2026-2027学年人教版九年级数学上册期中综合测试卷

新人教版九上数学期中试卷 一．选择题（共10小题） 1．对于任意实数m，下列函数：①y＝（m﹣1）2x2；②y＝（m+1）2x2；③y＝（m2+1）x2；④y＝（m2﹣1）x2．其中，一定为二次函数的有（　　） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．若k＞2，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象过点（2，3） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6 4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　） A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t）2 D．3y2﹣4y﹣2＝0化为（y）2 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是﹣1，函数y＝ax2+bx+1的图象顶点在第二象限，设t＝5a﹣4b，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4 B．t＜﹣5 C．t＞﹣4 D．t＞﹣5 7．反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 8．今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为x，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（　　） A．22.6（1+x）2＝165 B．22.6（1+2x）＝165 C．22.6（1+2x）2＝165 D．22.6（1+x）（1+2x）＝165 9．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．将△ABC沿着直线l向右移动，至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 11．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 _______ ． 12．已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 _____ ． 13．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，当﹣2≤x≤5时，y的最大值为_____ ． 14．如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为_______ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E．若PE＝2DE，则点P的坐标为__________ ． 三．解答题（共9小题） 16．解方程： （1）2（x﹣3）＝x2﹣9； （2）16（x﹣2）2＝9（x+3）2． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 19．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 20．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口MN，计划砌墙60m长． （1）当矩形花园的一边BC为多少米时，矩形花园的面积为440m2？ （2）能否围成面积为600m2的矩形花园？ 21．某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售．已知每个A型水杯的进价比B型水杯贵4元，且用800元购进A型水杯的数量与用600元购进B型水杯的数量相等． （1）求A型、B型水杯每个的进价； （2）该店计划购进A型水杯200个．已知A型水杯每个售价25元时可全部售出；市场调查发现，A型水杯每涨价1元，销量就减少4个．设A型水杯涨价a元，销售完这批水杯的总利润为w元．求w与a之间的函数关系式，并求出最大总利润． 22．掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目，一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处． （1）求y关于x的函数解析式； （2）根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m，则此项考试得分为满分．按此评分标准，该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由． 23．同学们学习了物理知识后，知道在力F（单位：N）的作用下，如果物体在力F的方向上发生位移s（单位：m），那么力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．请根据以上信息解决以下问题： （1）写出s关于F的函数解析式； （2）当物体受到的力F为10N时，求物体在该力方向上的位移s； （3）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于20m，求力的范围． 24．如图，已知二次函数图象的顶点为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求m的值及这个二次函数的解析式． （2）连接BM，AM，求△MAB的面积． （3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别与直线AB、二次函数的图象交于D，E两点．当0＜a＜3时，求线段DE长度的最大值． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．对于任意实数m，下列函数：①y＝（m﹣1）2x2；②y＝（m+1）2x2；③y＝（m2+1）x2；④y＝（m2﹣1）x2．其中，一定为二次函数的有（　　） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【分析】对于①、②、④项，考虑x2项的系数是否可以取0，若可以，则不是二次函数，若不可以，则是二次函数；对于③，对任意实数m，m2+1≥1，由此即可解答． 【解答】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下： ①当（m﹣1）2＝0，即m＝1时，y＝0，不是二次函数，不符合题意； ②当（m+1）2＝0，即m＝﹣1时，y＝0，它不是二次函数，不符合题意； ③任意实数m，m2+1≥1，故它是二次函数，符合题意； ④当m2﹣1＝0，即m＝±1时，y＝0，它不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的判断，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 2．若k＞2，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【分析】先计算根的判别式，再结合k的取值范围判断判别式的符号，即可得解． 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝k， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝4（1﹣k）， ∵k＞2， ∴1﹣k＜0， ∴Δ＝4（1﹣k）＜0， ∴该一元二次方程没有实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 3．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象过点（2，3） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6 【分析】根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可． 【解答】解：A、因为点（2，3）的坐标不满足y，所以函数图象不经过点（2，3），该选项不符合题意； B、因为k＝﹣6＜0，所以函数图象位于第二、四象限，该选项不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，该选项不符合题意； D、当﹣6＜x＜﹣1时，y随x的增大而增大，且点（﹣6，1）和点（﹣1，6）在函数图象上，所以，当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6，该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　） A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t）2 D．3y2﹣4y﹣2＝0化为（y）2 【分析】依据题意，将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：A．由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x＝99，则x2﹣2x+1＝99+1，即（x﹣1）2＝100，此选项正确，不符合题意； B．由x2+8x+9＝0得x2+8x＝﹣9，则x2+8x+16＝﹣9+16，即（x+4）2＝7，此选项错误，符合题意； C．由2t2﹣7t﹣4＝0得2t2﹣7t＝4，则t2t＝2， ∴t2t2，即（t）2，此选项正确，不符合题意； D．由3y2﹣4y﹣2＝0得3y2﹣4y＝2，则y2y， ∴y2y，即（y）2，此选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题时熟练掌握并能灵活运用配方法解一元二次方程是关键． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可． 【解答】解：A项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误； B项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，故选项B错误； C项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项C正确； D项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是﹣1，函数y＝ax2+bx+1的图象顶点在第二象限，设t＝5a﹣4b，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4 B．t＜﹣5 C．t＞﹣4 D．t＞﹣5 【分析】由已知条件可得，二次函数y＝ax2+bx+1的图象过点（﹣1，0），即a﹣b+1＝0，又t＝5a﹣4b，可得a＝t+4，b＝t+5，结合图象可求得a＜0，b＜0，进而可求出t的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+1的图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+1＝0， 又∵t＝5a﹣4b， ∴a＝t+4，b＝t+5． ∵函数y＝ax2+bx+1的图象顶点在第二象限，且过点（﹣1，0）， ∴0，图象开口向下，即a＜0， ∴b＜0， ∴， 解得t＜﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝4＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， A、当t＜﹣4时，t+4＜0， ∵t＜t+4， ∴y2＜y1＜0，正确，符合题意； B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞0， ∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； D、当t＞0时，t+4＞0， ∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限， ∵t＜t+4， ∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为x，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（　　） A．22.6（1+x）2＝165 B．22.6（1+2x）＝165 C．22.6（1+2x）2＝165 D．22.6（1+x）（1+2x）＝165 【分析】根据题意，可逐步求出2024年大陆赴台游客为22.6（1+x）万人次，2025年大陆赴台游客为22.6（1+x）（1+x）＝22.6（1+x）2万人次，然后列出方程即可． 【解答】解：由题意可得， 22.6（1+x）2＝165， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意并列方程是解题的关键． 9．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 【分析】先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A（﹣40，0）在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y＝150代入求出x的值，即可得CD的长． 【解答】解：已知其底部宽度AB为80m，高度为200m， 以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣40，0），E（0，200）， 设y＝ax2+200， 将A（﹣40，0）代入y＝ax2+200， 得0＝a×（﹣40）2+200， ∴， ∴， 将y＝150代入， 得：， ∴x＝±20， ∴C（﹣20，150），D（20，150）， ∴离地面150m处的水平宽度（即CD的长）： CD＝20﹣（﹣20）＝40（m）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． 10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案． 【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H． ∵△ABC和△DEF均为等边三角形， ∴△GEJ为等边三角形． ∴GHEJx， ∴yEJ•GHx2． 当x＝2时，y，且抛物线的开口向上． 如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H． yFJ•GH（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　11　 ． 【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．由题意得n2﹣n﹣3＝0，m+n＝1，mn＝﹣3，再代入计算即可求解． 【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0， ∵m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴n2＝n+3， ∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　2　 ． 【分析】根据反比例函数的定义：形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值． 【解答】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴m+2≠0，m2﹣5＝﹣1， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，注意k≠0，x的次数为﹣1． 13．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，当﹣2≤x≤5时，y的最大值为　9　 ． 【分析】根据所给二次函数的解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，据此即可解决问题． 【解答】解：因为二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， 所以抛物线的对称轴为直线x＝2且开口向上． 因为﹣2≤x≤5， 则2﹣（﹣2）＝4，5﹣2＝3且4＞3， 所以当x＝﹣2时，y的值最大为：（﹣2﹣2）2﹣7＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 14．如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为　﹣8　 ． 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 又∵S△AOB＝5， ∴S△BOC＝5﹣1＝4， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴，而k＜0， ∴k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E．若PE＝2DE，则点P的坐标为　（2，3）　 ． 【分析】先由待定系数法求出函数的解析式，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3），D（t，0），再由PE＝2ED建立方程求出t的值即可求P点坐标． 【解答】解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3），D（t，0）， ∴PE＝﹣t2+3t，ED＝﹣t+3， ∵PE＝2ED， ∴﹣t2+3t＝﹣2t+6， 解得t＝2或t＝3（舍）， ∴P（2，3）， 故答案为：（2，3）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 16．解方程： （1）2（x﹣3）＝x2﹣9； （2）16（x﹣2）2＝9（x+3）2． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）2（x﹣3）＝x2﹣9， 2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）（2﹣x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或﹣x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． （2）16（x﹣2）2＝9（x+3）2， 16（x﹣2）2﹣9（x+3）2＝0， [4（x﹣2）+3（x+3）][（4（x﹣2）﹣3（x+3）]＝0， （7x+1）（x﹣17）＝0， ∴7x+1＝0或x﹣17＝0， ∴x1，x2＝17． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到x＝2是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定△ABC的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【解答】（1）证明：对于方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0，a＝1，b＝﹣2m，c＝m2﹣1， Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4， ∵Δ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：不存在这样的等腰△ABC，理由如下： 解方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0， 配方得（x﹣m）2＝1， 开方得x﹣m＝±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△ABC另外两条边的长度不相等，即等腰三角形的相等边为其中一条边与AB＝2cm相等， 分两种情况： ①若x1＝2，则m+1＝2， 解得m＝1， 此时x2＝m﹣1＝0， 边长不能为0，不符合题意，舍去； ②若x2＝2，则m﹣1＝2， 解得m＝3， 此时x1＝m+1＝4， 三角形三边长为2cm、2cm、4cm， ∵2+2＝4，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． 综上所述，不存在这样的等腰△ABC． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论； （3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． （3）∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB＝4． 设P（x，y），则S△PABAB•|y|＝2|y|＝10， ∴|y|＝5， ∴y＝±5． ①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4， 此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 19．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y，得m＝2×（﹣4）＝﹣8， 所以反比例函数解析式为y， 把B（n，﹣4）代入y，得﹣4n＝﹣8， 解得n＝2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得 ， 解得， 所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2； （2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2， 即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×22×4＝6； （3）由图可得，不等式kx+b0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 20．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口MN，计划砌墙60m长． （1）当矩形花园的一边BC为多少米时，矩形花园的面积为440m2？ （2）能否围成面积为600m2的矩形花园？ 【分析】（1）设BC＝xm，则AB m，根据矩形花园的面积为440m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可确定结论； （2）假设能围成面积为600m2的矩形花园，设BC＝ym，则AB m，根据矩形花园的面积为600m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣956＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为600m2的矩形花园． 【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB m， 根据题意得：x•440， 整理得：x2﹣62x+880＝0， 解得：x1＝22，x2＝40， ∵墙EF最长可利用28m， ∴x＝22． 答：当矩形花园的一边BC为22米时，矩形花园的面积为440m2； （2）不能围成面积为600m2的矩形花园，理由如下： 假设能围成面积为600m2的矩形花园，设BC＝ym，则AB m， 根据题意得：y•600， 整理得：y2﹣62y+1200＝0， ∵Δ＝（﹣62）2﹣4×1×1200＝﹣956＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立，即不能围成面积为600m2的矩形花园． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售．已知每个A型水杯的进价比B型水杯贵4元，且用800元购进A型水杯的数量与用600元购进B型水杯的数量相等． （1）求A型、B型水杯每个的进价； （2）该店计划购进A型水杯200个．已知A型水杯每个售价25元时可全部售出；市场调查发现，A型水杯每涨价1元，销量就减少4个．设A型水杯涨价a元，销售完这批水杯的总利润为w元．求w与a之间的函数关系式，并求出最大总利润． 【分析】（1）设B型水杯每个进价为x元，则A型水杯每个进价为（x+4）元，根据题意，列出分式方程求解即可； （2）涨价a元时，每个水杯利润为9+a元，销量为200﹣4a个，据此得出w与a的函数关系式，结合抛物线的性质即可求解． 【解答】解：（1）设B型水杯每个进价为x元， 根据题意，可得：， 解得：x＝12， 检验：当x＝12时，x+4≠0、x≠0， 故x＝12是原分式方程的解，且x＝12符合实际意义． 则A型水杯进价：12+4＝16（元） 故A型水杯每个进价16元，B型水杯每个进价12元． （2），A型水杯每涨价1元，销量就减少4个． 涨价a元时，每个水杯利润为（25+a）﹣16＝9+a（元），销量为200﹣4a（个）． 则W＝（9+a）（200﹣4a）， 整理，得W＝﹣4a2+164a+1800， ∵﹣4＜0， 故抛物线的开口向下， 当时，w的值最大， 因为a为整数，所以a可以取20或21， 结合抛物线的对称性可得a取20或21，利润相同， a＝20时，W＝﹣4×202+164×20+1800＝3480， 故当涨价20或21元时，总利润最大，最大为3480元． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 22．掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目，一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处． （1）求y关于x的函数解析式； （2）根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m，则此项考试得分为满分．按此评分标准，该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由． 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处， ∴设y＝a（x﹣5）2+4， ∵y＝a（x﹣5）2+4经过（0，2）， ∴a×（0﹣5）2+4＝2，解得， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）该男生在此项考试中不是满分， 理由如下： 当 y＝0时，，即x2﹣10x﹣25＝0， ∴，x2＝5﹣50（不合题意，舍去）， ∵5+512.07＜12.4， ∴该男生在此项考试中不是满分． 【点评】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 23．同学们学习了物理知识后，知道在力F（单位：N）的作用下，如果物体在力F的方向上发生位移s（单位：m），那么力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．请根据以上信息解决以下问题： （1）写出s关于F的函数解析式； （2）当物体受到的力F为10N时，求物体在该力方向上的位移s； （3）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于20m，求力的范围． 【分析】（1）根据W不变及图中给出的信息，可得出Fs＝20×25，整理后，即可得出s关于F的函数解析式； （2）代入F＝10，求出s值即可； （3）代入s＝20，可求出F值，再结合反比例函数的性质，即可找出力的范围． 【解答】解：（1）由W＝Fs，且W为定值，说明s与F成反比例关系． 从图象可知， 当F＝20N时，s＝25m， 所以W＝20×25＝500J， 因此（F＞0）， 答：s关于F的函数解析式为（F＞0）； （2）当F＝10N时， m， 答：物体在该力方向上的位移为50m． （3）要使位移s＜20，即， 因为F＞0，两边同乘F，不等号方向不变：500＜20F， 所以力的范围为F＞25， 答：力的范围为F＞25N． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用（当积为定值时两量成反比例）、反比例函数图象的读图以及用不等式求范围，由W＝Fs为定值得s与F成反比例、并用图象上一点求定值是解题的关键． 24．如图，已知二次函数图象的顶点为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求m的值及这个二次函数的解析式． （2）连接BM，AM，求△MAB的面积． （3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别与直线AB、二次函数的图象交于D，E两点．当0＜a＜3时，求线段DE长度的最大值． 【分析】（1）根据直线y＝x+m经过点A（3，4）求出m＝1，设y＝a（x﹣1）2，将A（3，4）代入计算即可； （2）求出B（2，1），根据梯形和三角形面积公式计算即可； （3）由题意可知D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），即DE＝﹣（a）2，根据二次函数的性质作答即可； 【解答】解：（1）∵直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上，将点B的坐标代入得： 4＝3+m， 解得：m＝1； ∵二次函数图象的顶点坐标为M（1，0）， ∴设y＝a（x﹣1）2，将点A的坐标代入得： 4＝a（3﹣1）2， 解得：a＝1， ∴y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1； （2）由（1）知直线y＝x+1， 当x＝0时，y＝1， ∴B（0，1）， ∵A点的坐标为（3，4），M（1，0）， ∴S△MAB（1+4）×31×12×4＝3； （3）∵P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点， ∴D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1）， ∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a）2， ∴由二次函数的性质可知当a（属于0＜a＜3范围）时，DE的最大值为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/13 17:37:35；用户：黄知柏；邮箱：19971658052；学号：51249136 学科网（北京）股份有限公司 $