福建省福州延安中学2026-2027学年 九年级上学期阶段考试数学试卷（10月）

福州延安中学2026-2027学年第一学期校本练习（四）10.15 初三数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．在所在平面内有一点，，半径为5，则点与位置关系是（ ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 4．下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（ ） A． B． C． D． 5．将点绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 7．如图，将绕点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为3，则的值是（ ） A．3 B． C．6 D． 9．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（ ） A．25 B．15 C．20 D． 10．已知二次函数的图象过点，当时，，当时，，则的值是（ ） A． B． C． D．1 二、填空题：本题共6题，每题4分，共24分． 11．如图，点，，均在上，，则的度数为________． 12．在每一个象限内，反比例函数随x的增大而增大，则k的值可以是________．（只需写出一个符合条件的实数） 13．如图，内接于，为的直径，为上一点，连接、．若，则的度数为________． 14．如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为________． 15．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为________． 16．如图，，，，，直线与交于点，在绕点旋转过程中，线段的最大值是________． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（8分）解方程： （1）； （2）． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程；求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．（8分）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为．若，，则的长是多少？ 20．（8分）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：．（2）若，，，求的长． 21．（8分）如图，中，，． （1）试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出的半径． 22．（10分）综合与实践：在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． （1）【探究1】如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯、灯的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； （2）【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点、、在同一条直线上．在灯、灯的照射下，当小亮的影子落在线段上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 23．（10分）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，可得______，推出，，三边之间的数量关系是______，即可求得______； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，求证：； （3）如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 24．（12分）如图，在正方形中，，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 25．（14分）已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； （3）在第（2）问取得最小值的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $