：（2） 或 ，． 18. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】的长为米或米 【解析】 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此方程的根． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据关于x的方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围． （2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解不等式，得． （2）解：根据题意，得． 此时，原方程为． 解这个方程，得，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图是由的小正方形组成的网格，A、、都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图．（要求：每个作图辅助线不超过3条） （1）在图1中，画线段，使得，且；在上画点，使得； （2）直接写出的值：___________；在上画点，使得． 【答案】（1） 解：如图所示：线段，点E即为所求； （2）， 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是系欸解题的关键： （1）取格点D，连接；与格线交于F，连接交于E即可； （2）勾股定理求出的长，求出的值，如图，取格点，格点，连接，与的交点即为点． 【小问1详解】 由勾股定理，得， 由作图可知：， ∴， ∵，， ∴，即作图符合题意； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 由作图可知：，； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即作图符合题意． 23. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2）3， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点的横坐标为，点是轴负半轴上的一点，连接，，交轴于点，延长到点，使得，过点作平行于轴，过点作轴平行线交于点． （1）当时，求点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，相似三角形的性质与判定，掌握反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式是关键． （1）根据反比例函数解析式求出点A的坐标，再代入m的值即可得到答案； （2）先求出点A的坐标，再求出直线的解析式为，通过证明，推出点C的坐标，进而根据中点坐标公式得到点D的坐标，再求出点E的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：同（1）可得， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图所示，设直线交x轴于F， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点A为的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴． 25. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c． （1）如图1，若， ①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为．（请保留作图的相关痕迹）； ②试求证：； （2）如图2，若，试求证：． 【答案】（1） ①如图，点即为所求． ②证明：如图，延长至点，使，连接， ∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， ∴． （2） 证明：如图，在上取点，使，连接， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴，，， 在和中 ∴ ∴， ∴， ∴． ． 【解析】 【分析】（1）①作线段的垂直平分线交于点； ②如图，延长至点，使，连接，证明，再利用即可得到结论； （2）如图，在上取点，使，连接，证明，再利用即可得到结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．解题关键是通过作辅助线构建相似三角形解决问题． 26. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】（1）证明：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2） 解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3） 【解析】 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江市靖南北学校2025－2026初三上学期第3次月考 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，， ，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5 5. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 6. 关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根 乙：该方程两根之和为2 丙：x＝3是该方程的根 丁：该方程两根异号 如果有一个命题是假命题，则该命题是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（木大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 8. 若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣3m2＋2的值是______________． 9. 已知，若，则___________． 10. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是___________． 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 12. 如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 13. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____． 14. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 15. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 16. 如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此方程的根． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图是由的小正方形组成的网格，A、、都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图．（要求：每个作图辅助线不超过3条） （1）在图1中，画线段，使得，且；在上画点，使得； （2）直接写出的值：___________；在上画点，使得． 23. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点的横坐标为，点是轴负半轴上的一点，连接，，交轴于点，延长到点，使得，过点作平行于轴，过点作轴平行线交于点． （1）当时，求点的坐标； （2）求的值． 25. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c． （1）如图1，若， ①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为．（请保留作图的相关痕迹）； ②试求证：； （2）如图2，若，试求证：． 26. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $