2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中阶段性综合测评卷

2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中阶段性综合测评卷 第一章 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若是一元二次方程的根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得出，再将其代入即可解答； 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入方程可得：，整理得：， ∴． 2．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 3．如图，的对角线、交于点，已知，，，则四边形的周长为（     ） A．11 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形对角线互相平分求出，，由已知得，从而说明是菱形，即可解答． 【详解】解：中，，， ，， ， ， 是直角三角形，， ， 是菱形， ， 四边形的周长为． 4．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（     ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：在菱形中， ∴,,, ∵, ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 5．在年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，则每个球队参加的场数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确单循环赛制总场数与球队数量的关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设每个球队参加场比赛，则参赛球队共有支， ∵ 单循环赛制总场数为场， ∴ ，整理得， 因式分解得，解得（负根舍去）． ∴每个球队参加的比赛场数为． 6．如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．若直线l经过点E，将该矩形的面积平分，并与矩形的另一边交于点F，则线段的长为（     ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】连接，设交于点O，过点E作于点G，证明四边形为矩形以及，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点O，过点E作于点G， ∵直线l经过点E，将该矩形的面积平分，并与矩形的另一边交于点F， ∴直线l一定过点O， 在矩形中，，，， ∴四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，． 8．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作于点H，根据勾股定理求出，再由的面积求出．连接，证明四边形是矩形，得到，因此当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点C作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，或， ∴，即， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时点D与点H重合，， ∴的最小值为． 9．北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．图中给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：（1）；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】C 【分析】设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得． 又， 则． 故①对，②错． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 12．如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，按此规律继续摆放，则________； 【答案】16 【分析】如详解图，先利用一线三等角模型得到，得到，再由勾股定理得到，同理得到的值，，的值，然后都加起来即可得到答案． 【详解】解：如图， 图中的四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 同理可得：，，， ． 14．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 【答案】 【分析】设交于点． 根据作图痕迹可知，， 结合平行四边形性质证明四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 由作图可知：，平分， ∴． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ∵在中，，， ， ． 15．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，结合勾股定理计算得出，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的坐标为． 16．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．按要求解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 19．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 20．如图，在矩形中，点，分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， 又， 在和中 ； (2)矩形的周长为 【分析】（1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到； （2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)知， ∴， 四边形是矩形 四边形是正方形 ∴矩形的周长． 21．如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)，， (2)如图所示： (3) 【分析】（1）利用点和的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标，连接，，其交点即为位似中心，由计算位似比； （2）分别取中点为，中点为，连接即可； （3）求出直线，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为， ，交于原点，则与的位似中心的坐标为， 已知，， 故与的位似比为． （2）略 （3）解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为． 22．在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)如图1，若点是边的中点，线段与之间的数量关系为__________． (2)如图2，若“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于点，（1）中结论是否仍然成立？请直接回答图2和图3的结论是否成立，并选择其中一种情况说明理由． 【答案】(1) (2)图2和图3的结论均成立． 情况1：当点为上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 情况2：当点为射线上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）①利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可；②利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）略 23．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当点P是的中点时，连接，判断线段，和之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ， ． 由折叠可知， ， ． 又， ． (2)解：，证明如下： 延长，，相交于点K，如图． ∵四边形是矩形， ，， ，． ∵点P为的中点， ， ， ，． 由折叠可知， ， ∴直线是的垂直平分线． ． 又， ． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合直角三角形的性质和折叠的性质可得，即可得出结论； （2）延长，，相交于点K，判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 24．已知中，，的平分线交于点（如图）；点在边的延长线上，过点作，交边于点，连接． (1)如果，求证：； (2)如果，求证：； (3)如果四边形是菱形，求证：． 【答案】(1)证明：， 四边形是平行四边形， ， ，平分， 是中点， 又，即， 由平行线分线段成比例定理，，， 是中点，，， ，即为中点 是的中位线 ， ， ． (2)证明：取中点，连接． 是中点，是中点， 是的中位线， ， ，为中点， ， 已知，所以， ， ， 平分， ， ， ， ， （等角对等边）， ， ，即是中点． 是中点，是中点， 是的中位线， ，即． (3)证明： 四边形是菱形，， 由第 (1) 问结论：， ， ，平分， ，即，是直角三角形． 取斜边的中点，连接． 中，是斜边中点， ． 又， ． 是等边三角形． ． 在中，， ． 【分析】（1）由两组对边平行证四边形 是平行四边形得到，利用等腰三角形三线合一得到 是 中点，结合得到 是中位线，，等量代换证得． （2）取 中点，构造中位线，结合、平行线与角平分线推出，得到 是 中点， 为中位线，得到，即． （3）由菱形性质得，结合 (1) 结论，得；利用等腰三角形三线合一证，得到是直角三角形。取中点，连接，由直角三角形斜边中线定理得，推出，为等边三角形，，再由直角三角形两锐角互余算出． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中阶段性综合测评卷 第一章~第三章 一、单选题（每题3分，共30分) 1.若是一元二次方程+x+c=0的根，则-4ac=（)） A.2a。-b B.2axo+b c.(2am。-b)2 D.(2a+b)2 2.在直角坐标平面上有 A(6,2）B(2,6) 两点，以原点为位似中心把线段AB缩小到原来的一半，得到线 段48，那么的坐标是(） A.3) B.（1-3) c.31)或1，-3) D.3,1或-3，- 3.如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点O,己知AC=8,BD=6,BC=5,则四边形ABCD的周长 为() D A.11 B.14 C.20 D.24 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6, 菱形ABCD的面积为54，则OE的长为() D E A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 5.在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的排球比赛，赛制为单循环形式 (每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则每个球队参加的场数为(). 试卷第1页（共3页） A.6 B.7 C.8 D.9 6如图，已知4P=2,BP=l,4C=6.A=70,∠APC=65°，则∠BCP 的度数为() A.10° B.20° C.45° D.55° 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E在边CD上，且CE=2.5.若直线I经过点E,将该 矩形的面积平分，并与矩形的另一边交于点F,则线段EF的长为() C A.5 B.5 C,35 D.10 &.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点D是AB边上的一个动点（不与点A,B重合）， 过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,则EF的最小值是() A.2.6 B.2.4 C.3 D.3.2 9.北宋的《燕几图》是七巧板的前身.一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌 面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形.图中给出了《燕几图》中“屏山”的桌 面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是4：5.设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为4，b,c.嘉嘉经过 4 研究，得出结论：(1)a=2c:②b=3C.下列判断正确的是(） 试卷第2页（共3页） 屏山 A.①②都对 B.①②都错 C.①对，②错 D.①错，②对 10.已知关于x的一元二次方程axr2+bx+1=0的两根之差为2，则代数式12a-b的最大值为() A.-8 B.-2 C.4 D.10 二、填空题（每题3分，共18分) 11.近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长.某 新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为 12.如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC=2BE,∠ACB=75°，则∠E= B D 13.在直线1上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3，正放 置的四个正方形的面积依次是， 8,8,,8,按此提律继续摆放，则+8++5++ 2 S3 14.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F,再分别以点B,F 为圆心，大于2BF为半径作弧，两弧交于点G,射线4G交BC于点E:若BF=10,AB=6:则AE的长 为 试卷第3页（共3页） G 15.如图，将矩形纸片ABCD放入直角坐标系中，边BC在x轴上且过原点，连接OD.将纸片沿OD折 叠，使点C恰好落在边AB上点C'处，若AB=5,BC=3,则C的坐标为 BO 16.如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧.已知 A(0,5),D(0,3),E(0,1),H(0,4) ,则位似中心的坐标是 B H 4 G E -4-3-2-10 2 三、解答题（每题9分，共72分) 17.按要求解方程： 02r-4x-1=0 (配方法) 3x2-5x-2=0 (2 (公式法) 18.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,且AB=5, AC=6,BD=8. 试卷第4页（共3页） (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)求线段AE的长. 19.某商店销售A、B两种款式的水杯.已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年九月份A款水 杯的销售额为4800元，B款水杯的销售额为3600元，且B款水杯的销量是A款水杯的1.2倍 (1)求A、B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对A款水杯进行降价促销：已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价比 A款水杯低50%.若A款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；B款水杯售价和销量都和 九月份相同.此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求A款水杯降低了多少元？ 20.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是AD,CD边上的点，AE=DF,AF⊥BE, (1I)求证：AF=BE; (2若B-V5 求矩 ABCD的周长， 21.如图，在8×1的正方形网格中，△ABC与△4BC是位似图形. ()在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标 为4，-2)，点G的坐标为 （-1,1 ，则点B的坐标为 试卷第5页（共3页） △ABC与△ABC的位似中心的坐标为， △ABC与△4BC的位似比为 (2)以点A为位似中心，在网格图中作△MBC2,使△MB,C2和△ABC位似，且相似比为l:2: (3)在图上标出△ABC与△4BC的位似中心P,写出点P的坐标为 22.在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAg=∠B,AP、A0分别交边BC、CD于点P、Q, B 图1 图2 图3 (I)如图1，若点P是边BC的中点，线段AP与AQ之间的数量关系为 (2)如图2，若“点P为BC上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立”？如图3，若点P为射线BC上 任意一点时，作∠PAQ=∠B,A犯交边CD所在射线于点卫，(1)中结论是否仍然成立？请直接回答图 2和图3的结论是否成立，并选择其中一种情况说明理由. 23.在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在 边CD上，点B的对应点为点GPG交BC于点H. G G 图① 图② (I)如图O,当EP=PH时，求证：△DEP≌△CPH; (2)如图②，当点P是CD的中点时，连接EH,判断线段EH,DE和CH之间的数量关系，并加以证明」 24.已知△ABC中，CA=CB,∠ACB的平分线交AB于点E(如图)；点D在边BC的延长线上，过点 D DFCE 作 C,交边4C于点F,达接EF. 试卷第6页（共3页） F aD如果EFCD:求证：CD -2BC. (@如果DBC,求证：FCD: (3)如果四边形CDFE是菱形，求证：∠B=30°， 试卷第7页（共3页）