第11讲 带电粒子在磁场中的多解问题讲义（知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

第11讲 带电粒子在有界磁场中的多解问题 目 录 高考分析 1 学习目标 1 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：带电粒子电性不确定形成多解 4 题型02：速度不确定性形成多解 7 题型03：运动具有周期性形成多解 10 题型04：磁场方向不确定的多解问题 22 题型05：临界状态不唯一的多解问题 23 1. 考查位置：高考物理压轴/次压轴高频小问，常放在有界磁场大题最后一问，区分度很高；单选、多选也会单独出多解辨析。 2. 命题特点：根源是轨迹圆不唯一，由4类原因出题：①入射方向不确定；②粒子电性不确定；③磁场方向不确定；④周期性旋转（边界重复、粒子回旋）。 3. 常见边界：直线边界、圆形磁场边界；容易漏解，阅卷最常扣“没写全情况”的分。 4. 分值：大题一般4～7分，难点不在算半径，在于找全所有几何情况。 1. 能快速识别一道磁场题是不是多解题型，判断多解来源。 2. 掌握5类多解的几何画图方法，会画不同轨迹圆。 3. 会结合临界条件（刚好穿出、刚好相切）求速度范围、时间范围。 4. 规范分类讨论，做到不漏解、不重复，能写出每种情况对应的半径、圆心角、运动时间。 5. 避开高频陷阱：忽略电性、磁场正反、旋转周期性、边界遮挡。 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题． 1.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解五种情况 类型 分析 图例 带电粒子电性 不确定 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 磁场方向 不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态 不唯一 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 粒子速 度不确 定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解 2.求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 一：通用解题步骤 步骤1：先判断多解成因（4大类） ① 速度方向不确定（最常考）：入射点固定，速度方向可变，轨迹圆绕入射点旋转，圆弧扫过区域产生多解。 ② 电性不确定：正负电荷洛伦兹偏转方向相反，圆心分居入射速度两侧，两套轨迹。 ③ 磁场方向不确定：B垂直纸面向里/向外两种，偏转左右相反，两组解。 ④ 周期性多解：粒子碰到直线边界反弹（等效圆周继续画圆），多次回旋，存在n=1,2,3…通解。 步骤2：定圆心、找半径、画轨迹（通用流程） ①找入射点，画速度垂线；有出射点则再画出射速度垂线，交点为圆心。 ②洛伦兹力提供向心力：；周期 （周期和速度无关） ③运动时间：t＝T＝T＝T 步骤3：分类+临界约束 ①直线边界：相切是临界（刚好不从边界飞出），区分“能穿出”“不能穿出”。 ②圆形磁场：入射点固定，轨迹圆和磁场圆相交，利用“磁场圆弦长”几何关系。 ③周期性题型：写出通式，再结合边界条件限制n取正整数。 步骤4：按类别书写答案 每一种情况单独画图，分别写几何关系，最后汇总；不要混在一起列式。 二：高频易错点（速记） 1. 只算一种偏转方向，忘记电性/B方向双向。 2. 速度旋转时，漏掉“反向圆弧”的解。 3. 周期性问题，n取值忘记受边界限制，n不能无限大。 4. 圆心角看错：用弦切角代替圆心角，时间算错。 5. 边界遮挡：有的轨迹几何上存在，但被边界挡住，要舍去无效解。 三：一句话口诀 方向不定转圆找，电性磁场两边跑； 边界反弹周期解，相切临界把界卡。 题型01：带电粒子电性不确定形成多解 【典型例题】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（　　） A．粒子一定带正电 B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 【变式训练1-1】（多选）如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点 D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 【变式训练1-2】（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子一定带负电荷 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 【变式训练1-3】（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，其边界如图中虚线abcde所示，虚线上部空间有垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，bcd是半径为R的半圆，ab、de与直径bd共线，a、b间的距离等于半圆的半径R.一个比荷为k的带电粒子在纸面内从a点垂直于ab以某一速度v(未知)射入磁场，在磁场力的作用下向右偏转，且恰好以最短时间通过磁场，不计粒子重力．则下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直半圆平面向里 B．带电粒子在磁场中运动的最短时间为 C．带电粒子的速度大小为kBR D．若带电粒子从直线bd上任意一点仍以相同大小的速度v垂直于bd射向圆弧边界，则带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过直径上的d点 【变式训练1-4】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？ 题型02：速度不确定性形成多解 【典型例题1】如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【典型例题2】（多选）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b从O点沿垂直于磁场方向进入匀强磁场(只存在于屏P的右边)，最后打到屏P上。不计重力及离子间相互作用。下列说法正确的是(　　) A.a、b均带正电 B.a在磁场中运动的时间比b的短 C.a在磁场中运动的路程比b的短 D.a在P上的落点与O点的距离比b的小 【变式训练2-1】（多选）如图所示，在水平荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏处有一粒子源，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，则（　　） A．所有粒子均会打到荧光屏上 B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为 C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为 D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为 【变式训练2-2】（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【变式训练2-3】（多选）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【变式训练2-4】空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电子枪将无初速的电子经加速电压加速后在纸面内垂直于SO的方向射出，两个形状为一圆弧的接收屏P1、P2拼接成半径为R的半圆形粒子接收器，直径沿SO方向放置，圆心位于O点，SO长度为2R。电子电荷量为e，质量为m。设电子击中接收屏即被吸收，不计电荷间的相互作用。 （1）为使电子能打到接收屏P1或P2上，求电子枪加速电压U的调节范围； （2）求能打到接收屏P1或P2上的电子从S点到击中接收屏的时间范围； （3）若接收屏P1损坏，可以通过调节电子枪加速电压使原本打在接收屏P1上的全部电子能打在接收屏P2上，至少需要调节多少次加速电压?（可能用到的数据：lg2≈0.301，lg5≈0.699，lg6≈0.778） 【变式训练2-5】平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【变式训练2-6】如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 题型03：运动具有周期性形成多解 【典型例题1】如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 【典型例题3】（多选）如图，纸面内有一矩形abcd，其长ab为4l、宽ad为，P、Q为ab边上的点，。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为q（）的粒子，从P点垂直ab以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直ab射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【典型例题5】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×105C/kg，不计粒子重力。 (1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻； (2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值； (3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。 【典型例题6】如图所示，直角坐标系的第二象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿轴负方向的另一匀强电场，两电场的场强大小相等。轴右侧区域Ⅰ和区域Ⅱ内分别存在磁感应强度大小不同、方向均垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的分界线与轴平行，在分界线上有一长为的绝缘弹性薄挡板，挡板关于轴对称。现在点沿轴正方向射入一初速度大小为的带正电的粒子，粒子进入第二象限运动，穿过轴上的点进入区域Ⅰ的磁场，在点的速度方向与轴正方向成角，之后又垂直挡板从挡板的上边缘进入区域Ⅱ。粒子在区域Ⅱ运动过程中会与挡板的中央发生碰撞，后又经区域Ⅰ、第三象限回到轴负半轴。已知该粒子的质量为、电荷量为，不计粒子重力，，在与挡板进行碰撞时粒子的电荷量和动能均无变化。则在此过程中，求： (1)点到原点的距离； (2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小； (3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间； (4)粒子第一次回到轴负半轴时的速度大小。 【变式训练3-1】垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图．螺线管内存在磁感应强度为、方向平行于管轴的匀强磁场．电子枪可以射出速度大小均为，方向不同的电子，且电子速度与磁场方向的夹角非常小．电子电荷量为、质量为电子间的相互作用和电子的重力不计．这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上点．下列说法错误的是． A.电子在磁场中运动的时间可能为 B.荧光屏到电子入射点的距离可能为 C.若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在点 D.若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在点 【变式训练3-3】如图所示，长方体a1b1c1d1—a2b2c2d2处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，a1b1c1d1为边长为L的正方形，a1a2竖直，O1、O2、O3、O4为相应边a1b1、a2b2、c2d2、c1d1的中点。在平面a1a2b2b1内有质量为m、电荷量为q（q>0）的带正电粒子从O2沿该平面以速度v（大小未知）射入匀强磁场，速度v的方向与底边a2b2的夹角θ=45°，经历一定时间，粒子恰好能到达O4位置，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度 B．粒子在运动过程中的轨迹一定与a1a2d2d1平面相切 C．长方体的a1a2边的长度可能为 D．粒子从O2运动到O4经历的时间可能为 【变式训练3-4】（多选）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【变式训练3-5】（多选）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无磁场，圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以大小为v的速度沿半径方向射出，射出后粒子做周期性运动。不计粒子重力，则粒子运动的周期可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练3-6】如图1所示，长方体区域的上表面OABC为一正方形，以O点为坐标原点建立图示的空间直角坐标系，yOz平面的左侧存在沿z轴正向的匀强磁场，yOz平面右侧的长方体区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场，且随时间的变化规律如图2所示（取沿y轴正向为正），两区域的磁感应强度大小相等。0时刻从空间坐标（，，）的M点（图中未标出）发射一比荷为k的正粒子，粒子的初速度大小为，方向与x轴正方向的夹角，一段时间后粒子恰沿x轴正向从O点进入长方体区域，最后恰从B点沿x轴正向射出，不计粒子的重力，求： (1)磁场的磁感应强度的大小。 (2)正方形OABC边长a满足的条件。 (3)若正方形OABC的边长，长方体区域的高度，当该正粒子经过O点时，立即在长方体区域内加上沿y轴负向的匀强电场，粒子最后恰从点射出，求所加匀强电场的电场强度及粒子经过点时的速度大小。 【变式训练3-7】在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 【变式训练3-8】如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【变式训练3-9】如图所示，在第一、四象限有垂直于纸面向里和向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OM 是两磁场区域的交界线，两区域磁场磁感应强度大小相同 B =0.1T，OM 与 x 轴正方向夹角为α。在第二、三象限存在着沿 x 轴正向的匀强电场，电场强度大小E= 1×104V/m。一带正电的粒子,质量m=1.6×10 −24kg、电荷量q=1.6×10−15C，由 x 轴上某点 A 静止释放，经电场加速后从 O 点进入Ⅱ区域磁场（带电粒子的重力不计） （1）若 OA 距离l1=0.2m，求粒子进入磁场后，做圆周运动的轨道半径大小R1； （2）要使经电场加速后，从O 点进入磁场的所有带电粒子仅在第一象限区域内运动，设计两磁场区域大小时，角α最大不能超过多少？ （3）若=30°，OM 上有一点 P（图中未画出），距 O 点距离l2=0.3πm。上述带正电的粒子从 x 轴上某一位置 C 由静止释放，以速度 v 运动到 O 点后能够通过 P 点，v 等于多大时，该粒子由 C 运动到 P 点总时间最短，并求此最短时间。 【变式训练3-10】如图甲所示，比荷=k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB=L，宽AD=L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。 （1）若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？ （2）要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？ 【变式训练3-11】如图所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示．开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图)，t＝0时刻有一带正电的粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向进入磁场，初速度为v0＝2×103m/s.已知该带电粒子的比荷为＝1.0×104 C/kg.试求： (1)t1＝×10－4 s时粒子所处位置的坐标(x1，y1)； (2)带电粒子进入磁场运动后第一次到达y轴时离出发点的距离h. 【变式训练3-12】如图甲所示，xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，周期均为，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．t=0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O开始运动，此时速度大小为，方向为＋x轴方向．已知电场强度大小为，磁感应强度大小，不计粒子所受重力．求： （1）t0时刻粒子的速度大小及对应的位置坐标； （2）为使粒子第一次运动到y轴时速度沿－x方向，B0与应满足的关系； （3）（n为正整数）时刻粒子所在位置的横坐标x． 【变式训练3-13】在矩形区域中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中为边界上的一点,且重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入磁场,已知粒子的比荷为求： (1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开,则磁场的磁感应强度应为多大? (2)如果磁场的磁感应强度欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场,则磁场的变化周期应满足什么条件? (3)如果磁场的磁感应强度在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过垂直边离开磁场,再次进入磁场后经过从点离开磁场区域,则电场强度E以及粒子在电场中的路程分别为多大? 【变式训练3-14】如图（甲）所示，两带等量异号电荷的平行金属板平行于x轴放置，板长为L，两板间距离为，金属板的右侧宽为L的区域内存在如图（乙）所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直．现有一质量为m，带电荷量为+q的带电粒子，从y轴上的A点以速度沿x轴正方向射入两板之间，飞出电场后从点（L，0）进入磁场区域，进入时速度方向与x轴夹角为30°，把粒子进入磁场的时刻作为零时刻，以垂直于纸面向里作为磁场正方向，粒子最后从x轴上（2L，0）点与x轴正方向成30°夹角飞出磁场，不计粒子重力．试求： （1）求粒子在两板间运动时电场力对它所做的功； （2）计算两板间的电势差并确定A点的位置； （3）写出磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T应满足的表达式． 【变式训练3-15】如图a所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图b所示规律变化（垂直于纸面向外为正）．t=0时，一比荷为C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小，不计粒子重力． ⑴求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径． ⑵求时带电粒子的坐标． ⑶保持b中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0.3T，在t=0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻． 【变式训练3-16】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小。 （2）要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【变式训练3-17】如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【变式训练3-18】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ=30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 (1)求A点到y轴的距离x和E1的大小； (2)求B的大小； (3)若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【变式训练3-19】如图所示，在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方有沿着y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的某点M由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求M点到O点的距离； （2）改变粒子在y轴上的释放点，使粒子由N点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求N点到O点的距离； （3）在（2）过程中，求粒子从N点由静止释放到射出磁场的运动时间。 【变式训练3-20】如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值． 题型04：磁场方向不确定的多解问题 【典型例题】（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A.B>，垂直纸面向里 B.B>，垂直纸面向里 C.B>，垂直纸面向外 D.B>，垂直纸面向外 【变式训练】在平面直角坐标系x0y中，第I象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在A（L，0）点有一粒子源，沿y轴正向发射出速率分别为v、5v、9v同种带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。在B（0，L）、C（0，3L）、D（0，5L）放一个粒子接收器，B点的接收器只能吸收来自y轴右侧到达该点的粒子，C、D两点的接收器可以吸收沿任意方向到达该点的粒子。已知速率为v的粒子恰好到达B点并被吸收，不计粒子重力。 （1）求第I象限内磁场的磁感应强度B1； （2）计算说明速率为5v、9v的粒子能否到达接收器； （3）若在第Ⅱ象限内加上垂直于坐标平面的匀强磁场，使所有粒子均到达接收器，求所加磁场的磁感应强度B2的大小和方向。 题型05：临界状态不唯一的多解问题 【典型例题1】如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝L。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子能通过cd边的最短时间t＝ B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝ C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝ D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤ 【典型例题2】如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】如图所示，间距为的两竖直虚线、边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，点到边界、的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，经历一段时间后，粒子到达点正上方的点（图中未画出）处，则、两点间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【变式训练5-2】如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【变式训练5-3】（多选）如图所示，P、Q为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0的大小可能为(　　) A. B. C. D. 【变式训练5-4】（多选）如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（  ） A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 【变式训练5-51】（多选）中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-6】（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】（多选）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 【变式训练5-8】在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M，点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 【变式训练5-9】如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 带电粒子在有界磁场中的多解问题 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：带电粒子电性不确定形成多解 4 题型02：速度不确定性形成多解 10 题型03：运动具有周期性形成多解 21 题型04：磁场方向不确定的多解问题 63 题型05：临界状态不唯一的多解问题 65 1. 考查位置：高考物理压轴/次压轴高频小问，常放在有界磁场大题最后一问，区分度很高；单选、多选也会单独出多解辨析。 2. 命题特点：根源是轨迹圆不唯一，由4类原因出题：①入射方向不确定；②粒子电性不确定；③磁场方向不确定；④周期性旋转（边界重复、粒子回旋）。 3. 常见边界：直线边界、圆形磁场边界；容易漏解，阅卷最常扣“没写全情况”的分。 4. 分值：大题一般4～7分，难点不在算半径，在于找全所有几何情况。 1. 能快速识别一道磁场题是不是多解题型，判断多解来源。 2. 掌握5类多解的几何画图方法，会画不同轨迹圆。 3. 会结合临界条件（刚好穿出、刚好相切）求速度范围、时间范围。 4. 规范分类讨论，做到不漏解、不重复，能写出每种情况对应的半径、圆心角、运动时间。 5. 避开高频陷阱：忽略电性、磁场正反、旋转周期性、边界遮挡。 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题． 1.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解五种情况 类型 分析 图例 带电粒子电性 不确定 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 磁场方向 不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态 不唯一 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 粒子速 度不确 定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解 2.求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 一：通用解题步骤 步骤1：先判断多解成因（4大类） ① 速度方向不确定（最常考）：入射点固定，速度方向可变，轨迹圆绕入射点旋转，圆弧扫过区域产生多解。 ② 电性不确定：正负电荷洛伦兹偏转方向相反，圆心分居入射速度两侧，两套轨迹。 ③ 磁场方向不确定：B垂直纸面向里/向外两种，偏转左右相反，两组解。 ④ 周期性多解：粒子碰到直线边界反弹（等效圆周继续画圆），多次回旋，存在n=1,2,3…通解。 步骤2：定圆心、找半径、画轨迹（通用流程） ①找入射点，画速度垂线；有出射点则再画出射速度垂线，交点为圆心。 ②洛伦兹力提供向心力：；周期 （周期和速度无关） ③运动时间：t＝T＝T＝T 步骤3：分类+临界约束 ①直线边界：相切是临界（刚好不从边界飞出），区分“能穿出”“不能穿出”。 ②圆形磁场：入射点固定，轨迹圆和磁场圆相交，利用“磁场圆弦长”几何关系。 ③周期性题型：写出通式，再结合边界条件限制n取正整数。 步骤4：按类别书写答案 每一种情况单独画图，分别写几何关系，最后汇总；不要混在一起列式。 二：高频易错点（速记） 1. 只算一种偏转方向，忘记电性/B方向双向。 2. 速度旋转时，漏掉“反向圆弧”的解。 3. 周期性问题，n取值忘记受边界限制，n不能无限大。 4. 圆心角看错：用弦切角代替圆心角，时间算错。 5. 边界遮挡：有的轨迹几何上存在，但被边界挡住，要舍去无效解。 三：一句话口诀 方向不定转圆找，电性磁场两边跑； 边界反弹周期解，相切临界把界卡。 题型01：带电粒子电性不确定形成多解 【典型例题】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 【典型例题2】（多选）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（　　） A．粒子一定带正电 B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确； BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图 粒子运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 解得粒子入射速率 若，粒子运动轨迹如图 根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确； D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图 根据几何关系可知 解得 D正确。 故选ACD。 【变式训练1-1】（多选）如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点 D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 【答案】ABD 【解析】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有如图四种 A．根据轨迹，粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点，故A错误； B．如图，粒子B的位置在B1、B4，由于洛伦兹力对粒子不做功，则速度跟在A点时的速度大小相等，但方向不同，故B正确； C．如图，设L1与L2之间的距离为d，则A到B2的距离为 x= 所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成角斜向上，则每次经过一个周期前进的距离为 则经过三个周期后经过B点。故C错误； D．由图可知，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能，故D正确。 故选ABD。 【变式训练1-2】（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子一定带负电荷 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】　BCD 【解析】若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为r1，运动轨迹如图甲所示，由图中几何关系可得L2＋(r1－0.5L)2＝，解得r1＝L，由洛伦兹力提供向心力qv1B＝m，解得v1＝，由动量定理得I＝2mv1＝，A错误，C正确;若粒子的运动轨迹如图乙所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹半径最小，r2＝，速度最小，由qv2B＝m，解得v2＝，B正确;若粒子带负电，运动轨迹如图丙所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以带电粒子在磁场中运动的时间为t＝，D正确。 【变式训练1-3】（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，其边界如图中虚线abcde所示，虚线上部空间有垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，bcd是半径为R的半圆，ab、de与直径bd共线，a、b间的距离等于半圆的半径R.一个比荷为k的带电粒子在纸面内从a点垂直于ab以某一速度v(未知)射入磁场，在磁场力的作用下向右偏转，且恰好以最短时间通过磁场，不计粒子重力．则下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直半圆平面向里 B．带电粒子在磁场中运动的最短时间为 C．带电粒子的速度大小为kBR D．若带电粒子从直线bd上任意一点仍以相同大小的速度v垂直于bd射向圆弧边界，则带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过直径上的d点 【答案】BCD 【解析】电荷正负未知，所以无法确定磁场方向，A项错误；带电粒子在磁场中运动的时间最短时，过a作圆弧切线，α最大，从切点射出磁场时，在磁场中转过的圆心角最小，最短时间为，B项正确；因带电粒子恰好以最短时间通过磁场，则粒子做圆周运动的半径为R，故其速度大小为kBR，C项正确； 因任意四边形OABd是菱形，所以从A点进入磁场后经磁场偏转后一定过d点，D项正确．故选B、C、D三项． 【变式训练1-4】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？ 【答案】（q为正电荷）或（q为负电荷） 【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。 （1） 若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN'相切的圆弧， 轨迹半径R＝，又d＝R－Rcos 45° 解得v＝。 （2）若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的圆弧，则有 R'＝，d＝R'＋R'cos 45°， 解得v'＝。 题型02：速度不确定性形成多解 【典型例题1】如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【答案】B 【解析】A．若，粒子无碰撞直接从到，是圆筒直径，长度，速度与弦的夹角为，弦长 解得 由， ，故A错误； BCD． 如果粒子与筒壁发生一次碰撞，可能存在两种情况如上图，其中 左图中，由正弦定理； 右图中，由正弦定理； 根据的表达式，当时，有两个大于零的半径解和，而当时，只有一个大于零的半径解。 所以当，速度只有一个解 当，速度有两个解和，故B正确，CD错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b从O点沿垂直于磁场方向进入匀强磁场(只存在于屏P的右边)，最后打到屏P上。不计重力及离子间相互作用。下列说法正确的是(　　) A.a、b均带正电 B.a在磁场中运动的时间比b的短 C.a在磁场中运动的路程比b的短 D.a在P上的落点与O点的距离比b的小 【答案】AD 【解析】离子若要打在屏P上，需沿顺时针方向偏转，根据左手定则判断，a、b两离子都带正电，A正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，又知初速度大小也相同，由qvB=m可知，它们做圆周运动的半径相同，作出运动轨迹如图所示，由图可知，a在磁场中运动的路程比b的长，C错误；由t=可知，a在磁场中运动的时间比b的长，B错误；从图中可以看出a在P上的落点与O点的距离比b的小，D正确。 【变式训练2-1】（多选）如图所示，在水平荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏处有一粒子源，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，则（　　） A．所有粒子均会打到荧光屏上 B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为 C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为 D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为 【答案】BCD 【解析】A．由左手定则可知，带正电粒子在磁场中逆时针方向做匀速圆周运动，已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，如图所示 由图可知，粒子在磁场中的轨迹半径为周期为若粒子以水平向右方向射出，由图可知粒子不会打到荧光屏上，故A错误； B．当粒子打到荧光屏左侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最长，如图所示 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为，则有故B正确； C．当粒子打到荧光屏位置处于正下方时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最短，如图所示 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为，则有故C正确； D．当粒子打到荧光屏左侧位置对应的弦为直径时，该位置为打到荧光屏的最左端；当粒子打到荧光屏右侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，该位置为打到荧光屏的最右端；如图所示 由图中几何关系，粒子能打到荧光屏上的区域长度为故D正确。故选BCD。 【变式训练2-2】（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【答案】AB 【解析】如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝＋l2，又因为qv1B＝m，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝m，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。 【变式训练2-3】（多选）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【答案】BC 【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图所示，则 根据几何关系，有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当粒子上下均经历一次时，如图所示。 因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故可知B、C正确，A、D错误。 【变式训练2-4】空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电子枪将无初速的电子经加速电压加速后在纸面内垂直于SO的方向射出，两个形状为一圆弧的接收屏P1、P2拼接成半径为R的半圆形粒子接收器，直径沿SO方向放置，圆心位于O点，SO长度为2R。电子电荷量为e，质量为m。设电子击中接收屏即被吸收，不计电荷间的相互作用。 （1）为使电子能打到接收屏P1或P2上，求电子枪加速电压U的调节范围； （2）求能打到接收屏P1或P2上的电子从S点到击中接收屏的时间范围； （3）若接收屏P1损坏，可以通过调节电子枪加速电压使原本打在接收屏P1上的全部电子能打在接收屏P2上，至少需要调节多少次加速电压?（可能用到的数据：lg2≈0.301，lg5≈0.699，lg6≈0.778） 【答案】（1）；（2）；（3）至少需要调节2次加速电压 【解析】（1）电子在电场中加速，由动能定理 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力 联立可得 为使电子能打到接收屏P1或P2上，由几何关系可知，电子在磁场中的轨迹恰好和圆弧P1左侧相切时，电子轨道半径最小 故加速电压最小值为 电子在磁场中的轨迹恰好和圆弧P2右侧相切时，电子轨道半径最大 故加速电压最大值为 故电子枪加速电压U的调节范围。 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 故当电子轨迹恰好与接收屏相切时，能打到接收屏P1或P2上的电子运动的时间最长，此时电子恰好转动半个周期，则 运动轨迹所对应的圆心角越小，运动时间越短。如图，设轨迹与接收屏P1、P2交点为E，当SE与水平方向夹角最大，即SE与接收屏相切时，运动时间最短 由几何关系可知，在中，故轨迹对应的圆心角为，所以运动时间为 所以能打到接收屏P1或P2上的电子从S点到击中接收屏的时间范围为 （3）当粒子打到P2接收屏最高点M点时 由几何关系可得 解得 故加速电压为 由（1）分析可知，由题意可知，第一次调节电压增量为，使原来半径为的粒子打到M点，此时电压的增量 使原来半径为r1、加速电压为U1的粒子打到B点，有 解得 第二次调节电压增量为，使原来半径为r1，电压为U1的粒子打到M点，则有 使原来半径为r2，电压为U2的粒子打到B点， 有 解得 故至少需要调节2次加速电压，就可以使原本打在接收屏P1上的全部电子能打在接收屏P2上。 【变式训练2-5】平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【解析】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 【变式训练2-6】如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 ．【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）沿方向入射的粒子恰好经过点，则轨迹圆半径 由牛顿第二定律得 解得比荷 （2）由图可知，粒子从点沿偏右射入在磁场中运动时间最长，在第一象限没有磁场区域运动的位移也最大，故总时间最长。 磁场中运动为三分之一周长， 第一象限没有磁场区域运动的位移 时间 粒子在第一象限内运动的最长时间为 （3）由可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于轴，如图所示 设磁场区域上有粒子离开的最低点为，最高点为，根据几何关系可知，点与圆心重合，右侧轨迹经过点，则有 有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积 题型03：运动具有周期性形成多解 【典型例题1】如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示 分析可知，由于粒子从b点从左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动的圆弧数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得粒子运动的半径为 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 A．当时，。符合条件，故A正确； B．当时，。不符合条件，故B错误； C．当时，。不符合条件，故C错误； D．当时，。不符合条件，故D错误。 故选A。 【典型例题2】（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】AD 【解析】AB．电子沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径满足 根据洛伦兹力提供向心力有 可得电子的速度大小 当时，则电子的速度小于，A错误，B正确； CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直NP边过E点射出，设最大半径为R，则 电子偏转的角度 解得 磁场变化周期，C正确，D错误。 电子偏转的角度由决定，要满足电子垂直于NP边过E点，必须为，因此一定为，C正确，D错误。 故选AD。 【典型例题3】（多选）如图，纸面内有一矩形abcd，其长ab为4l、宽ad为，P、Q为ab边上的点，。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为q（）的粒子，从P点垂直ab以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直ab射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】AB．根据粒子从P点垂直ab射入磁场，从Q处进入无场区，可判断粒子做圆周运动的半径 粒子在磁场中做圆周运动，有 解得 粒子速度变为 粒子在磁场中做圆周运动，有 由数学知识可知，粒子先以Q为圆心做个圆周运动到ad的中点M，再沿直线MN运动到N（Nc=l），再经过个圆周运动到P点，沿直线PM运动到M，再经过个圆周运动到N点，沿直线NP运动到P，之后重复上述运动，粒子运动轨迹如图所示 可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间 由M点沿直线运动到N点所用时间 粒子以2v1垂直ab向外经过P，则粒子运动的时间 粒子运动的路程 当k=2时为A选项，而B选项无法取到，故A正确，B错误； CD．粒子以2v1大小与ab方向成30°角经过P，则 粒子运动的路程 当k=2时为C选项，当k=3时为D选项，故CD正确。 故选ACD。 【典型例题4】（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据洛伦兹力提供向心力 可得 则在第Ⅰ象限内运动的半径为 在第Ⅳ象限内运动的半径为 设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限次，根据几何关系有 解得， A，当时，n不为整数，故A错误； B，当时，n=0，不符合取值范围，故B错误； C，当时，，故C正确； D，当时，，故D正确。 故选CD。 【典型例题5】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×105C/kg，不计粒子重力。 (1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻； (2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值； (3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。 【答案】(1)0.001m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为 【解析】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由 解得 当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间 (2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得： 与轴交点坐标的最大值为 与轴交点坐标的最小值为 (3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论： 如图可见1、2、3、4时可能的分段情况． ①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动 ②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期 ③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期 ④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期 当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长． 综上可得： (1)当取非的正整数时，均可以回到出发点． (2)当时，最小循环周期为 ． 【典型例题6】如图所示，直角坐标系的第二象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿轴负方向的另一匀强电场，两电场的场强大小相等。轴右侧区域Ⅰ和区域Ⅱ内分别存在磁感应强度大小不同、方向均垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的分界线与轴平行，在分界线上有一长为的绝缘弹性薄挡板，挡板关于轴对称。现在点沿轴正方向射入一初速度大小为的带正电的粒子，粒子进入第二象限运动，穿过轴上的点进入区域Ⅰ的磁场，在点的速度方向与轴正方向成角，之后又垂直挡板从挡板的上边缘进入区域Ⅱ。粒子在区域Ⅱ运动过程中会与挡板的中央发生碰撞，后又经区域Ⅰ、第三象限回到轴负半轴。已知该粒子的质量为、电荷量为，不计粒子重力，，在与挡板进行碰撞时粒子的电荷量和动能均无变化。则在此过程中，求： (1)点到原点的距离； (2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小； (3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间； (4)粒子第一次回到轴负半轴时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）（1）粒子在第二象限做类平抛运动，在的速度大小为，方向与轴正方向成角，沿轴正方向做匀速运动，有， 沿轴正方向做匀加速运动，有， 由以上各式可得 （2）由（1）可得 在区域Ⅰ中粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 如图所示 根据几何关系有 可得， （3）粒子在区域Ⅱ中也做匀速圆周运动，可能轨迹如上图所示 则半径的可能值满足（，2，3……） 圆周运动周期 粒子在区域Ⅱ中的运动时间（，2，3……） 解得 （4）由对称性可知，粒子从轴负半轴上的点进入第三象限，与关于对称，在点的速度方向与轴正方向成角，在第三象限，粒子沿轴正方向做匀速运动，则 沿轴负方向做匀加速运动，则 由对称性可知 粒子回到轴负半轴时的速度大小 【变式训练3-1】垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 【变式训练3-2】如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图．螺线管内存在磁感应强度为、方向平行于管轴的匀强磁场．电子枪可以射出速度大小均为，方向不同的电子，且电子速度与磁场方向的夹角非常小．电子电荷量为、质量为电子间的相互作用和电子的重力不计．这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上点．下列说法错误的是． A.电子在磁场中运动的时间可能为 B.荧光屏到电子入射点的距离可能为 C.若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在点 D.若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在点 【答案】D 【解析】解：由题图可知，螺线管内磁场方向水平向右，将粒子速度沿水平方向、竖直方向正交分解，则粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速圆周运动，粒子螺旋式前进，设螺线管长为，若这些电子通过磁场会聚在荧光屏上点，则需满足：， 为粒子竖直方向做圆周运动的周期，又因为：， 解得周期为：， 联立可得：， 因为电子速度与磁场方向的夹角非常小，所以：， 可见，粒子的速度只要满足：， 即粒子的运动时间为粒子做圆周运动周期的整数倍，粒子就可以会聚到点。 A、由上述分析可知，若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达点，则运动的时间可能为，故A正确； B、若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达点，则：，故B正确； C、由上述分析可知当粒子速度为时，，故当粒子速度为时，，即粒子的运动时间仍然为粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子一定能会聚在点，故C正确； D、当粒子速度为时，，即粒子的运动时间不是总等于粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子不一定能会聚在点，故D错误。 本题选错误的。故选：。 【变式训练3-3】如图所示，长方体a1b1c1d1—a2b2c2d2处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，a1b1c1d1为边长为L的正方形，a1a2竖直，O1、O2、O3、O4为相应边a1b1、a2b2、c2d2、c1d1的中点。在平面a1a2b2b1内有质量为m、电荷量为q（q>0）的带正电粒子从O2沿该平面以速度v（大小未知）射入匀强磁场，速度v的方向与底边a2b2的夹角θ=45°，经历一定时间，粒子恰好能到达O4位置，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度 B．粒子在运动过程中的轨迹一定与a1a2d2d1平面相切 C．长方体的a1a2边的长度可能为 D．粒子从O2运动到O4经历的时间可能为 【答案】C 【解析】A．将粒子的速度沿水平方向与竖直方向分解，可知粒子在水平方向上的分运动为匀速圆周运动，竖直方向上的分运动为匀速直线运动，粒子恰好到达O4位置，则粒子做圆周运动的轨道半径 根据 解得 故A错误； B．若粒子在水平方向上仅运动半个圆周到达O4位置，此时粒子的轨迹并没有与a1a2d2d1平面相切，故B错误； C．粒子到达O4位置的时间（n=0，1，2，3…） 长方体的a1a2边的长度h=vsin θ·t 解得（n=0，1，2，3…） 当n=2时，解得 故C正确； D．结合上述解得（n=0，1，2，3…） 当粒子从O2运动到O4经历的时间为时，解得 不符合要求，即粒子从O2运动到O4经历的时间不可能为，故D错误。 故选C。 【变式训练3-4】（多选）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【答案】　BC 【解析】若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。 当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L， 根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°，故B、C正确，A、D错误。 【变式训练3-5】（多选）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无磁场，圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以大小为v的速度沿半径方向射出，射出后粒子做周期性运动。不计粒子重力，则粒子运动的周期可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】作出粒子的部分运动轨迹如图：    以后以同样的运动形式，直到速度回到开始的速度则完成一个周期性运动，则粒子运动的周期 其中 当时，周期 当时，周期 故选AD。 【变式训练3-6】如图1所示，长方体区域的上表面OABC为一正方形，以O点为坐标原点建立图示的空间直角坐标系，yOz平面的左侧存在沿z轴正向的匀强磁场，yOz平面右侧的长方体区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场，且随时间的变化规律如图2所示（取沿y轴正向为正），两区域的磁感应强度大小相等。0时刻从空间坐标（，，）的M点（图中未标出）发射一比荷为k的正粒子，粒子的初速度大小为，方向与x轴正方向的夹角，一段时间后粒子恰沿x轴正向从O点进入长方体区域，最后恰从B点沿x轴正向射出，不计粒子的重力，求： (1)磁场的磁感应强度的大小。 (2)正方形OABC边长a满足的条件。 (3)若正方形OABC的边长，长方体区域的高度，当该正粒子经过O点时，立即在长方体区域内加上沿y轴负向的匀强电场，粒子最后恰从点射出，求所加匀强电场的电场强度及粒子经过点时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）带电粒子从M点运动至O点的径迹如图甲所示，则由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 解得， （2）带电粒子在磁场中的运动周期 粒子0时刻发出后经过进入磁场，此后每经过，方向改变一次，因而带电粒子在正方形OABC区域内的运动情况如图乙所示 则有（n=1，2，3…） （3）设带电粒子从O点运动至B'点经历的时间为，在xOz平面内有 y轴负方向上有 联立解得 经过点时y轴负向的速度 其速度大小 解得 【变式训练3-7】在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)； 【解析】（1）带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 又 联立，解得 （2）如图所示， 若带电粒子不能从Oa边射出，则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是t，带电粒子不能从Oa边射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 （3）若要粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图所示 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为，其中，即 满足这一条件的磁感应强度变化的周期 每一个圆弧对应的弦长OM为 圆弧半径为 又 联立，解得 【变式训练3-8】如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）粒子的运动轨迹如图甲所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由 代入数据，解得 （2）因为，粒子的轨迹如图乙所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 ， 由 联立上述方程可解得 ， 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为 ， 代入上述公式，可解得 ， 代入数据解得 ， 【变式训练3-9】如图所示，在第一、四象限有垂直于纸面向里和向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OM 是两磁场区域的交界线，两区域磁场磁感应强度大小相同 B =0.1T，OM 与 x 轴正方向夹角为α。在第二、三象限存在着沿 x 轴正向的匀强电场，电场强度大小E= 1×104V/m。一带正电的粒子,质量m=1.6×10 −24kg、电荷量q=1.6×10−15C，由 x 轴上某点 A 静止释放，经电场加速后从 O 点进入Ⅱ区域磁场（带电粒子的重力不计） （1）若 OA 距离l1=0.2m，求粒子进入磁场后，做圆周运动的轨道半径大小R1； （2）要使经电场加速后，从O 点进入磁场的所有带电粒子仅在第一象限区域内运动，设计两磁场区域大小时，角α最大不能超过多少？ （3）若=30°，OM 上有一点 P（图中未画出），距 O 点距离l2=0.3πm。上述带正电的粒子从 x 轴上某一位置 C 由静止释放，以速度 v 运动到 O 点后能够通过 P 点，v 等于多大时，该粒子由 C 运动到 P 点总时间最短，并求此最短时间。 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】(1)设粒子到O点时速度大小为，从P到O点过程，有 ① 得 在磁场中对粒子有 ② 得 (2)设粒子进入磁场后，在Ⅰ和Ⅱ磁场区域做圆周运动的半径相同设为r.当a取最大值时，粒子运动轨迹如图 由几何关系可知 ③ 得 又因为 ④ 得 要使从0点进入磁场的带电粒子仅在y轴右侧区域运动，不能超过. (3)设粒子运动至0点速度大小为v，粒子在电场中运动时间为，加速度大小为a，对粒子有 ⑤ 得 ⑥ 粒子在磁场中做匀速圆周运动轨道半径为r，周期为T对粒子有 ⑦ 得 ⑧ 得 如图由几何关系知 ⑨得 粒子每次在任意磁场中运动圆弧的圆心角均为，弦长 假设粒子在磁场中刚好运动到P点时间为，则有 ⑩ 粒子运动到0点时间为t，则有 代入数据有 当，即：时 此时，将带入 得 假设成立，故粒子运动至P点最短时间为. 【变式训练3-10】如图甲所示，比荷=k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB=L，宽AD=L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。 （1）若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？ （2）要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？ 【答案】（1）(n=1，2，3…)，T0=(n=1，2，3…)，（2）B0T0≤。 【解析】（1）带电粒子在长方形区域内做匀速圆周运动，设粒子运动轨迹半径为R，周期为T，则可得 解得 R== 周期 每经过一个磁场的变化周期，粒子的末速度方向和初速度方向相同，如图所示， 要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则经历的时间必须是磁场周期的整数倍，AB方向： L=n·2RsinθBC方向： L=n·2R(1－cosθ) 解得 cosθ=1(舍去)，cosθ= 所以 θ=60° 又 R= 即： B0=(n=1、2、3…) T0=(n=1、2、3…)； （2）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过AD边时运动情形如图所示 由图可知粒子在第一个T0时间内转过的圆心角： θ= 则： T0≤T 即 T0≤·≤ 所以： B0T0≤ 【变式训练3-11】如图所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示．开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图)，t＝0时刻有一带正电的粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向进入磁场，初速度为v0＝2×103m/s.已知该带电粒子的比荷为＝1.0×104 C/kg.试求： (1)t1＝×10－4 s时粒子所处位置的坐标(x1，y1)； (2)带电粒子进入磁场运动后第一次到达y轴时离出发点的距离h. 【答案】(1)　(2)1.6m 【解析】(1)由题意知，粒子进入磁场后在磁场中做圆周运动，设半径为R，周期为T，由洛伦兹力提供向心力，有： qv0B＝① T＝＝② 联立①②并代入数据得： T＝4π×10－4 s③ 比较粒子在磁场中做圆周运动的周期T和磁场变化周期可知，粒子在t1时间内运动了三分之一圆周，其圆心为O1，运动轨迹对应的圆心角为120°，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．由图中几何关系有： x1＝Rcos 30°④ y1＝R(1＋sin 30°)＝1.5R⑤ 联立①④⑤并代入数据得： x1＝m y1＝0.6m. 故t1＝π×10－4s时，粒子所处位置的坐标为. (2)根据磁场的变化规律知，粒子在磁场的前半个周期后三分之一内做圆周运动的方向将发生变化，设其圆心为O2；后半个周期前三分之二内做圆周运动的圆心为O3，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示． 由图中几何关系有： ＝R⑥ ＝4Rsin30°＝2R⑦ ＝R⑧ 联立①⑥⑦⑧⑨并代入数据得： h＝1.6m. 【变式训练3-12】如图甲所示，xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，周期均为，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．t=0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O开始运动，此时速度大小为，方向为＋x轴方向．已知电场强度大小为，磁感应强度大小，不计粒子所受重力．求： （1）t0时刻粒子的速度大小及对应的位置坐标； （2）为使粒子第一次运动到y轴时速度沿－x方向，B0与应满足的关系； （3）（n为正整数）时刻粒子所在位置的横坐标x． 【答案】(1) ,( )(2) (3) 【解析】（1）在电场中运动，沿着x轴正方向有： 沿着y轴正方向，有： 由牛顿第二定律，有：qE0=ma 运动的速度大小 联立解得：，粒子的位置坐标为 （2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则： 解得： 则粒子第一次运动到y轴前的轨迹如图所示： 粒子在磁场中做圆周运动时，有： 圆心在y周期上，结合几何关系得到： 且 联立解得： （3）粒子在磁场中做圆周运动的周期为，即在时间内粒子转了半圈，在x方向向左移动，时刻速度大小仍为 ，方向与 时刻速度方向相反，在 时间内粒子做匀变速曲线运动，根据对称性可知，粒子运动轨迹与 时间内相同，时刻速度大小为，方向沿着x轴负方向，在 时间内粒子转动半圈， 时刻速度大小为，方向沿着x正方向，如图所示 则 时间内粒子在x方向向左移动的距离为 由几何关系得： 则粒子的横坐标 【点睛】本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的在电场和磁场中受力情况，确定其运动情况，从而根据运动的性质列出运动方程，本题中最关键是运用几何知识求解坐标． 【变式训练3-13】在矩形区域中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中为边界上的一点,且重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入磁场,已知粒子的比荷为求： (1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开,则磁场的磁感应强度应为多大? (2)如果磁场的磁感应强度欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场,则磁场的变化周期应满足什么条件? (3)如果磁场的磁感应强度在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过垂直边离开磁场,再次进入磁场后经过从点离开磁场区域,则电场强度E以及粒子在电场中的路程分别为多大? 【答案】(1)； (2)；(3)； 【解析】（1）由题意作出粒子的运动轨迹，如图1所示， 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系，有 解得 由于 解得 ； （2）由可知，粒子运动的半径为 临界情况为粒子从t=0时刻射入，并且轨迹恰好与ad边相切，如图2所示 圆周运动的周期为 ； 由几何关系可知，内，粒子转过的圆心角为； 对应运动时间为 应满足 联立可得 （3）根据题意画出粒子的运动轨迹如图3所示 由题意有 得 在电场中有 往返一次用时为 ； 应有，可得 ，（n=0，1，2…）； 运动的路程为 ，（n=0，1，2，3…） 【变式训练3-14】如图（甲）所示，两带等量异号电荷的平行金属板平行于x轴放置，板长为L，两板间距离为，金属板的右侧宽为L的区域内存在如图（乙）所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直．现有一质量为m，带电荷量为+q的带电粒子，从y轴上的A点以速度沿x轴正方向射入两板之间，飞出电场后从点（L，0）进入磁场区域，进入时速度方向与x轴夹角为30°，把粒子进入磁场的时刻作为零时刻，以垂直于纸面向里作为磁场正方向，粒子最后从x轴上（2L，0）点与x轴正方向成30°夹角飞出磁场，不计粒子重力．试求： （1）求粒子在两板间运动时电场力对它所做的功； （2）计算两板间的电势差并确定A点的位置； （3）写出磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T应满足的表达式． ．【答案】（1）；（2） ,；（3） , 【解析】（1）设粒子刚进入磁场时的速度为v，则 电场力对粒子所做的功为： （2）设粒子刚进入磁场时的竖直分速度为，则 水平方向 竖直方向 解得 电场力对粒子所做的功 两板间的电压 解得 （3）由对称性可知，粒子从 点飞出磁场的速度大小不变，方向与x轴夹角为 在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为 故磁场变化的半个周期内，粒子在x轴上的位移为 粒子到达 处且速度满足上述要求是 由牛顿第二定律，有 解得 粒子在变化磁场的半个周期内恰好转过周期，同时在磁场中运动的时间是变化磁场半个周期的整数倍，可使粒子到达 处且满足速度题设要求 ， 解得 【变式训练3-15】如图a所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图b所示规律变化（垂直于纸面向外为正）．t=0时，一比荷为C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小，不计粒子重力． ⑴求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径． ⑵求时带电粒子的坐标． ⑶保持b中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0.3T，在t=0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻． 【答案】（1）1m   （2）[3.41m，﹣1.41m] （3） 【解析】试题分析： （1）带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力， r =1m （2）带电粒子在磁场中运动的周期，s 在0~s过程中，粒子运动了，圆弧对应的圆心角， 在s ~s过程中，粒子又运动了 ，圆弧对应的圆心角， 轨迹如图a所示，根据几何关系可知， 横坐标：m 纵坐标：m 带电粒子的坐标为（3．41m，-1．41m） （3）施加B2=0．3T的匀强磁场与原磁场叠加后，如图b所示， ①当（n=0,1,2,…）时， s ②当（n=0,1,2,…）时， 粒子运动轨迹如图c所示，则粒子回到原点的时刻为， （n=0,1,2,…） 【变式训练3-16】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小。 （2）要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）　（2）（n＝1，2，3，…） 【解析】设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。 （1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则B0qv0＝ 正离子做匀速圆周运动的周期T0＝ 由以上两式得磁感应强度B0＝。 （2）要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动一个周期T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有R＝（n＝1，2，3，…）。 联立解得正离子的速度的可能值为 v0＝＝（n＝1，2，3，…）。 【变式训练3-17】如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得 【变式训练3-18】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ=30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 (1)求A点到y轴的距离x和E1的大小； (2)求B的大小； (3)若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【答案】(1)， (2)（n=1，2，3…） (3)[，]（k=0，1，2，3…） 【解析】（1）粒子在第二象限做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上有， 解得， （2）带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域，作出最简单的运动轨迹，如图所示 由于粒子可以多次经过x轴最后恰好从交点P进入MN右侧区域，根据几何关系有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得（n=1，2，3…） （3）当时，结合上述，粒子在中间磁场中运动轨迹如图所示 进入右边复合场中的速度大小仍为v0，方向如图所示与x轴正方向的夹角也为θ。将粒子在右边复合场的速度沿x轴方向和垂直于x轴方向正交分解，x轴方向有 x轴垂直方向有 分速度v2使粒子受到的洛伦兹力 方向沿x轴负方向。粒子受到的电场力 方向沿x轴正方向，F洛2与F电平衡，则粒子沿v2方向做匀速直线运动。分速度v1使粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为r1，则有， 解得， 粒子在MN右侧运动过程中，每一次离y轴最远时，x坐标为 y坐标分MN左右两边来分析，作出粒子运动轨迹如图所示 粒子在MN右边离y轴最远时，由于存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为 又由于存在分速度v2，沿NM方向做匀速直线运动，每转圈的时间内，y方向位移 在MN左边运动过程中，粒子从右向左穿过MN时速度大小仍为v0，方向与x轴负方向所成夹角仍为θ=30° 在MN左边磁场中运动的轨道半径 r2在MN上的分量 综合上述可知，粒子在MN右侧离y轴最远时的y坐标（k=0，1，2，3…） 解得 即在MN右侧粒子离y轴最远时坐标为[，]（k=0，1，2，3…） 【变式训练3-19】如图所示，在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方有沿着y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的某点M由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求M点到O点的距离； （2）改变粒子在y轴上的释放点，使粒子由N点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求N点到O点的距离； （3）在（2）过程中，求粒子从N点由静止释放到射出磁场的运动时间。 【答案】（1）；（2）（n=0，1，2…）；（3）（n=0，1，2，…） 【解析】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R0，由几何关系可知解得 由牛顿第二定律得设M点到O点的距离为y0，由动能定理得 解得 （2）要使粒子由N点静止释放后能沿垂直于斜边的方向射出磁场，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R满足：由牛顿第二定律得设N点到O点的距离为y，由动能定理有 解得（n=0，1，2…） （3）设粒子在电场中的加速度为a，则qE=ma设粒子在电场中每单程的运动时间为t0，则 粒子在电场中总的运动时间t1=(2n+1）t0（n=0，1，2，…）解得粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子在磁场中总的运动时间（n=0，1，2，……）解得（n=0，1，2，…） 粒子从N点由静止释放到射出磁场运动的总时间（n=0，1，2，……） 【变式训练3-20】如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值． 【答案】     【解析】根据运动的对称性，粒子能从P经A到达Q，运动轨迹如图所示， 由图可得：L＝nx 其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由几何关系知，偏转圆弧对应的圆心角为或． 设粒子运动轨迹的半径为R，由几何关系可得：2R2＝x2 解得： 又 解得： 当n取奇数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为： 从P经A到Q的总时间为： 当n取偶数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为： 从P经A到Q的总时间为： 综合上述两种情况，可得粒子从P经A到达Q所用时间的最小值为： 题型04：磁场方向不确定的多解问题 【典型例题】（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A.B>，垂直纸面向里 B.B>，垂直纸面向里 C.B>，垂直纸面向外 D.B>，垂直纸面向外 【答案】　BD 【解析】　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝;当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，切点为N，由几何关系知s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。 【变式训练】在平面直角坐标系x0y中，第I象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在A（L，0）点有一粒子源，沿y轴正向发射出速率分别为v、5v、9v同种带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。在B（0，L）、C（0，3L）、D（0，5L）放一个粒子接收器，B点的接收器只能吸收来自y轴右侧到达该点的粒子，C、D两点的接收器可以吸收沿任意方向到达该点的粒子。已知速率为v的粒子恰好到达B点并被吸收，不计粒子重力。 （1）求第I象限内磁场的磁感应强度B1； （2）计算说明速率为5v、9v的粒子能否到达接收器； （3）若在第Ⅱ象限内加上垂直于坐标平面的匀强磁场，使所有粒子均到达接收器，求所加磁场的磁感应强度B2的大小和方向。 ．【答案】（1）；（2）速率为的粒子被吸收，速率为的粒子不能被吸收；（3）见解析 【解析】（1）由几何关系知，速率为的粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为 由牛顿运动定律得 解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动，有 速率为的粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为 可得速率为、的粒子在磁场中的半径分别为、。 设粒子与轴的交点到的距离为，根据几何关系有 将和分别代入得这两种粒子在轴上的交点到的距离分别为、。 故速率为的粒子被吸收，速率为的粒子不能被吸收。 （3）若速度为的粒子能到达点的接收器，则所加磁场应垂直坐标平面向外，如图： 设离子在所加磁场中的运动半径为，由几何关系有 又 解得（或） 若粒子到达点的接收器，所加磁场应垂直于坐标平面向里，同理 又 解得（或） 题型05：临界状态不唯一的多解问题 【典型例题1】如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝L。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子能通过cd边的最短时间t＝ B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝ C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝ D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤ 【答案】　D 【解析】　粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，如图所示，根据几何关系有(r2－L)2＋(L)2＝，解得r2＝2L，则转过的圆心角的正弦sin θ＝，即θ＝60°，粒子在磁场中运动的周期T＝，则粒子能通过cd边的最短时间t＝T＝，故A错误;若粒子恰好从c点射出磁场，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，解得v2＝，故B错误;若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其半径r1＝，根据qv1B＝m，解得v1＝，故C错误;若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点射出时半径最大，对应的入射速度最大，则vm＝，若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤，故D正确。 【典型例题2】如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 可得 粒子仅在磁场中运动，则 或 代入可得 或 故选ACD。 【典型例题3】如图所示，间距为的两竖直虚线、边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，点到边界、的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，经历一段时间后，粒子到达点正上方的点（图中未画出）处，则、两点间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度做匀速直线运动，在水平面内以速度做匀速圆周运动，则有 运动周期为 由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，所以有 解得 经历一段时间后，粒子到达点正上方的点处，则有（），当n=1时，O、A两点间的距离 当n=2时，O、A两点间的距离，无论n取其他任何整数AD都不可能。 故选BC。 【变式训练5-1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】A 【解析】AB．粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示 由几何关系可得 则粒子的入射速度，故A正确，B错误； C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为，故C错误； D．与bc边相切恰从bc边射出粒子的对应的圆心角最大为 从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，故D错误。 故选A。 【变式训练5-2】如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【答案】D 【解析】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直指向右下方。 当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，所以粒子运动的半径 由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间，故B错误； D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线上方处； 当θ增大时，粒子打在PQ上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ相切时。 如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线下方处； 当θ继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ不相交，直接从MN上射出，且在MN上的出射点不断上移直到O点。 所以若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为，故D正确； C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期不变。 所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。 由D的分析可知，当粒子的出射点在PQ上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值； 当粒子的出射点在MN上时，粒子的弦长可取[0，]的任意值； 所以粒子运动轨迹的弦长最大可取，此时对应的中心角φ=120°。 所以粒子在磁场中运动的最长时间，故C错误。 故选 D。 【变式训练5-3】（多选）如图所示，P、Q为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0的大小可能为(　　) A. B. C. D. 【答案】　BC 【解析】设粒子带正电，根据左手定则可判断粒子刚进入板间时所受洛伦兹力方向向上，由于粒子不计重力，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，由题意知粒子在偏转以后打在板上，若粒子恰好未打在板上，与极板平行从左端射出，由几何关系知半径r1＝，速度v1＝;若粒子恰好从极板右端飞出，由几何关系知＝d2＋，解得r2＝d，速度v2＝，粒子要打在极板上，则初速度v0应满足的条件为<v0<，故A、D错误，B、C正确。 【变式训练5-4】（多选）如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（  ） A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 【答案】ABC 【解析】A．带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T＝2t0。作出粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹，如图所示。 发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A正确； B．作出粒子恰好从ab边射出的临界轨迹③④，由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于个周期，即；圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于个周期，即，故B正确； CD．作出粒子恰好从bc边射出的临界轨迹②③，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于个周期，即；圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于个周期，即，故C正确，D错误。 故选ABC。 【变式训练5-51】（多选）中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示 由几何知识可知，粒子最大轨道半径 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 要使粒子不离开磁场 由于 故选CD。 【变式训练5-6】（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 【变式训练5-7】（多选）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 【答案】AD 【解析】A．粒子经加速电压后，由动能定理可知 速度 代入磁场中半径公式 可求得粒子的轨迹半径与电压的关系，当时，半径 时，半径 时，半径 当粒子沿轴正方向射入磁场时，粒子在平面偏转半个圆周打在轴上，当加速电压为时粒子打中板上位置最远，为，因此打中板长度为，故A正确； B．当、粒子射向平面，恰好打在板上的临界情况如图所示 由几何关系可知 则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为 ，故B错误； C．当，粒子射向平面，速度方向与轴正方向夹时，粒子的运动轨迹如下图所示 将速度分解为沿轴方向的和沿轴方向的，则粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离轴最远，由可知，粒子与轴距离最大时的时间为，故C错误； D．当，粒子速度方向与平面和坐标轴夹角均为时，初速度大小为 将其分解为轴方向分速度 和平面分速度 粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，则经过时粒子的坐标为，故D正确。 故选AD。 【变式训练5-8】在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M，点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）由牛顿第二定律有 解得 当时，从圆心O点沿半径方向向外发射粒子如图所示。 由几何关系有 解得运动半径 故 （2）当时，速度为的粒子，运动半径，入射点在内圆上，向纸面内各个方向均匀发射，如图所示。 当入射方向与环的半径夹角为时，那么进入磁场再进入内圆再进入磁场时的夹角都为，也就是不会从外圆出去。由几何关系可知，在图中OM线上方范围入射的粒子都会从外圆射出去，在OM线下方范围入射的粒子都不会从外圆射出去。所以当时，速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比为。 （3）当时，由几何关系，下图中粒子源发出速度大小相同的粒子，从A点竖直向上进入磁场，角最大，最有可能从外圆射出去，即如果它都没有出去，则这个速度大小的粒子从其他方向发射也不会从外圆射出去，此时角为。 由余弦定理有 解得 所以 同理，由几何关系可知，图丙中粒子源发出的粒子，从B点向下进入磁场，角最大，最有可能射不出外圆，若它刚好射不出，此时角为，有 所以 速度大小为的粒子中，只有沿MB方向射出的恰好不会从外圆射出去，其他方向发射的都会从外圆射出去；速度大小比小的粒子沿各个方向发射都不会从外圆射出去，速度大小介于到之间的粒子要看发射方向，一部分会从外圆射出去，一部分不会从外圆射出去。 【变式训练5-9】如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 【答案】(1)负电， (2) (3)，， 【解析】（1）粒子从P点沿半径方向射入I区，偏转后从K点离开I区，根据左手定则可知，四指指向与粒子运动方向相反，则带电粒子带负电。设带电粒子所带电量为-q，粒子在I区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图（a）所示 根据几何关系有 粒子在I区做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）带电粒子在II区做减速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 （3）带电粒子在III区运动，设轨迹半径为r1，III区磁场磁感应强度大小Bx，则有 结合上述解得 作出粒子运动轨迹，如图（b）所示 设粒子在b圆面上N1射入III区，在N2点离开III区，令∠N1ON2=θ，在I区内运动k1次，III区内运动k2次后，回到P点，则有（k1、k2均为正整数，且有，） 可知，粒子运动轨迹有三种可能性。情况i： 当k1=1，k2=1时，时，带电粒子在III区运动后，沿PO方向直接进入II区时，运动轨迹如图（c）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况ii： 当k1=2，k2=1时，，带电粒子在III区运动后，进入II区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如如图（d）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况iii： 当k1=3，k2=2时，，带电粒子两次进入III区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，轨迹如图（e）所示 根据几何关系有r1=2R 结合上述解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $