精品解析： 福建省福州市鼓楼区延安中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可． 【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意； B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意； C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意； D、太极曲线是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，朝上一面的点数为 B. 同弧或等弧所对的圆周角相等 C. 任意写一个数，这个数大于 D. 两边对应成比例的两个三角形相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的定义、圆周角定理、相似三角形的判定，根据随机事件的定义、圆周角定理、相似三角形的判定分析即可求解，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定． 【详解】解：、掷一枚骰子，朝上一面的点数为是随机事件，故选项不符合题意； 、同弧或等弧所对的圆周角相等是必然事件，该选项符合题意； 、任意写一个数，这个数大于是随机事件，该选项不符合题意； 、两边对应成比例的两个三角形相似是随机事件，该选项不符合题意； 故选：． 4. 如图，点A是反比例函数图象上任意一点，轴，点C是x轴上的动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提，掌握同底等高的三角形面积相等是解决问题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义可得，再根据同底等高的三角形面积相等，可求出答案 【详解】解：如图，连接， 由反比例函数系数k的几何意义得， ， 又∵轴， ∴． 故选：A． 5. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点A与刻度尺上的0刻度重合，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴两点间的距离，平行线分线段成比例定理等知识，根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理列方程求解即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：设点在数轴上表示的数为， ∵点在数轴上表示的数是，图中的两条线段相互平行， 即 解得： ∴． 故选：D ． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数与反比例函数在同一坐标平面内的图象判定，可以先假设其中一个是正确图象，再判断另外一个图象是不是符合条件，符合即正确，不符合即错误，依次判断即可． 【详解】A：假设反比例函数图象正确，则，二次函数图象开口向上，且与y轴交点在正半轴上，选项正确； B：假设反比例函数图象正确，则，二次函数图象开口向上，于y轴交点应在正半轴上，选项错误； C：假设反比例函数图象正确，则，二次函数图象开口向下，于y轴交点应在负半轴上，选项错误； D：假设反比例函数图象正确，则，二次函数图象开口应为向下，与y轴交点在负半轴上，选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数在直角坐标系内的图像性质，牢记相关图像要点是解题关键． 7. 四边形内接于，，则，满足条件（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 设， ∴， ， 故选：D． 8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， 故， 故． 故选：D． 9. 如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【详解】解：连接， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ， 故选：B． 10. 定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， = ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12. 若点与点关于原点成中心对称，则____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律求解即可得． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位，所得到的抛物线的解析式为， 再向上平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 14. 小明掷一枚质地均匀的硬币，掷前9次时共有6次正面朝上，那么，他掷第10次时，出现正面朝上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由于抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，即正面向上的概率为． 【详解】解：小明掷一枚硬币，掷前9次时共有5次正面朝上，那么他掷第10次时，出现正面朝上的概率是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键． 15. 如图，A．B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于D点，垂足为C．若的面积为3，D为的中点，则k的值为__． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质．过点B作轴于点E，根据相似三角形的判定和性质求得，设，则，，，再由的面积为3，求出k的值即可得出结论． 【详解】解：过点B作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴． 设，则，，， ∵的面积为3， ∴，即， 解得， 故答案是：8． 16. 如图，点E是边长为10的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，交于点，连接，当取最小值时，线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点F作交的延长线于点P，作直线，首先证明，得，，再证明点F在的平分线上，作点A关于直线的对称点M，连接交直线于点F，此时最小，设，由图1知，，则，由得到对应边成比例即可求出x的值即可． 【详解】解：如图1，过点F作交的延长线于点P， ∵四边形是正方形， ∴,， ∴， ∴， 由旋转知，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在的平分线上， 如图2，作点A关于直线的对称点M，此时，，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，由图1知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，则， 在中， ∴线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、旋转和轴对称性质、勾股定理等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 18. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转， ∴， ∴ ∴， ∴， （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 19. 小王和小李两名同学周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．小王和小李分别从两入口进入参观． （1）参观结束后，小李从D出口走出的概率是 ． （2）参观结束后，通过画树状图或列表求小王和小李恰好从同一出口走出的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小李从D出口走出的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小王和小李恰好从同一出口走出的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果， ∴参观结束后，小李从D出口走出的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： C D E C D E 共有种等可能的结果，其中小王和小李恰好从同一出口走出的结果有种， ∴小王和小李恰好从同一出口走出的概率为 20. 如图，与相切于点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）已知，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1） 证明：连接， 与相切于点 ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，扇形的面积，所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）连接，先根据切线的性质得出，求出，得出，推出，利用等角对等边即可得出结论； （2）先求出，，再根据勾股定理得出，由阴影部分的面积为即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∴阴影部分的面积为：． 21. 如图，在中，． （1）在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）点，分别是、中点，若，求． 【答案】（1） 点即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图之作一个角等于已知角，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质，作交于点，则点即为所求； （2）由题意得，为的中线，为的中线，结合相似三角形的性质可得，求得，然后利用可得答案． 【小问1详解】 解： 则 如图，作交于点 则点即为所求． 【小问2详解】 解：点，分别是、中点 为的中线，为的中线 ， 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D． （1）求k，b的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键． （1）将代入得k的值，将代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据图象一次函数与反比例函数的交点，得到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解； （3）由即可求解． 【小问1详解】 解：将代入 ∴， ∴反比例函数解析式为， 将代入中，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴由图象可得不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：连接，， 将，分别代入，得， ∴， ∴， 令，则， 解得：，则， ∴． 23. 根据以下销售情况，解决销售任务 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元 每天可售出32件，每件盈利30元 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元 任务解决 任务1 甲店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 乙店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元 【答案】任务1：，；任务2：两家分店下降的价格为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天都可多售出件，即可得出结论； 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利和为元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为件， 任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得： ， 解得：， 答：两家分店下降的价格为元，两家分店一天的盈利和为2244元． 24. 如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，连接、． （1）证明：； （2）试求的值； （3）记、、的面积分别为、、，若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由定理证明，即可证得结论； （2）先证明，得到，代入即可求得答案； （2）依据，可设，即可得到，，再根据，即可得出方程，求得，再根据，，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：， 可设， ，， 又， ，即， ， 解得：，（不合题意）， 又，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，灵活运用所学知识并学会利用参数是解题的关键． 25. 如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． （1）求搬物线C1的解析式； （2）若P是抛物线在第四象限上的一点，连接交线段于点K，是否存在点P，使得K刚好为的中点，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，若，求证：直线经过一定点． 【答案】（1） （2） 不存在， 理由：过点A作y轴的平行线交的延长线于点M，过点P作y轴的平行线交BC于点N， 则， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得直线的表达式为：， 则点，即，则， 设点，则点， 则， 整理得，， ∵， ∴原方程无实数根， ∴不存在点P，使得K刚好为的中点； （3） 证明：过M作轴于K，过N作轴于T ∵将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵M，N分别在第四象限和第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理化简得：， 由点M、N的坐标得得直线解析式为， ∴， 当时，， ∴直线经过， ∴直线经过一定点． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的交点式即可得到结论； （2）过点A作y轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，根据相似三角形的性质得到，求得，由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点则，整理得到，由于，得到原方程无实数根，得到不存在点P，使得K刚好为的中点； （3）过M作轴于K，过N作轴于T，如图：根据将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，得到抛物线的解析式为，设，根据相似三角形的性质得到，即，整理化简得到，由点M、N的坐标得，直线解析式为，求得，当时，，得到直线经过． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，朝上一面的点数为 B. 同弧或等弧所对的圆周角相等 C. 任意写一个数，这个数大于 D. 两边对应成比例的两个三角形相似 4. 如图，点A是反比例函数图象上任意一点，轴，点C是x轴上的动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 不能确定 5. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点A与刻度尺上的0刻度重合，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 四边形内接于，，则，满足条件（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则______． 12. 若点与点关于原点成中心对称，则____． 13. 将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为________． 14. 小明掷一枚质地均匀的硬币，掷前9次时共有6次正面朝上，那么，他掷第10次时，出现正面朝上的概率是______． 15. 如图，A．B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于D点，垂足为C．若的面积为3，D为的中点，则k的值为__． 16. 如图，点E是边长为10的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，交于点，连接，当取最小值时，线段的长为________． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 19. 小王和小李两名同学周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．小王和小李分别从两入口进入参观． （1）参观结束后，小李从D出口走出的概率是 ． （2）参观结束后，通过画树状图或列表求小王和小李恰好从同一出口走出的概率． 20. 如图，与相切于点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）已知，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 21. 如图，在中，． （1）在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）点，分别是、中点，若，求． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D． （1）求k，b的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 23. 根据以下销售情况，解决销售任务 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元 每天可售出32件，每件盈利30元 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元 任务解决 任务1 甲店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 乙店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元 24. 如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，连接、． （1）证明：； （2）试求的值； （3）记、、的面积分别为、、，若，求的长． 25. 如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． （1）求搬物线C1的解析式； （2）若P是抛物线在第四象限上的一点，连接交线段于点K，是否存在点P，使得K刚好为的中点，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，若，求证：直线经过一定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $