专题 4.1 等式与方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题 4.1 等式与方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】等式定义 1 【知识点二】等式基本性质 2 【知识点三】方程 2 【知识点四】方程的解 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】列等式 2 【题型2】利用等式基本性质变形为 3 【题型3】方程的识别 3 【题型4】检验一个数是否为方程的解 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型5】根据等式的性质辨析 4 【题型6】根据情景问题列方程 5 【题型7】已知方程的解，求字母系数 6 五.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.学习目标 1. 理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式。 2. 掌握等式的两条基本性质，并能运用性质将简单等式变形为 3. 理解方程、未知数、方程的解、解方程的概念，能判断一个数是否为某方程的解。 4. 能根据简单实际问题（几何、行程、比例等）中的等量关系列出方程。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等式定义 定义：表示相等关系的式子叫作等式（equation）。等式中一定含有等号"="。 要点提示：等式与代数式的区别——等式含有等号，代数式不含等号（如 是代数式， 是等式）。 【知识点二】等式基本性质 性质 文字叙述 字母表示 性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 如果 ，那么 性质2 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。 如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 记忆口诀：同加减、同乘除，除数不能是0。 【知识点三】方程 未知数：用字母表示要求的未知量，这样的字母叫作未知数。 方程：含有未知数的等式叫作方程（equation）。 方程必备条件： 1.必须是等式（含有等号）；2.必须含有未知数。 【知识点四】方程的解 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 检验方法：把给定的数分别代入方程的左边和右边，计算两边的值；若左边=右边，则该数是方程的解；若不相等，则不是。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】列等式 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）列等式表示： （1）x的2倍与的差是1； （2）y的相反数与x的一半的和是3； （3）x的与3的差等于最大的一位数． 【变式1】（25-26七年级上·河北·阶段检测）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）列等式表示“的三分之一减的差等于”是______． 【变式3】（【人教版课时练习】七年级上册第三章一元一次方程3.1.2 等式的性质）列等式表示： （1）加法交换律； （2）乘法交换律； （3）分配律； （4）加法结合律． 【题型2】利用等式基本性质变形为 【例题2】（26-27七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3】方程的识别 【例题3】（2026七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【变式3】（25-26七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型4】检验一个数是否为方程的解 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）是下列方程的解吗？ （1）； （2）． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断括号内的数是不是它前面的方程的解： （1）； （2）． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】根据等式的性质辨析 【例题5】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【变式2】（25-26六年级下·山东威海·期中）下列变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型6】根据情景问题列方程 【例题6】（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列问题，列方程（不解方程）： （1）的6倍比的3倍小12； （2）小明参加了一场的跑步比赛，他以的速度跑了一段路程后，又以的速度跑完了剩下的路程，一共花了，求小明以的速度跑了多少米； （3）如图是一个长方体的包装盒示意图，长为，高为，表面积为．这个包装盒底面的宽是多少米？ 【变式1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： （1）某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； （2）某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； （3）一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； （4）在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【题型7】已知方程的解，求字母系数 【例题7】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【变式3】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）方程与方程的解相同，求k的值． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）在匀速直线运动中，物体的路程、速度、时间之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（     ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．等式的基本事实 D．无法确定 6．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 10．（24-25七年级下·北京·期末）有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有___________，是方程的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么_________． （2）如果，那么_________． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡．1个梨和______个桃同样重． 15．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程  的解为_____________________． 16．（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 17．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 18．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． （1）设宽为，请列出关于x的方程． （2）说明是该方程的解，而不是它的解． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川达州·开学考试）求未知数x的值． （1） （2） （3） 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知两个整式，，其中系数被缺损，当时，值为． （1）求所表示的数； （2）先化简，再求值，其中． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程，并利用等式的性质解方程． （1）甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班多4名学生，求两个班各有学生多少名； （2）某商店卖出全部彩电的后，还剩下150台，这个商店原来有多少台彩电？ 24．（本小题满分12分）（2026·安徽合肥·三模）如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形 （1）图形1中小正方体个数记作，图形2中小正方体个数记作，…图形5中的小正方体有________个；图形（是正整数）中的小正方体有________个（用含的代数式表示，结果需化简）； （2）结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的3倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 等式与方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】等式定义 1 【知识点二】等式基本性质 2 【知识点三】方程 2 【知识点四】方程的解 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】列等式 2 【题型2】利用等式基本性质变形为 4 【题型3】方程的识别 6 【题型4】检验一个数是否为方程的解 7 四.题型精析（综合提升） 9 【题型5】根据等式的性质辨析 9 【题型6】根据情景问题列方程 11 【题型7】已知方程的解，求字母系数 13 五.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 一.学习目标 1. 理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式。 2. 掌握等式的两条基本性质，并能运用性质将简单等式变形为 3. 理解方程、未知数、方程的解、解方程的概念，能判断一个数是否为某方程的解。 4. 能根据简单实际问题（几何、行程、比例等）中的等量关系列出方程。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等式定义 定义：表示相等关系的式子叫作等式（equation）。等式中一定含有等号"="。 要点提示：等式与代数式的区别——等式含有等号，代数式不含等号（如 是代数式， 是等式）。 【知识点二】等式基本性质 性质 文字叙述 字母表示 性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 如果 ，那么 性质2 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。 如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 记忆口诀：同加减、同乘除，除数不能是0。 【知识点三】方程 未知数：用字母表示要求的未知量，这样的字母叫作未知数。 方程：含有未知数的等式叫作方程（equation）。 方程必备条件： 1.必须是等式（含有等号）；2.必须含有未知数。 【知识点四】方程的解 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 检验方法：把给定的数分别代入方程的左边和右边，计算两边的值；若左边=右边，则该数是方程的解；若不相等，则不是。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】列等式 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）列等式表示： （1）x的2倍与的差是1； （2）y的相反数与x的一半的和是3； （3）x的与3的差等于最大的一位数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）x的2倍与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可； （3）根据已知，首先表示出这个数的，再减3，等于最大的一位数9，得出方程即可． （1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得． 【变式1】（25-26七年级上·河北·阶段检测）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据文字描述，直接列出等式即可． 解：由题意，得 故选：B． 【点拨】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 【变式2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）列等式表示“的三分之一减的差等于”是______． 【答案】 【分析】先根据已知条件“的三分之一减的差等于”，列出等式，即可求出答案． 解：根据已知条件：“的三分之一减的差等于”， 得：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了等式的性质，在解题时要根据已知条件列出等式是本题的关键． 【变式3】（【人教版课时练习】七年级上册第三章一元一次方程3.1.2 等式的性质）列等式表示： （1）加法交换律； （2）乘法交换律； （3）分配律； （4）加法结合律． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据各运算定律用字母表示出即可求解． 解：（l）加法交换律 ； （2）乘法交换律； （3）分配律； （4）加法结合律 ． 【点拨】本题考查了用字母表示运算定律，是基础题目，关键是理解和记忆运算定律． 【题型2】利用等式基本性质变形为 【例题2】（26-27七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的性质和解一元一次方程，解题的关键是能灵活运用等式的性质． （1）先方程两边同减，再系数化为，即可得到答案； （2）先方程两边同加，再系数化为，即可得到答案； 解：【小题1详解】 解：方程两边减3，得． 方程两边除以2，得． 【小题2详解】 解：方程两边加1，得． 方程两边乘2，得． 【变式1】（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，变形求解即可； 解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 【变式2】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【答案】9 【分析】根据定义得到的表达式，列出关于的方程，解方程即可得到的值． 解：∵， ∴， ， ， ． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． （1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 【题型3】方程的识别 【例题3】（2026七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）不是方程，理由是：不含未知数；（2）是方程；（3）不是方程，理由是：不是等式．；（4）不是方程，理由是：不是等式；（5）是方程；（6）不是方程，理由是：不含未知数． 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 解：（1）略 （2）解：是方程． （3）略 （4）略 （5）解：是方程． （6）略 【点拨】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【题型4】检验一个数是否为方程的解 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）是下列方程的解吗？ （1）； （2）． 【答案】（1）解：不是方程的解，理由如下： 将代入方程， 左边， 右边， ∵左边右边， ∴不是该方程的解； （2）解：是方程的解，理由如下： 将代入方程， 左边， 右边， ∵左边右边， ∴是该方程的解． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断括号内的数是不是它前面的方程的解： （1）； （2）． 【答案】（1）是；（2）不是 【分析】（1）（2）把括号内的数代入方程的左右两边，进一步判断即可. （1）解：把代入， 左边，右边， 因为左边=右边， 所以是原方程的解． （2）解：把代入方程， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是原方程的解． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】根据等式的性质辨析 【例题5】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 解：A选项，∵，两边同乘2得，移项得，故A错误. B选项，∵，两边同乘m得，故B错误. C选项，∵，两边同时加3得，移项得，故C正确. D选项，当时，恒成立，x与y不一定相等，故D错误. 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 【变式2】（25-26六年级下·山东威海·期中）下列变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一分析判断各选项，即可解题． 解：根据等式的基本性质： ∵等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，若，则， ∴A正确，不符合题意； ∵等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，如果，那么， ∴B正确，不符合题意； ∵若，时，无意义，等式不成立， ∴C错误，符合题意； ∵中分母为c，可得，等式两边同乘c，得， ∴D正确，不符合题意． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断选项即可． 解：选项A、，等式两边同乘，可得，故选项A正确，不符合题意； 选项B、对任意实数，都有，即，当时，等式两边同除以，可得，故选项B正确，不符合题意； 选项C、若，当时，无论，是否相等，等式都成立，无法推出，故则选项C说法错误，符合题意； 选项D、，等式两边同除以2，得，故选项D正确，不符合题意； 综上可知，只有选项C错误，符合题意． 【题型6】根据情景问题列方程 【例题6】（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列问题，列方程（不解方程）： （1）的6倍比的3倍小12； （2）小明参加了一场的跑步比赛，他以的速度跑了一段路程后，又以的速度跑完了剩下的路程，一共花了，求小明以的速度跑了多少米； （3）如图是一个长方体的包装盒示意图，长为，高为，表面积为．这个包装盒底面的宽是多少米？ 【答案】（1）；（2）设小明以的速度跑了；可列方程；（3）设包装盒底面的宽是． 根据表面积公式可列方程． 【分析】（1）根据题意得方程即可； （2）设小明以的速度跑了，根据一共花了列方程即可； （3）设包装盒底面的宽是，根据表面积公式列方程即可． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的长为xcm，得到长方形的宽，结合题意列方程，即可得到答案． 解：∵长方形的长为xcm ∴长方形的宽为：cm 根据题意得： 故选：B． 【点拨】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 【答案】 【分析】根据工具总数不变，分别用含的式子表示两种放置方法的总工具数，建立等量关系即可列出方程． 解：第一种放置方法中，每个箱子放把，剩余把，总工具数可表示为， 第二种放置方法中，空出一个箱子，实际放置工具的箱子数量为，每个箱子放把，总工具数可表示为， ∵工具总数不变， ∴可列方程为． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： （1）某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； （2）某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； （3）一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； （4）在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． （1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 【题型7】已知方程的解，求字母系数 【例题7】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 解： 解：将代入原方程可得， 解得处的数为 【变式2】（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 解：∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 4．（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）在匀速直线运动中，物体的路程、速度、时间之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（     ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．等式的基本事实 D．无法确定 【答案】B 解：∵， ∴等式两边同乘，得； 该变形的依据为等式的性质2. 6．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 解：由题意可列出方程为． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 解：A、当时，左边右边，故本选项不符合题意； B、当时，左边右边，故本选项不符合题意； C、当时，左边右边，故本选项符合题意； D、当时，左边右边，故本选项不符合题意； 8．（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 10．（24-25七年级下·北京·期末）有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，由图（a）和图（b）可得，，进而根据，求出取值范围即可解题． 解：设种物体□，△，○的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：①，， 即， 代入①得，即， ∴， 即， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有___________，是方程的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 【答案】故填表如下： x 0 1 1 3 0 ； 【分析】本题考查了“代数式求值”“方程的定义”的知识点，正确计算出求值结果，并理解方程的定义是解题关键． 先根据表中x的取值，分别代入两个代数式中，求出对应的值并填表，再观察表中当两个代数式的值相同时，表中对应的x的取值，根据方程的定义，这个x的取值即为方程的解． 解：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 由表可知，当时，，即方程的解为． 故答案为： ；． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么_________． （2）如果，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是关键． （1）（2）利用等式的基本性质逐项解答即可． 解：（1）∵， ∴， 解得：． （2）∵， ∴， ∴． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡．1个梨和______个桃同样重． 【答案】3 【分析】等式左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立． 解：由题意知：2个梨个梨个桃 两边同时去掉一个梨：2个梨个梨个梨个桃个梨 1个梨个桃 15．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程  的解为_____________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键.由关于的方程解为 ，代入得，对比关于的方程形式，直接得． 解：∵关于的方程的解为， ∴， ∵关于的方程与关于的方程形式一致， 即：对应 ， ∴． 故答案为：． 16．（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 17．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 18．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过整体代换的思想，将第二个方程中的视为一个整体，与第一个方程对比，直接利用已知解求解． 解：∵关于的一元一次方程的解为， 且关于的方程可化为， 令，则方程变为，与第一个方程形式相同， 因此，即，解得， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可； （1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． （1）设宽为，请列出关于x的方程． （2）说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】（1）；（2）当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． （1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长（长+宽），周长为， ∴方程为； （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川达州·开学考试）求未知数x的值． （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解： ； （2）解： （3）解： ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知两个整式，，其中系数被缺损，当时，值为． （1）求所表示的数； （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1）所表示的数为；（2）化简结果为，值为 【分析】本题考查解一元一次方程和整式加减运算的化简求值，关键是通过代入已知条件求出未知系数，再进行整式加减的化简与计算． （1）设未知系数为，代入时的值建立方程求解； （2）先代入求出的系数化简，再代入求值． （1）解：设所表示的数为，则， ∵当时，， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， 当时，． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程，并利用等式的性质解方程． （1）甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班多4名学生，求两个班各有学生多少名； （2）某商店卖出全部彩电的后，还剩下150台，这个商店原来有多少台彩电？ 【答案】（1）甲班有54名学生，乙班有58名学生；（2）600台 【分析】（1）设甲班有名学生，则乙班有名学生，根据“乙班比甲班多4名学生”列方程，然后根据等式的性质解方程即可； （2）设这个商店原来有台彩电，根据“商店卖出全部彩电的后，还剩下150台”列方程，然后根据等式的性质解方程即可. （1）解：设甲班有名学生，则乙班有名学生， 根据题意，得， 方程两边加，得， 方程两边除以2，得， 所以， 答：甲班有54名学生，乙班有58名学生； （2）解：设这个商店原来有台彩电， 根据题意，得， 化简，得， 方程两边乘4，得， 答：这个商店原来有600台彩电． 24．（本小题满分12分）（2026·安徽合肥·三模）如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形 （1）图形1中小正方体个数记作，图形2中小正方体个数记作，…图形5中的小正方体有________个；图形（是正整数）中的小正方体有________个（用含的代数式表示，结果需化简）； （2）结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的3倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）13，；（2）不存在，理由如下： ， ， ， 解得， n取正整数， 故不存在值． 【分析】（1）先观察得到，推导出，再代入求值； （2）把代入等式，得到关于的一元一次方程，解方程判断是否存在正整数解． （1）解：由题意： ，， 观察图形规律： 图形1：， 图形2：， 图形3：， 图形的小正方体个数：， 将代入：． （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $