精品解析：黑龙江省大庆市部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

十月份九年级数学联考试卷 （满分：120分　考试时间：120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共30分） 1. 把方程写成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 3. 如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若、是方程的两个实数根，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） ①一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；③方程没有实数根；④方程的根在整数与之间． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则_______． 12. 已知，则以、为两个根的一元二次方程可以是_______（写出一个即可）． 13. 菱形的两条对角线的长分别为8和6，则这个菱形的高为_______． 14. 已知、是方程的两个实数根，则_______． 15. 在菱形中，，较长的一条对角线，则这个菱形的面积为_______． 16. 已知、是方程的两个实数根，则_______． 17. 若、是方程的两个实数根，则_______． 18. 在矩形中，，，点在边上，且，当四边形是菱形时（点在边上），这个菱形的边长为_______． 三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知、是一元二次方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 已知：关于的一元二次方程有一个根为0．求m的值以及方程的另一个根． 22. 在矩形中，对角线、相交于点，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的长． 23. 某学校计划开辟一块长方形劳动实践基地，面积为，且长比宽多．求这个长方形的长和宽． 24. 随着绿色出行理念的推广，某市今年月份新能源汽车的销量为辆，月份达到辆，且月平均增长率相同．求这个月平均增长率． 25. 已知是一元二次方程的一个实数根，求下列各式的值． （1） ； （2）． 26. 如图，在正方形中，点在对角线上，，垂足为点，，垂足为点，连接、． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，且，求的长． 27. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长是该方程的两个根，且，当是等腰三角形时，求的值． 28. 在矩形中，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．两点同时出发，若其中一点先到达终点，则两点同时停止运动．设运动时间为．当为何值时，的面积等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十月份九年级数学联考试卷 （满分：120分　考试时间：120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共30分） 1. 把方程写成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】将原方程移项化为一元二次方程的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：将方程移项，得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 3. 如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边， 得到x2+4x=1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 得到x2+4x+4=1+4 配方得（x+2）2=5． 故选：A． 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，列不等式求解k的取值范围. 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得. 6. 若、是方程的两个实数根，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：方程中，，，， ∴，． 7. 在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形对角线性质得，结合已知角度求出的度数，利用直角三角形性质与勾股定理求解的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：涨价后每件利润为元，涨价后每天的销售量为件， 根据总利润为2200元，列方程得． 9. 如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，由折叠得出，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，，， ， ∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处， ∴， ∴． 10. 下列说法中，正确的是（ ） ①一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；③方程没有实数根；④方程的根在整数与之间． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形判定定理判断①②，利用一元二次方程判别式判断方程实数根情况，再估算的取值范围判断④，进而统计正确说法的个数． 【详解】解：①矩形的四个内角均为直角，一组邻边相等的矩形满足正方形的判定条件，故①正确； ②对角线相等且互相垂直、平分的四边形才是正方形，仅满足相等且垂直无法判定为正方形，故②错误； ③方程的判别式， 方程没有实数根，故③正确； ④方程的根为和，其中在与之间，在与之间，并非所有根都在与之间，故④错误； 综上所述，正确的说法有个． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴ 未知数的最高次数为，可得：， 解得：． 12. 已知，则以、为两个根的一元二次方程可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值，再根据根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得， 计算得，， 根据根与系数的关系，以，为根的一元二次方程为 ， 代入得． 13. 菱形的两条对角线的长分别为8和6，则这个菱形的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形对角线的性质求出边长，再利用等面积法计算菱形的高． 【详解】解：根据菱形对角线互相垂直平分的性质， 可得两条对角线的一半长分别为，， 菱形的对角线互相垂直， 由勾股定理可得菱形的边长为 ， 先根据对角线计算菱形的面积，得， 设菱形的高为，菱形面积也等于底边长乘以高，即， 所以， 解得． 14. 已知、是方程的两个实数根，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得：，. 对所求式子因式分解变形：. 将，代入得：原式． 15. 在菱形中，，较长的一条对角线，则这个菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知菱形一个内角为和较长对角线长，利用菱形对角线互相垂直平分、平分内角的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：如图，设对角线和相交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得，代入得 ， 整理得，解得（舍去负根）， ∴， ∴， ∴ 菱形的面积为． 16. 已知、是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式展开后代入计算即可． 【详解】解：∵ 、是方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ，， 展开所求代数式得， 代入计算得． 17. 若、是方程的两个实数根，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，将所求式子因式分解后代入计算即可． 【详解】解：、是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得，， 18. 在矩形中，，，点在边上，且，当四边形是菱形时（点在边上），这个菱形的边长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形性质得到直角三角形的边长，用勾股定理求出菱形一条边的长度，结合菱形边长相等的性质即可得到结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，且在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴菱形的边长等于，即边长为． 三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 即，； 【小问2详解】 解： ， 或， ，． 20. 已知、是一元二次方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，又因为，整体代入求值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，又因为，整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ；　 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ． 21. 已知：关于的一元二次方程有一个根为0．求m的值以及方程的另一个根． 【答案】 的值为，方程的另一个根为. 【解析】 【分析】将代入方程求的可能值，结合一元二次方程二次项系数不为确定的取值，再求解方程的另一根． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入方程，得， 解得或， 又∵， ∴， 将代入原方程，得，  ，  ， 解得，， ∴ 方程的另一个根为． 22. 在矩形中，对角线、相交于点，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，再结合勾股定理解答； （2）根据求出解即可． 【小问1详解】 解：因为四边形是矩形，， 所以； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴其中，． ∵ ， ∴， 解得 23. 某学校计划开辟一块长方形劳动实践基地，面积为，且长比宽多．求这个长方形的长和宽． 【答案】长方形的长为，宽为 【解析】 【分析】设这个长方形的宽为，则长为，根据长方形的面积公式列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，（负数不符合题意，舍去）， ，， 答：这个长方形的长为，宽为． 24. 随着绿色出行理念的推广，某市今年月份新能源汽车的销量为辆，月份达到辆，且月平均增长率相同．求这个月平均增长率． 【答案】这个月平均增长率为 【解析】 【分析】设这个月平均增长率为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这个月平均增长率为， 由题意得 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个月平均增长率为． 25. 已知是一元二次方程的一个实数根，求下列各式的值． （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，再整体代入计算； （2）先解出或，再代入计算即可； 【小问1详解】 解：因为是的根， 所以， 所以　； 【小问2详解】 解：，且， 所以或； 当时， ； 当时， ； 所以． 26. 如图，在正方形中，点在对角线上，，垂足为点，，垂足为点，连接、． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，且，求的长． 【答案】（1）证明：因为，， 所以， 又在正方形中，， 所以四边形是矩形， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及垂直的定义得出矩形，然后根据矩形的对角线相等得出结论； （2）根据正方形的性质得出相等的边，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：因为四边形是正方形， 所以， 因为， 所以． 因为正方形的边长为4， 所以， 所以． 27. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长是该方程的两个根，且，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：， 所以无论取何实数，方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出判别式的值，进而根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的解为，，然后根据等腰三角形的定义分类讨论：或或，由此便可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 所以方程的两个根为，， 不妨设、． 当时，，三边长为2、2、3，能构成三角形； 当时，，三边长为3、2、3，能构成三角形； 当时，，不成立． 所以或． 28. 在矩形中，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．两点同时出发，若其中一点先到达终点，则两点同时停止运动．设运动时间为．当为何值时，的面积等于？ 【答案】 【解析】 【分析】分当时，当时，分别求解即可； 【详解】解：走完全程需，走完全程需， ∴， 当时，在上，点到直线的距离为，， ∴， 令 ， 解得，符合题意．　 当时，在上，点到直线的距离为， ∴ 令 ， 整理得， 解得，，均不在范围内（是上一段的解），舍去． ∴当时，的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $