湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期数学期中模拟试题

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期期中模拟考试自编试卷 数学试题 （范围：必修二：第十章概率；选择性必修一：第一章空间向量与立体几何，第二章直线和 圆的方程，第三章3.1椭圆） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】已知直线的方向向量为,平面的一个法向量为. 由,得.故. 代入向量坐标得.化简得.即.解得. 故选:C. 2.已知，，则等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由,得. 故选:D. 3.已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由切线性质得，，，故. 圆的半径，可得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 直线上存在满足条件的点，故直线与点的轨迹圆有公共点，圆心到直线的距离，化简得，即. 故选：C. 4.已知直线，，则“”的充要条件是（） A. B. C.或 D.或 【答案】A 【解析】由得，整理得，解得或. 当时，，，两直线重合，故舍去. 当时，，，满足. 由此可得”“的充要条件是. 故选：A. 5.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为 圆上有且只有两个点到直线的距离等于,等价于.代入,得. 解不等式得.即半径的取值范围是. 故选:A. 6.一个袋子中有大小和质地相同的个球，分别标有数字，，，，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则（） A.与相互独立 B.与相互独立 C.与互斥 D. 【答案】C 【解析】样本空间，共包含个等可能的基本事件. 事件包含个样本点， 故，事件包含个样本点，故，事件仅含样本点，故. 由，得与不相互独立，A错误，事件包含个样本点， 故，D错误. 事件仅含样本点，故， 由，得与不相互独立，B错误. ，故事件与没有公共样本点，故与互斥，C正确. 故选：C. 7.过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设点在椭圆上，满足. 设圆的两条切线分别切于点,由切线性质可知，向量与垂直, 即,由此可得,同理有, 因此直线的方程为. 由直线在轴和轴上的截距分别为,得. 将代入条件,得 又由椭圆方程得,代入上式得 由此得,椭圆的离心率. 8.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将直线方程整理为, 令,得定点. 若,则直线与圆相切或相离,与直线交于不同两点的条件矛盾,且可无限趋近于,无最小值, 故. 由圆的几何性质,时,弦最短,对应取最小值,此时. 在中,时,,结合最小值不大于的要求,得, 平方化简得. 综上,的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.抛掷一红一白的两枚骰子，用表示红色骰子朝上的点数，用表示白色骰子朝上的点数，用表示一次实验结果．记事件：“”，：“”，：“”，：“”，则（） A.事件与互斥 B.事件与对立 C.事件发生的概率为 D.事件与相互独立 【答案】ACD 【解析】抛掷两枚骰子共得到个等可能的基本事件，事件包含个基本事件，事件包含共个基本事件，事件包含个满足的基本事件，事件包含个满足的基本事件. ， 故事件与互斥，A正确. ，故事件与互斥，存在基本事件既不属于也不属于， 因此与不是对立事件，B错误. ， 故C正确. ，，事件仅包含个基本事件，故， 由，故事件与相互独立，D正确. 故选：ACD. 10.下列四个命题中正确的有（ ） A.过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B.若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C.若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D.若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】A选项中，截距为时直线过原点，可得方程也满足条件， 故A错误. B选项中，由得，直线恒过定点， 计算得，，直线斜率为，故或， 解得或， 即的取值范围为， 故B正确. C选项中，若与平行，得；若与平行，得，与交于原点， 当在直线上时，代入得，故的所有可能取值组成的集合为，C错误. D选项中，直线斜率不存在时不满足条件， 设斜率存在时的方程为，，平移后得方程，平移后与原直线重合， 故，解得， 故D正确. 故选：BD. 11.在长方体中，，，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（） A.存在点，使直线与平面所成角取得最大值 B.存在点，使直线与平面所成角取得最大值 C.存在点，使平面与平面的夹角取得最大值 D.存在点，使平面与平面的夹角取得最大值 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，，. 设，. ，，，. ，. 取平面的一个法向量为.设平面的法向量为. 由得.取. 设平面的法向量为.由.取. 设平面的法向量为. 由.取. 对于选项A，设直线与平面所成角为. . 当时，函数单调递增.当时，函数单调递减. 故当，即为中点时，取得最大值. 故A正确. 对于选项B，设直线与平面所成角为. . 因为时，函数单调递减，不存在最大值. 故B错误. 对于选项C，设平面与平面的夹角为. . 令，. . . . . 由此可得. ，得. 在单调递减，在单调递增. 在单调递增. 由复合函数单调性得，在单调递减，在单调递增. 故在时取最小值，此时取得最大值. 故C正确. 对于选项D，设平面与平面的夹角为. .即，为定值. 故平面与平面的夹角恒为，存在点取得最大值. 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为                   . 【答案】 【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上班两天共包含次上下班天气判定，初始两把雨伞均在家. 次均不下雨，概率为. 有次下雨且不淋雨，仅发生在第一天或第二天上班时下雨，其余三次不下雨，概率为. 有次下雨且不淋雨，共包含三类符合要求的情况， 计算得概率为. 有次下雨且不淋雨，仅发生在第一天或第二天下班时不下雨，其余三次下雨，概率为. 次均下雨且不淋雨，概率为. 将所有情况相加得两天都不淋雨的概率为， 故至少有一天淋雨的概率为. 故答案为：. 13.如图，在边长为的正方体中，点到平面的距离为                   . 【答案】 【解析】正方体边长为， 由勾股定理得，故为等边三角形. 计算得， 设点到平面的距离为， 由等体积法得. 代入体积公式得，代入，， 化简得，解得. 故答案为：. 14.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率                   ． 【答案】 【解析】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示： 设，则，，， 由题意可得，， 在分别由余弦定理解得： ，， 即，，解得，，即. 故答案为：. 设，由得，结合椭圆定义得，. 直线倾斜角为，故，. 在中由余弦定理得，化简得. 在中由余弦定理得，化简得. 联立两式得，，约去整理得，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求，的值； ② 求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】解：(1)设为第一轮比赛中甲胜出，为第二轮比赛中甲胜出，为第一轮比赛中乙胜出，为第二轮比赛中乙胜出，由题意得相互独立，且，，，. 记为乙恰好有一轮胜出，则，且与互斥，当时，，故乙恰好有一轮胜出的概率为. (2)①设为甲、乙各有一轮胜出，为甲、乙两轮都胜出，由独立事件概率公式得，， 化简整理得，解得，. ②记为甲两轮都胜出，为乙两轮都胜出，为甲、乙两人至少有一人两轮都胜出，计算得，，从而，故甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率为. 16.已知点． (1) 求的外接圆的标准方程； (2) 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) 解：由、,得中点为,且所在直线斜率为, 故的垂直平分线方程为. 由、,得中点为,且所在直线斜率不存在, 故的垂直平分线方程为. 联立,得圆心. 故圆的标准方程为. (2) 解：已知直线被圆截得弦长为,结合,得圆心到直线的距离. 当直线的斜率存在时, 设其方程为,整理为. 由点到直线距离公式,得, 解得,对应直线方程为. 当直线的斜率不存在时,直线方程为, 此时圆心到该直线的距离为,满足弦长条件. 故所求直线的方程为或. 17.如图，在长方体中，为的中点． (1) 求证：直线平面； (2) 求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系. 得各点坐标. 得，. 设平面的法向量为. 由. 取，得，，故. . 计算得. 故. 因为平面，所以平面. (2) 解：由(1)得，设平面的法向量为. 由， 取，得，，故. 设平面与平面的夹角为. . 故平面与平面夹角的余弦值为. 18.如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1) 求证：平面； (2) 求直线与平面所成角的正弦值； (3) 在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：连接，直三棱柱中，四边形为平行四边形，由为中点，得为中点. 又为中点，故，由平面，平面，得平面. (2) 解：由，为中点，得，计算得. 过作平面，以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，得各点坐标，由此得，，. 设平面的一个法向量为，由，得，取，得. 设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为. (3) 解：设，，得坐标为，故. 由在平面内，得，即，化简得，解得，故存在满足条件的点，此时. 19.已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1) 求的标准方程； (2) 设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1) 解：设椭圆的半焦距为，得，结合的取值范围为，得，解得，计算得，故椭圆的标准方程为. (2) 解：①由(1)得，设直线的方程为，，联立，消去得，得，由韦达定理得，. 计算得，得中点，直线斜率，直线方程为，代入得. 计算得，故，即，所以. ②由弦长公式得. 直线的方程为，同理可得. 四边形的面积，代入化简得，由基本不等式得，当且仅当即时取等号. 故，即四边形面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期期中模拟考试自编试卷 数学试题 （范围：必修二：第十章概率；选择性必修一：第一章空间向量与立体几何，第二章直线和 圆的方程，第三章3.1椭圆） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（） A. B. C. D. 2.已知，，则等于（） A. B. C. D. 3.已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（） A. B. C. D. 4.已知直线，，则“”的充要条件是（） A. B. C.或 D.或 5.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（） A. B. C. D. 6.一个袋子中有大小和质地相同的个球，分别标有数字，，，，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则（） A.与相互独立 B.与相互独立 C.与互斥 D. 7.过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（） A. B. C. D. 8.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.抛掷一红一白的两枚骰子，用表示红色骰子朝上的点数，用表示白色骰子朝上的点数，用表示一次实验结果．记事件：“”，：“”，：“”，：“”，则（） A.事件与互斥 B.事件与对立 C.事件发生的概率为 D.事件与相互独立 10.下列四个命题中正确的有（ ） A.过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B.若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C.若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D.若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 11.在长方体中，，，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（） A.存在点，使直线与平面所成角取得最大值 B.存在点，使直线与平面所成角取得最大值 C.存在点，使平面与平面的夹角取得最大值 D.存在点，使平面与平面的夹角取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为                   . 13.如图，在边长为的正方体中，点到平面的距离为                   . 14.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率                   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求，的值； ② 求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 16.已知点． (1) 求的外接圆的标准方程； (2) 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17.如图，在长方体中，为的中点． (1) 求证：直线平面； (2) 求平面与平面夹角的余弦值． 18.如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1) 求证：平面； (2) 求直线与平面所成角的正弦值； (3) 在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19.已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1) 求的标准方程； (2) 设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $