江苏省南京市联合体2026-2027学年九年级上学期数学期中模拟测试（1）

九年级上学期期中模拟测试（1） 数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．下列一元二次方程中，两根之和为的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 （第3题） （第5题） （第6题） 4．第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分） 7．将一元二次方程化成一般形式，可得______． 8．若的半径为6，圆心到一条直线的距离为3，则这条直线与圆的位置关系是______________． 9．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 10．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 11．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． （第10题） （第11题） （第13题） （第15题） （第16题） 12．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 13．如图，是的内切圆，，则________． 14．已知方程的两根为、，则代数式的值为________． 15．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 16．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 九年级上学期期中模拟测试（1） 答题纸 姓名 班级 得分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 选项 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分） 7． 12． 8． 13. 9． 14． 10． 15． 11． 16． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（8分）解方程：(1)． (2)． 18．（8分）已知关于的方程． (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)设方程两根为x1和x2，当x12+x22=13时，求a的值． 19．（7分）如图,某农户准备用40m长的篱笆靠墙(墙长20m)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为xm．当菜地的面积为时，求x的值． 20．（7分）如图，在中，，是直径，，求证：． 21．（8分）在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 22．（8分）某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． (1)若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； (2)设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 23．（8分）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为60m，求水面上涨了多少米． 24．（8分）如图，一次函数与反比例函数图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围为 ； (3)分别连接和，求的面积． 25．（8分）如图，已知P是⊙O外一点．用直尺和圆规作图． (1)过点P作一条直线l，使l与⊙O相切； (2)在⊙O上作一点Q，使∠OQP＝60°．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 26．（9分）如图，，是的两条直径，过点作交于点，交于点，在的延长线上取一点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 27．（9分）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______________________（用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D A D A D 1．D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 2．D 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，计算即可． 【详解】解：、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， ∴无实数根，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，符合题意． 3．A 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 4．D 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 5．A 【分析】根据切线的性质可得，从而求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．D 【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【详解】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 7． 【分析】先展开原方程的乘积项，再移项合并同类项，即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：∵原方程为 展开左侧乘积项，得 将右侧常数项移到左侧，得 合并同类项，得 8．相交 【分析】已知圆的半径和圆心到直线的距离，通过比较两者大小即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】解：∵的半径为6，圆心到一条直线的距离为3，， ∴这条直线与圆的位置关系是相交. 9． 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 10．/ 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 11．9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 12． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出和，再计算二者的差，结合判断差与的大小关系． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 13． 【分析】根据内切圆结合角平分线的判定得到平分，平分，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：设内切圆的切点分别为、、，连接、、， ∵是的内切圆， ∴，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再结合根与系数的关系得到，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∵方程 的两根为、， ∴， ∴． 15．54 【分析】本题主要考查切线的性质、三角形的内切圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由，，可得，如图：连接，根据切线的性质易证可得：，同理可得：，设，则，再根据勾股定理列方程求得的值，进而确定，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图：连接， ∵是的内切圆，三个切点分别为D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得：或负值舍去， ∴． ∴． 故答案为：54． 16．1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 18．(1) 证明：且无论取任何实数，完全平方式， ，即， 方程都有两个不相等的实数根． (2)1或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合完全平方公式的变形解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程两根为和， ∴， 即或， 的值为1或． 19．(1) (2) 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据矩形面积公式列出解析式即可； （2）根据菜地的面积为，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 又∵平行于墙的一边不能超过墙长，即，解得， ∴． （2）解：根据题意得，即， 解得：或． ∴不符合实际，应取． 20． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，先结合，得，又因为，则，得出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】略 21．(1) (2)完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： (3)不低于 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 22．(1) 450 (2) (3) 每件T恤应降价6元 【分析】（1）利用总利润与单件利润、销售量的数量关系计算； （2）根据降价幅度与销售量的增长关系列代数式； （3）根据总利润的等量关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取合适的解. 【详解】（1） 解： 单件利润为（元）， 销售量为（件）， 总利润为（元）； （2）解：降价元时，每天多销售件. 故每天的销售量为件.； （3）解：根据题意，得 ， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴需选择更大的降价幅度以提高销售量， ∴， 答：每件T恤应降价6元. 23．(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 24．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 25．(1) 即为所求； (2)点即为所求． 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，的长为半径作弧，交于点，过点作直线，则即为所求； （2）构造四点共圆，作，步骤如下，连接,作垂直平分线与交于点，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点,连接，交于点，则,连接，则,作的外心，即作的垂直平分线与交于点,以为半径作，交于点，连接,则，点即为所求． 【详解】（1）理由：三点共圆，是直径，则是直角，即，则为所求作的切线 （2）理由是：是的内接四边形，，则 【点睛】本题考查了尺规作图，作圆的切线，作圆周角，四点共圆，作特殊角，掌握基本作图是解题的关键． 26．(1)证明：如答图，连接． 是的直径， ， ． ， ． ， ， 即， ． 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，通过角的数量关系证明即可； （2）阴影面积可看作的面积与扇形的面积的差，利用圆周角定理和垂径定理等得到，利用勾股定理列方程求出半径，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ，是的半径， ， ． 设，则． 在中，， ， 解得（负值已舍去）， 即， ． 27．（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图所示： ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴； （2）或或或； （3）或或 【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，由题意易得，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可； （3）由题意可分①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，然后分类求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， 当为等腰三角形时，则可分：①当时，则， ∴由三角形内角和得：； ②当时，则； ③当时，则， ∴； ④当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： ∴， 由弦切角定理可知：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，或或或； （3）由题意可分： ①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 由弦切角的性质可知：， 由题可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作于点E，连接， ∴， ∴过圆心O， ∴， ∴， ∴； ②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作于点G，连接，如图所示， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的， ∴圆心O在上，， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的，， ∴圆心O在上，， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴， 分别过点A、O作，垂足分别为点K，R，如图所示， ∴，，即过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 学科网（北京）股份有限公司 $