江西省南昌市第十九中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷

南昌十九中2026-2027学年上学期10月考试高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 2．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 3．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9．对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 11．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 13．已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 14．18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 四、解答题（本题共6大题，共77分） 15．（本题13分）已知直线经过点. (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 16．（本题15分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 17．（本题15分）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 18．（本题17分）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 19．（本题17分）已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2026-2027学年上学期10月考试高二数学试卷答案 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 2．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 3．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 4．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 5．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 6．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 7．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           8．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 【答案】C 【分析】由圆与圆相切的性质以及两角差的正弦公式求解，再由可表示为的形式即可求解. 【详解】如图所示，设半径为的圆的圆心为，在12个小圆中任取两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为，连接，，，由圆与圆相切可得， 所以，，， 所以， 所以解得，所以. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9．对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 即的最小值为，故B正确；    选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：ABD.    11．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【分析】 先将直线整理为斜截式方程求出其斜率和倾斜角，结合两直线夹角，得到所求直线的倾斜角，进而得到斜率，再根据直线过定点，即可求出直线的方程. 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 13．已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 14．18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 【答案】 【分析】先根据题意求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系求出. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 因圆与圆有且仅有一个公共点， 则或， 即或（无解），得， 故的值为. 故答案为： 四、解答题（本题共6大题，共77分） 15．（本题13分）已知直线经过点. (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)4， 【分析】（1）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果； （2）设出直线方程，令，得到，令，得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得，此时，直线为 所以直线的方程为或. （2）由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到， 由题知，，得到， ， 当且仅当，即时取等号，此时直线方程为. 16．（本题15分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】(1) (2)相交 【分析】（1）利用弦的中垂线过圆心，通过联立方程组解得圆心坐标，由圆上的点到圆心距离解得半径，可求圆方程； （2）利用圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系. 【详解】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心， 又圆心在直线上，由，解得，即圆心， 圆的半径. 所以圆的标准方程为. （2）圆的方程为，则圆心，半径.    圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交. 17．（本题15分）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 18．（本题17分）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值. (3)不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立， 解得或者， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得. 【分析】（1）求得直线方程及圆心到直距离，利用公式求解即可； （2）联立直线方程为与圆的方程，消元后利用韦达定理得到，，用坐标表示出，，进一步计算即可. （3）利用坐标表示出点，继而求得,根据建立方程，求解后进一步判断即可；也可以根据，是直角三角形，继而求得点的轨迹方程且，再利用，建立方程，利用两圆的位置关系进行判断即可. 【详解】（1）由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. （2）略 （3）略 19．（本题17分）已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1)（坐标原点除外） (2)①； ②证明：由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点. 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的方程. （2）①根据弦长公式求得，从而求得四边形面积的表达式，进而求得面积的最大值.②利用根与系数关系，由的坐标求得直线的方程，进而求得直线所过定点. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）. （2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为. ②略 【点睛】思路点睛：1.利用切线长比求轨迹：通过已知点到两个圆的切线长之比，结合切线长公式，利用平方化简得到点的轨迹方程，这一步的推导是解决轨迹问题的关键. 2.结合根与系数关系证明定点性质：通过直线与圆的交点，结合根与系数关系，推导出直线方程，从而证明直线恒过定点. 试卷第16页（共17页） 试卷第17页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $