精品解析：黑龙江哈尔滨市实验学校2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测

2026—2027学年度（上）九年级数学学科冰花妍项目验收活动（10月份） 考试时间：120分钟 考试满分：120分 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前考生先将自己的姓名、考号、考场座位号在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效， 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚， 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第I卷选择题（共30分）涂卡 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，余弦的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 故选：B ． 3. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，且，故得． 【详解】 解：， ， ∵， ∴， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 4. 如图，，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，利用平行线分线段成比例定理得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如下图所示，是圆O的半径，弦于点P，已知，，则弦（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理可得，，再根据勾股定理求出即可解答． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0或1个 D. 1或2个 【答案】B 【解析】 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 7. 如图，在中，，是的中线，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，先根据斜边上中线性质得到，然后利用余弦的定义解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 8. 已知方程的两根是，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解： 由题意得，， ． 故选：C． 9. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（ ）支小分支． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出7支小分支， 故选：B． 10. 如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ） A. B. 12 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、菱形的选择等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 时，时，，则时，，则，进而求解． 【详解】时，， 时，，则， 时，，则， 如图，过点作交于， 在中， ， ∴，而，故， 当时，点与点重合，即， ， 故选：B． 第Ⅱ卷选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若为方程的一个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程，得， 解得． 12. 如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 13. 如图，是的直径，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 14. 扇形的圆心角度数，面积，则扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式和弧长公式的应用，先用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：设扇形的半径为r， 依题意得：， 解得：， ∴弧长为， 故答案为：． 15. 在中，，，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；如图，由题意易得，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，根据图形找到规律即可求得结果． 【详解】解：每个图形是“十字形”结构，包含部分：上方固定个○；左右两边：第个图中，每边有个○，两边共个；下方：第个图中有个○， 因此，第个图形的○总数为：， 当时，总数为： ． 故答案为：． 17. 如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为____米. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得EC2=ED•FE，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作DFC，则树高为CE，，∠DCF=90°，ED=3米，FE=12米， ∵∠DCF=90°，∠DEC=∠FEC=90°， ∴∠D+∠F=∠D+∠DCE， ∴∠DCE=∠F， ∴， ∴，即EC2=ED•EF， ∴EC2=3×12=36米2， ∴EC=6米， 即：树的高度为6米． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18. 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 19. 已知的半径为，弦，弦，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理逆定理，解直角三角形，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 过点作，垂足为，根据垂径定理可得，然后在中， 利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得 ，最后分两种情况：当点不在上时；当点在上时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： 当点不在上时，如图： ∴， 当点在上时，如图： ∴， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 20. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， ， ，即，结论①正确； 平分，， ， ， ， ， ， ， ，结论②正确； ， ， ， ， 即，结论③错误； 如图，过点作于点，连接， 平分，，， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值， 由垂线段最短得：当时，取得最小值， 此时在中，， 即的最小值是，结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 三、解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先通分化简原式，再计算a的值，代入化简结果得到最终结果． 【详解】解： ， ， 原式． 23. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点均在小正方形的顶点上（仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形）： （1）在图中画出，其面积为3，且； （2）在线段上取一点，连接，使点满足，并直接写出线段的长． 【答案】（1）如图所示： （2）点如图所示： 的长为． 【解析】 【分析】（1）根据面积公式算出点竖直高度，结合确定格点的位置，连接，画出满足条件的． （2）构造平行线得到相似三角形，在上确定分点使，再构造另一组相似三角形，先算出长度，由相似比求出的长． 【小问1详解】 解：取格点，连接，如图所示，理由如下： 取格点，连接， 的面积为， 在中，． 【小问2详解】 解：取格点，连接交于点，则点即为所求的点，理由如下： ， ， ， ，即， 与同高， ． 令每个小正方形的边长为1， 在中，， 由，可得， ． 取格点，连接, 在与中， ，， ， ， 在中，， ，解得． 24. 在正方形中，、分别为、的中点，连接、，和交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作关于对称的图形，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于正方形面积的． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）依据正方形的性质，即可得到△ABE≌△BCF（SAS），进而得出∠BAE＝∠CBF，依据∠BGE＝90，即可得到AE⊥BF； （2）依据E、F分别为BC、CD的中点，即可得到△ABE，△BCF，△BPF，△ADF的面积都等于正方形ABCD面积的． 【详解】（1）证明：如图1，∵、分别是正方形边、的中点， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）如图2， ∵E、F分别为BC、CD的中点， S△ABE=正方形ABCD，S△BCF=正方形ABCD，S△ADF=正方形ABCD， ∵作关于对称的图形 ∴S△BPF=S△BCF=正方形ABCD， ∴的面积都等于正方形ABCD面积的． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 25. 近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量（个） 购买所需费用（元） 排球 篮球 方案1 方案2 （1）排球和篮球的单价分别是多少元？ （2）商场一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，若学校购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 【答案】（1）排球的单价是元，篮球的单价是元 （2）购买个排球、个篮球时商场获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可； 根据小问（1）求出的结果，列出一元一次不等式和一次函数，解出不等式的解集，结合一次函数的图象和性质解答即可． 【小问1详解】 解：设排球和篮球的单价分别是元、元，根据题意得： ， ， 答：排球的单价是元，篮球的单价是元． 【小问2详解】 解：设购买排球个，购买篮球个，商场获得总利润为元，根据题意得： ， ， 解得：， 中，， 随的增大而减小， 当时，商场获得利润最大，最大利润是元，此时， 答：购买个排球、个篮球时商场获得的利润最大，最大利润为元． 重题33584952244 26. 如图，在中，弦交于点，连接． （1）求证：； （2）连接，过点作于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接，作的平分线交于点，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）证明：如图，在线段上取点H，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵A、C、B、D四点在上， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，得到，根据圆周角定理推论即可证得结论； （2）在线段上取点H，使，连接．先证明，，然后可证，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （3）过点G作于点M，过点B作于点N，连接，，设，则，，在中由勾股定理得用x表示出，在中，在中，，于是得到，求出，证明垂直平分，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，过点G作于点M，过点B作于点N，连接， 设，则， ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，且． （1）求直线的解析式； （2）点P为x轴正半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）在（2）的条件下，点E为线段上一点，过点E作轴，垂足为点F，作点P关于直线的对称点G，连接，点H在线段上，连接，若，，的面积为6，求点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，因为，所以，，把，分别代入，即可作答； （2）因为点P为x轴正半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，所以，即可作答； （3）过点作轴，记过点作轴交于点，将沿着x轴翻折，即，设，得，，由得，则，结合，得，，因为，，所以，，得，设，则，，在，，再结合勾股定理得：，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ∵，且直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B， ∴，， ∴，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 【小问2详解】 解：因为点P为x轴正半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，且 ∴ 所以； 【小问3详解】 解：过点作轴，记过点作轴交于点，再将沿着x轴翻折，形成，如图所示： 设 则 因为作点P关于直线的对称点G，且 则 ∴， ∵将沿着x轴翻折，形成， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 故，， ∵，， ∴， 那么在中，， 则， ∴， 设， 则， 在中，， 则， 在中，，勾股定理得：， 解得（因为，故舍去）， 把代入中， 得 所以 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，对称图形的性质，全等三角形的性质，等角对等边，翻折的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度（上）九年级数学学科冰花妍项目验收活动（10月份） 考试时间：120分钟 考试满分：120分 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前考生先将自己的姓名、考号、考场座位号在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效， 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚， 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第I卷选择题（共30分）涂卡 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如下图所示，是圆O的半径，弦于点P，已知，，则弦（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0或1个 D. 1或2个 7. 如图，在中，，是的中线，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知方程的两根是，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（ ）支小分支． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ） A. B. 12 C. 20 D. 24 第Ⅱ卷选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若为方程的一个根，则__________． 12. 如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 13. 如图，是的直径，，，则_____． 14. 扇形的圆心角度数，面积，则扇形的弧长为______． 15. 在中，，，则的值为______________． 16. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 17. 如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为____米. 18. 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 19. 已知的半径为，弦，弦，则的度数为______． 20. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点均在小正方形的顶点上（仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形）： （1）在图中画出，其面积为3，且； （2）在线段上取一点，连接，使点满足，并直接写出线段的长． 24. 在正方形中，、分别为、的中点，连接、，和交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作关于对称的图形，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于正方形面积的． 25. 近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量（个） 购买所需费用（元） 排球 篮球 方案1 方案2 （1）排球和篮球的单价分别是多少元？ （2）商场一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，若学校购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 重题33584952244 26. 如图，在中，弦交于点，连接． （1）求证：； （2）连接，过点作于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接，作的平分线交于点，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，且． （1）求直线的解析式； （2）点P为x轴正半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）在（2）的条件下，点E为线段上一点，过点E作轴，垂足为点F，作点P关于直线的对称点G，连接，点H在线段上，连接，若，，的面积为6，求点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $