湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试卷03(必修第一册、第二册、选择性必修第一册)

2026-2027学年临澧一中高二（上）期中数学模拟试卷(03) 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合，0，1，2，，，则（　　） A．，0，1， B．，0， C． D． 2．已知，且，则（　　） A． B． C．6 D． 3．已知，若，则（　　） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，则的最大值是（　　） A． B． C．8 D． 5．设，，，则，，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 6．若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△的顶点，，，则△的欧拉线方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知函数，若，则（　　） A．0 B．4 C．8 D．6 10．在棱长为2的正方体中，点满足，，，，则下列结论正确的是（　　） A．当，时， B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若点在以的中点为球心，为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 11．已知圆锥曲线的焦点为，，若此曲线上存在点，满足（其中为坐标原点），则这个曲线可能是（　　） A．离心率为的椭圆 B．离心率为的椭圆 C．离心率为2的双曲线 D．离心率为的双曲线 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为　　 ． 13．直线和的夹角的余弦值为　　 ． 14．设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为 　　． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，，，两点，且． （1）证明：直线过定点； （2）求的最小值． 16．在△中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若，求的取值范围． 17．在四棱锥中，底面为矩形，平面．点，分别在，上， 且，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）当，，，求平面与平面的夹角． 18．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得？为坐标原点）若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画、两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”．在拓扑学中，我们规定某一实数满足： ①，当且仅当时等号成立； ②，，； ③，，，． 其中，、、为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于、两点的一个“度量”．设：平面直角坐标系为坐标原点）内两点，、，的“距离” ． （1）求证：、两点的“距离”是关于、两点的一个“度量”． （2）设为平面直角坐标系内任意一点．若，请在下图中定性做出点的集合组成的图象（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）． （3）设是圆上的动点．求的取值范围． 2026-2027学年临澧一中高二（上）期中数学模拟试卷(03) 参 考 答 案 1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．． 8．． 9．． 10．． 11．． 12．． 13．． 14． ． 15．（1）由直线与抛物线有两个交点，可知直线的斜率不为0， 设直线的方程为：，联立抛物线方程，得， 所以，， 又，得，即，则直线的方程为：， 当时，得，所以直线过定点； （2）由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 由抛物线定义可知，， 所以， 又直线与抛物线交于，，，两点， 得，，即，， 所以，且，， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为34． 16．（1）由题意，，，所以，所以， 可得，由于，可得， 可得△的面积； （2）由题意及均值不等式可得：， 当且仅当时等号成立，可得， 又，可得，可得的取值范围是，． 17．（1）证明：因为平面，平面， 所以，又易知，， 所以平面，又平面， 所以，又，， 所以平面，又平面， 所以，同理，又， 所以平面； （2）由（1）知，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建系如图： 则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，， 所以，， 由（1）知平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取， 所以平面与平面的余弦值为：，， 所以面与平面的夹角为． 18．（1）根据对称性可得椭圆过，，三点，于是有，解得，， 故椭圆的方程为． （2）假设存在，由于， 当直线斜率为0时，方程为，点在椭圆外的轴上任意点都符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，，，， 联立方程组，消去得，由韦达定理得， 若，则， 即， 则，又因为， 所以，所以，此时， 直线斜率为0时也符合题意， 即存在点使得． 19．（1）证明：①显然成立， 令，由于， 故当且仅当时等号成立， 令，则单调递增， 得到，即，当且仅当时等号成立， ②易知显然成立， ③由于单调递增，故由可得： ， 故， 即，，，，所以距离是一种度量． （2）设，则由得：， 当，时，曲线为，即； 当，时，曲线为，即； 当，时，曲线为，即； 当，时，曲线为，即． 如图： （3）设，，，． 则 ． 令，则． 于是． ，且， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $