江西吉安市永丰县三中、吉安县长田学校2026-2027学年高二上学期第一次联考数学试卷

吉安市永丰县三中、吉安长田学校2026-2027学年上学期 高二第一次联考数学试卷 一、单选题:每小题5分，共40分. 1．直线的法向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．条件:“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”,则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　) A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0 C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1 7．已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式；则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 10．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 11．过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 三、填空题:每小题5分，共15分. 12．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则直线的一般方程为______． 13．若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 14．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题:共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分. 15．已知，求(均写出一般式方程); (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标. 16．已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 17．已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 18．已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，点，设圆的半径为1，圆心在直线上. (1)若圆心也在直线上， ①过点作圆的切线，求切线方程； ②斜率存在且过点的直线与圆交于A、B两点，当面积最大时，求直线斜率； (2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 高二第一次联考数学试卷答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D A C A C AC ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】直线的斜率为2，则该直线的方向向量为， 垂直于向量的向量为，因此直线的法向量为， 取，得是直线的法向量，C是； 不存在非零实数，使得该直线的法向量为ABD. 2．B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立.所以是的必要不充分条件. 3．A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性：若，则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性：若直线与圆相切，则， 即，解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 4．D 【详解】设，因为，且，所以.又因为，，所以，解得，因此. 5．A 【详解】因为点在直线和上，所以有，从而点、均满足，故过点、的直线方程是,即. 6.C　 【详解】由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得若(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则是k≠±5且k≠－10.故选C． 7．A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2，所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为，所以，即， 所以直线上至少存在一点使得，所以点到直线的距离小于，即，解得，所以的取值范围是. 8．C 【分析】将转化成，由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，则题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，分类讨论即可得出答案. 【详解】将转化成， 由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，设直线，，， 易得解析式为，因为，所以直线不过原点， ，若，则直线为线段的垂直平分线或者与平行， 若直线为线段的垂直平分线，设，中点为，则，因为，，所以，，即；若直线与平行，则，令，，则，由点到直线距离公式可得，解得或， 代入得或，恰有三个不同的实数对满足关系式；若，如图所示，对于固定的，存在四条不同的直线使得条件成立， 要排除掉其中一种情况，则某一条直线过原点， 若直线过原点且过，则解析式为，则，符合题意； 若直线过原点且与平行，则解析式为，则，符合题意； 将，以及进行比较得. 9．AC 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确；对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直，则直线得斜率，故B错误.对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确；对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误.综上，故选AC. 10．ABC 【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D. 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即，由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而，解得，，因此圆的圆心，半径为，圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确；圆的圆心为，半径， 圆心到轴的距离为，由两边平方得， ，，而所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误． 综上，故选ABC. 11．ABD 【分析】结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解. 【详解】由题知圆O的圆心为，半径．不妨取点，则，故，从而，所以可以是等边三角形，故A正确；设点，则，以为直径的圆的方程为，又圆，两式作差可得直线的方程为，又，代入可得，令解得故直线过定点，故B正确；四边形的面积为，故当最 小时，四边形的面积最小，又的最小值为圆心到直线的距离,且,因此四边形面积的最小值为，故C错误；， 在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，故D正确． 12．或或或 【分析】先确定直线与轴的交点，然后根据不同等腰三角形的构成，分类讨论即可得解. 【详解】①如图，以点为顶点，以为腰，，， 则点的坐标为，所以直线的一般方程为.   ②如图，以点为顶点，以为腰，则点的坐标为， 所以直线的一般方程为.   ③如图，以为顶点，以为腰，则点的坐标为，所以直线的一般方程为.   ④如图，以线段为底，线段的中点坐标为，其中垂线的方程为，则点的坐标为，所以直线的一般方程为.   故答案为：或或或. 13． 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为，可化为，故此圆的圆心为，半径为，所以，故. 14． 【详解】直线变形得，则直线恒过，变形得，是单位圆的上半部分，当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或，设，，则， 由直线和半圆的图象可以知，当时，直线与半圆没有公共点；当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点；当时，直线与半圆有一个交点；当时，直线与半圆没有公共点；所以当直线与半圆有两个交点时，. 15．(1);(2)或;(3). 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得中点坐标为，又，则，从而中线方程为：； （2）当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则，则可为：. 综上可得：为或. （3）因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 16．(1);(2)圆与圆是相交关系. 【分析】（1）分别计算出A，B与圆心之间的距离，结合一内一外列不等式即可求解； （2） 先求AB中点坐标，代入圆方程得半径，再计算两圆圆心距，与半径和、半径差比较，判断两圆位置关系. 【详解】（1）圆心，则， ， 所以，故点在圆外，点在圆内，，即的取值范围为. （2）∵线段AB的中点在圆上， ，即． 又， ，故圆与圆是相交关系. 17．(1);(2)或或或;(3)设过点的直线的方程为，整理为，    点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以.  【分析】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. 【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为，故圆的标准方程为. （2）由，，有，又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，    又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为，可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为，可得另一条公切线的方程为，整理为，轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为，有，解得.     可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. （3）略 18．(1);(2)，;(3)存在，. 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为，因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得,化简得，故点的轨迹方程为. 法二：设圆心与点连线的中点为点，如图，作出符合题意的图形，因为点为的中点，为的中点，所以，因为，所以，则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去；如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2，可得，解得，此时直线方程为，联立可得，解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为，. （3）存在，点坐标为，证明如下，不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意，当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知，;又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数：可得，即，将直线方程代入，化简得到代入韦达定理结果得，化简得，即，解得，综上所述，点坐标为，得证． 19．(1)①或,   ②.(2). 【分析】(1) ①联立两条直线方程求出交点，即为圆心，写出圆的标准方程为，分析斜率存在与不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径即可得到切线方程； ②设直线方程为，求出圆心到直线的距离，求出弦长，即可表示出三角形面积，根据二次函数性质即可得到当面积最大时直线斜率. (2)求出点的轨迹方程为：，根据点也在圆上，所以圆与圆有交点，根据圆心的距离与半径的关系可得. 【详解】（1）①圆心在直线上，在直线上，所以联立，解得，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，若切线斜率存在，设过点的切线方程为，由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，即：，化简得，两边平方得： ， 因此，切线方程为： ，即.若切线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为：，也符合；因此，切线方程为： 或.    ②设直线方程为，圆心到直线的距离为：， 弦长为：， 所以面积为：，根据函数性质可得当 时，可取得最大值，因此我们有： ，两边平方得： ，即，解得. （2）设点，则，两边平方得： ，即，所以点在圆上，因为点也在圆上，所以圆与圆有交点，圆的圆心为，半径为， 所以，化简得， 平方得：，所以， 所以圆心的横坐标的取值范围为：.      答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $