精品解析：北京市广渠门中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题（直升班）

2026北京广渠门中学高一9月月考 数 学（直升班） 时间：100分钟 满分：120分 2026.09 本试卷共2页，共120分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 2. 若为复数， =1+i，则= （　　） A. -1-i B. 1-i C. -1+i D. 1+i 【答案】B 【解析】 【详解】两边同乘消去分母得，展开得， 移项合并得即则两边同时除以得 分母实数化分子分母同乘以得. 将代入原方程分母得分母不为零，解有效. 3. 向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长平方公式计算即可求解. 【详解】， 由，，两向量夹角为， 可得， 所以， 所以. 4. 若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则且 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，两个平面垂直于同一个平面，它们的位置关系不一定是平行，也可能是相交，A错误； 对于B，两条直线平行于同一个平面，它们的位置关系可以是平行､相交或异面，B错误； 对于C，因为，且，过直线与平面的交点， 在内作，由，得，又，根据面面垂直的判定定理，可得，C正确； 对于D，当时，即使，也不能说，同理，当时，也不能说，D错误． 5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为， 由题意可知，函数为奇函数，则， 所以，，，因此，. 故选：B. 6. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，分别求导分析各选项导数符号，根据导数大于，函数单调递增、孤立零点不影响单调性，得到只有在上为增函数． 【详解】对于A，由于正弦函数是周期函数，所以不满足在上为增函数，A错误； 对于B，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，B 错误； 对于C，，， 因为，恒成立； 仅当，也就是时，导数等于0，孤立点不影响单调性， 所以在上单调递增，C正确； 对于D，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，D错误． 7. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】D 【解析】 【详解】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足： ，即， 两边取对数得：， 则， 即． 9. 已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用正四棱锥几何对称性确定外接球球心位置，借助勾股定理建立方程求解外接球半径，再代入球的表面积公式完成计算. 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，因为，，所以， 则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，连接， 球的半径，则. 在内，由可得，解得， 故正四棱锥外接球的表面积为. 10. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③其中“势函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据势函数的定义，判断每个函数的单调性，然后求出，进而逐个判断即可. 【详解】对于①，是上单调递增函数，即对任意，都有. 对任意，等价于，结合指数函数的单调性可知 ，所以，因此对任意，. 对任意满足的，显然有，因此①是势函数； 对于②，对函数求导得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值点为，极小值点为. 选取，计算得，，满足，对应，，此时，可正确证明②不是势函数； 对于③，对任意满足的，若，则，；若，则，，不存在满足，当满足时，，所以③是势函数. 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知命题为假命题，写出的一个值___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，得到命题为真命题，转化为对恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由命题为假命题， 则命题为真命题，即对恒成立， 当时，不等式即为对于不恒成立，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，可得其中一个为. 故答案为：（答案不唯一）. 12. 已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】先由向量平行得到方程，求出，再由基本不等式“1”的代换求出最小值 【详解】，故，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 13. 已知函数，则函数的定义域为________，值域为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分段函数定义域取各段自变量范围的并集；值域需要分段单独求解，最后再取所有区间的并集 【详解】分段函数定义域是各段自变量取值范围取并集， 所以. 当时， ， 当时， ， 当时， ， 所以函数的值域为. 14. 木楔在传统木工中运用广泛. 如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形 是边长为 2的正方形，且 均为等边三角形，，则该木楔的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可. 【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 则由题意等腰梯形全等于等腰梯形， 则. 取的中点O，连接，因为，所以， 则， ∴. 因为，，所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面，所以平面， 所以平面，同理可证平面， ∴多面体的体积 ， 故答案为：. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为； 对于②，，而，所以四面体的体积为； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误； 对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可. 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形. 故答案为：①②④ 三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，，，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式求，即可得通项公式； （2）先根据题意求，即可得数列的通项公式，利用错位相减法、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项和公差分别为， 因为，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 设等比数列的首项和公比分别为， 因为，可得； 又因为，即，得，即，解得 或，即， ， （1） （2） （1）-（2）得， ， 所以， 当时，， 当时，. 17. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出角，结合正弦定理求出边； （2）依次检验三个条件，条件①内角和超过，三角形不存在；条件②、③均可确定唯一三角形，代入面积公式求得面积均为． 【小问1详解】 由和余弦定理，得， 因为，所以， 由，得， 又，所以，解得； 【小问2详解】 选择条件①：， 由，得， 因为，所以， 因为，所以不存在这样的三角形，因此不选择条件①． 选择条件②：， 由，得， 由，得， 解得或（舍去）， 所以． 选择条件③：， 由，，得， 所以， 由，得，， 所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】（1）在中，∵，P为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，原题即得证； （2）以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）证明平面，再利用向量法求平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，∵，，P为中点， ∴，且，则四边形为平行四边形， ∵，∴，             由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，，           设平面的一个法向量， 由，取，得， 所以为平面的一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则． ∴直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 ∵，，，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， ∵M为的中点， ∴点M的坐标为，而，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，， 所以为平面的一个法向量．      ∴． ∴平面与平面的夹角余弦值为． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）当时，讨论的单调性； （3）若集合有且只有一个元素，求的值． 【答案】（1）1 （2）在上单调递增 （3）（其中为方程的正实根） 【解析】 【分析】（1）先求出时函数的导数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率. （2）先求出时函数的定义域和函数的导数，然后判断导数的符号，进而确定函数的单调性. （3）分两种情况进行讨论，对函数求导，判断单调性，进而确定结果. 【小问1详解】 当时，，因为. 所以，所以曲线在点处切线的斜率为1. 【小问2详解】 当时，， 所以. 令，求导得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值为. 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即，所以在上单调递增. 【小问3详解】 令，则. 当时，由（2）可知，，所以在上单调递增. 当时，，所以， 此时，即有无数个元素，不符合题意； 当时，的定义域为，. 令，求导得，所以在上单调递增， 又，当时，，所以与轴有一个交点， 设为，是的零点，满足. 所以在上小于0，在上大于0， 即在上恒成立，在上恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增，而当时，， 所以在处取得极小值，也是最小值. 要满足集合有且只有一个元素，则，即， 化简得，解得（其中为方程的正实根）. 20. 已知数表，，，若存在，使得中至少有4个元素大于，则称A为“大表”． （1）若，判断A是否为“大表”，说明理由； （2）若当，时，A必为“大表”，求t的最大值； （3）若当时，A必为“大表”，求的最小值． 【答案】（1） 先定义“邻域”概念：以为中心，所有满足“行差”且“列差” 的元素组成的集合（可理解为以为中心的九宫格区域）； 以为例，它的邻域包含元素（行差，列差的所有元素）， 其中比2大的数有3，8，9，4，共4个，满足“至少4个比它大”， 所以是“大表”. （2）5 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据“大表”的含义和集合与元素的关系进行判断即可. （2）根据“大表”的含义和集合与元素的关系，分别讨论和时的情形，即可得的最大值. （3）当时，可以构造一个数表，让每个元素的邻域里比它大的数都少于4个，比如：.利用反证法，假设存在一个的数表不是“大表”，进行推理，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，数表是 ，共9个元素（1到9）， 是中心元素，它的邻域是整个数表的九宫格， 所以需要让这个邻域里至少有4个数比大，同时找的最大值. 当时，邻域里的数是1，2，3，4，6，7，8，9，其中比5大的有6，7，8，9共4个，满足条件. 当时，比如，邻域里比6大的数是7，8，9，只有3个，不满足“至少4个”， 所以的最大值是5. 【小问3详解】 当时，我们可以构造一个数表，让每个元素的邻域里比它大的数都少于4个， 比如：. 假设存在一个的数表不是“大表”，即对于每一个元素， 它的邻域中比它大的数都少于4个（最多3个），对1，2，3，4这类小数： 若1不在角落（如在边缘/中心），其邻域规模，邻域中比1大的元素（远超3个），与假设矛盾； 因此1必须在角落（邻域规模=4），此时邻域中比1大的元素=3个（恰好满足）. 同理，2，3，4也必须在另外三个角落，各自邻域中比自身大的元素均为3个. 元素5：因为时，以5为中心的邻域（行差、列差）是一个的区域（共9个元素）. 在中，现在假设5的邻域里比它大的数“最多3个”， 那意味着它的邻域里至少有9-1-3=5个数比它小，但比5小的数只有1，2，3，4这4个，矛盾！ 因此，“存在的非大表”这个假设不成立，即时所有数表都是“大表”， 故n的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京广渠门中学高一9月月考 数 学（直升班） 时间：100分钟 满分：120分 2026.09 本试卷共2页，共120分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为复数， =1+i，则= （　　） A. -1-i B. 1-i C. -1+i D. 1+i 3. 向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 4. 若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则且 5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 9. 已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③其中“势函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知命题为假命题，写出的一个值___________． 12. 已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 13. 已知函数，则函数的定义域为________，值域为________． 14. 木楔在传统木工中运用广泛. 如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形 是边长为 2的正方形，且 均为等边三角形，，则该木楔的体积为_____. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，，，设，求数列的前项和． 17. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）当时，讨论的单调性； （3）若集合有且只有一个元素，求的值． 20. 已知数表，，，若存在，使得中至少有4个元素大于，则称A为“大表”． （1）若，判断A是否为“大表”，说明理由； （2）若当，时，A必为“大表”，求t的最大值； （3）若当时，A必为“大表”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $