第08讲 带电粒子在叠加场的运动 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

第08讲 带电粒子在叠加场中的运动讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：带电粒子在叠加场中的直线运动 7 题型02： 带电粒子在叠加场中的圆周运动 16 题型03：带电粒子在叠加场中的“旋进”运动 24 题型04：带电粒子在叠加场中一般曲线运动 29 题型05：带电粒子在空间叠加场中的运动 35 题型06：带电粒子在叠加场中的动量问题 38 题型07：带电粒子在叠加场的应用实例模型 42 （一）速度选择器模型 42 （二）磁流体发电机模型 45 （三） 电磁流量计模型 48 （四）霍尔效应及霍尔元件模型 51 1. 题型：高考高频压轴/次压轴，选择、计算题都有；常以复合场、叠加场模型命题。 2. 核心特点：同时存在两种或三种场（匀强电场、匀强磁场、重力场），场相互叠加，粒子同时受洛伦兹力、电场力、重力。 3. 命题方向 ① 受力平衡：匀速直线运动（速度选择器模型，选择题居多） ② 重力、电场力抵消，只剩洛伦兹力：匀速圆周运动（计算题高频） ③ 三力不抵消：复杂曲线运动（一般用动能定理求解，不拆解圆周） 4. 易错点：忘记考虑重力；混淆洛伦兹力不做功；不会拆分受力。 1. 能快速判断粒子受重力、电场力、洛伦兹力，分清各力特点（洛伦兹力永不做功）。 2. 会对叠加场分类：平衡模型、匀速圆周模型、变加速曲线模型。 3. 掌握两类核心方法：受力分析+牛顿定律、动能定理。 4. 能独立画轨迹图，寻找几何关系，规范列式。 知识点一:带电粒子在叠加场中的运动 一：叠加场 静电场、磁场、重力场在同一区域共存，或其中某两场在同一区域共存。 二：常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 三种场的比较 项目 名称 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同；②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 三：带电粒子(带电体)在叠加场中运动的解题思路 1.弄清叠加场的组成，一般有磁场、电场的叠加，电场、重力场的叠加，磁场、重力场的叠加，磁场、电场、重力场三者的叠加。 2.正确分析受力，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析。 3.确定带电粒子(带电体)的运动状态，注意运动情况和受力情况可能会相互影响。 4.画出粒子(带电体)的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。 5.对于粒子(带电体)连续通过几个不同叠加场的问题，要分阶段进行处理。衔接点的速度不变往往是解题的突破口。 四：带电粒子在场中无约束情况下，常见的几种情况： 1.电场力、重力并存——电场力+重力＝F等效（恒力） ①静止或匀速直线运动←→ F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）； ②匀加/减速直线运动←→ F等效≠0且与v共线； ③匀变速曲线运动←→ F等效≠0且与v不共线； 无圆周运动 2.磁场力、重力并存 ①匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直； ②变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，故机械能守恒 无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周 3.磁场力、电场力并存 ①匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直； ②变加速曲线运动（复杂曲线），可用动能定理求解。 无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周 4.磁场力、电场力、重力并存 ①静止←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝0； ②匀速直线运动←→ F电、mg、F洛三力平衡； ③匀速圆周运动←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn； ③变加速曲线运动（复杂曲线），可用能量守恒定律或动能定理求解。 无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动 五：是否考虑重力的判断 1.对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。 2.题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。 3.不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。 知识点二:带电粒子在叠加场中运动的模型 一：速度选择器 1.装置 2.原理：若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动。 3.速度选择器的特点 ①只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。 ②具有单一方向性：粒子只能从一侧射入才可能做匀速直线运动，从另一侧射入则不能。 二:磁流体发电机 1.装置和原理 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电。 2.磁流体发电机的电动势 ①当带电粒子不发生偏转时，有qvB＝qE＝，得U＝Bdv。 ②外电路断开时，电源电动势的大小等于路端电压，故此磁流体发电机的电动势E源＝U＝Bdv。 3.电源内阻：r＝ρ。 4.回路电流：I＝＝＝。 三：电磁流量计 1.流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。 2.导电液体的流速(v)的计算如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，当自由电荷不再发生偏转时，q＝qvB时，a、b间的电势差(U)达到最大，可得v＝。 3.流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。 4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb。 四：霍尔元件 1.霍尔效应与霍尔元件 高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。 2.电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。 3.霍尔电压的计算：当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)保持稳定，由qvB＝q，I＝nqSv，S＝hd，联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数。 步骤一：先受力分析（第一步！） 1. 微观粒子（电子、质子、α粒子）：一般忽略重力；油滴、尘埃、小球：必须考虑重力。 2. 电场力：=qE；重力：G=mg；洛伦兹力：=qvB，方向由左手定则。 关键：洛伦兹力随速度变化，永远不做功。 步骤二：判断运动类型（三大模型） 模型1：合力=0 → 匀速直线运动 条件：重力、电场力、洛伦兹力三力平衡。 典型：速度选择器 qE=qvB 思路：受力平衡列方程。 模型2：重力与电场力等大反向抵消，只剩洛伦兹力 → 匀速圆周运动 mg=qE；洛伦兹力提供向心力 qvB＝m，T＝，t＝T 思路：先验证重力电场力抵消；再用圆周运动+几何关系求半径、圆心角。 模型3：合力不为零，重力、电场力、洛伦兹力同时存在 → 复杂曲线运动 不能用圆周规律！优先动能定理 洛伦兹力不做功，只有重力、电场力做功：+=∆ 步骤三：规范解题流程 1. 确定研究对象，判断要不要计重力 2. 画出全部受力，判断运动模型 3. 平衡模型：列平衡方程；圆周模型：找圆心半径；复杂曲线：动能定理 4. 几何关系求位移/半径，联立求解 5. 检验结果 高频易错点 1. 看到带电小球直接忽略重力（坑！油滴、小球必须考虑重力） 2. 洛伦兹力做功（永远不做功） 3. 叠加场里强行用圆周运动公式（只有重力电场力抵消，才能匀速圆周） 题型01：带电粒子在叠加场中的直线运动 【典型例题1】如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 【典型例题2】如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带电的小球，整个装置处在由水平匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的v－t图象如下图所示，其中正确的是(　　) 【典型例题3】(多选)如图所示，在竖直平面内的虚线下方分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为10 N/C，方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为2 T，方向垂直纸面向里。现将一质量为0.2 kg、电荷量为＋0.5 C的小球，从该区域上方的某点A以某一初速度水平抛出，小球进入虚线下方后恰好做直线运动。已知重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.小球平抛的初速度大小为5 m/s B.小球平抛的初速度大小为2 m/s C.A点距该区域上边界的高度为1.25 m D.A点距该区域上边界的高度为2.5 m 【典型例题4】如图所示，在三维坐标系中，的空间同时存在沿轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿轴正方向的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　） A．电场强度大小为 B．带电粒子的比荷为 C．第二次经过平面的位置坐标为（，a，0） D．粒子第三次经过平面的位置与点距离为 【典型例题5】如图所示，在xOy坐标系的第一象限内，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，其中电场在0≤x≤2L的范围内，磁场在x≥L的范围内。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子(重力不计)从y轴上P点以初速度v0进入第一象限，速度方向与y轴负方向成α＝30°角，P点纵坐标为L。粒子经过电场后，刚好沿直线MN穿过电场、磁场叠加场区，最终从x轴上A点离开磁场，已知MN与x轴平行。求: (1)电场强度的大小E及M点的纵坐标yM; (2)粒子经过A点时的速度方向及A点的横坐标xA; (3)粒子从P点到A点所用的时间t。 【典型例题6】如图所示，空间有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，一质量的绝缘木板A静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量、带正电的滑块B，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数，滑块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对木板A施加水平向左、大小的恒力，当A、B刚要发生相对运动时A、B恰好运动到与A等高且足够长的光滑矮台，同时A撞上矮台，B滑上矮台通过弹簧推动质量滑块C，若C左侧某位置锁定一竖直弹性挡板Q（图中未画出），B、C分开前C会与Q碰撞，碰撞过程中没有能量损失，碰撞时间极短，碰后立即撤去Q。g取10m/s2。求： （1）A、B恰好运动到光滑矮台时B的速度大小； （2）初始时木板A左端到矮台的距离； （3）滑块C与挡板Q碰撞后，B与C相互作用的过程中，弹簧弹性势能最大值的范围。 【变式训练1-1】如图所示，在真空中竖直平面(纸面)内边长为a的正方形ABCD区域，存在方向沿CB(水平向左)的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)。一带电小球以速率(g为重力加速度大小)从A点沿AC方向射入正方形区域，恰好能沿直线运动。下列说法正确的是(　　) A.该小球带负电 B.磁感应强度方向垂直纸面向外 C.若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球将做直线运动 D.若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向以速率射入正方形区域，则小球将从D点射出 ，设轨迹半径为r，有qvB＝m，解得r＝a，有2rsin 45°＝a，所以小球将从D点射出，D正确。 【变式训练1-2】如图所示，一个不计重力的带电粒子以沿各图的虚线射入场中．中是两条垂直纸平面的长直导线中等大反向的电流，虚线是两条导线垂线的中垂线；中是两个位置固定的等量同种点电荷的电荷量，虚线是两位置连线的中垂线；中是圆环线圈中的电流，虚线过圆心且垂直圆环平面；中是正交的匀强电场和匀强磁场，虚线垂直于电场和磁场方向，磁场方向垂直纸面向外．其中，带电粒子不可能做匀速直线运动的是() A. B. C.D. 【变式训练1-3】如图所示，在以坐标原点O为圆心的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场，电场方向沿x轴正方向，磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入，带电粒子沿直线运动，经时间t0从P点射出。若仅撤去磁场，带电粒子经射出半圆形区域，不计粒子受到的重力，匀强磁场的磁感应强度大小为(　　) A. B. C. D. 【变式训练1-4】如图所示，整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，光滑绝缘斜面固定在水平面上。一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑，下滑过程中始终没有离开斜面，下滑过程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力力、加速度a与机械能等物理量的大小随时间变化的图线可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（多选）如图所示，空间中存在范围足够大的水平向右的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小E=40 N/C，磁感应强度大小B=0.5 T。以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。原点O处的粒子源可发射质量m=3×10-6 kg、电荷量q=1×10-6 C的带负电的粒子，粒子的发射速度大小和方向可调整。第一次实验发射的粒子恰能在xOy平面内做直线运动；第二次实验将匀强电场方向调整为竖直向下，电场强度大小调整为E'=30 N/C，发射的粒子速度大小调整为第一次实验发射速度大小的，且方向不变。取重力加速度g=10 m/s2，不计粒子间的相互作用，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（    ） A．第一次实验中，粒子发射速度大小为100 m/s B．第一次实验中，粒子发射速度方向与x轴夹角为37° C．第二次实验中，粒子发射后第一次经过x轴的坐标为（19.2 m，0） D．第二次实验中，粒子发射后第一次经过y轴的坐标为（0，-14.4 m） 【变式训练1-6】（多选）如图所示为绝缘固定的斜面的剖面图AD，AD与水平面的夹角为θ=37°，点O、点C为直线AD上的两点，OA段粗糙，OD段光滑，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场充满AD所在的空间，AD与磁场方向垂直。质量为m、电荷量为q的物块，在C点以某一初速度（未知）沿斜面AD向上运动，此时物块与斜面AD之间的相互作用力的大小为0.6mg，已知，，OA段的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列说法正确的是（　　） A．物块带负电 B．物块在C点上滑的初速度大小为 C．物块在斜面AD上做匀变速运动的时间为 D．物块在OA段因摩擦产生的热量为 【变式训练1-7】（多选）如图所示为两个完全相同的倾角为的绝缘固定斜面，以斜面中垂线为界，图甲中斜面的上半部分和图乙中斜面的下半部分空间分别存在磁感应强度大小均为、方向均垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的小滑块（可视为质点）分别从两斜面的顶端由静止释放后滑到斜面底端。小滑块在图甲中斜面运动时，小滑块经过斜面中点前瞬间的加速度为0，小滑块经过斜面中点时的速度为，到达斜面底端时的速度为；小滑块在图乙中斜面运动时，小滑块经过斜面中点时的速度为，到达斜面底端时的速度为。已知小滑块与斜面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A． B．一定大于 C．一定小于 D．可能小于 【变式训练1-8】如图所示，整个平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为，电场强度大小为，一些质量为，电荷量为的带正电粒子从原点点出发沿轴正方向以某初速度射入场区，不计粒子重力，求： (1)粒子初速度多大时，粒子沿轴做直线运动？ (2)粒子初速度多大时，粒子运动到最高点时速度刚好为0？ (3)若粒子一个周期内的运动轨迹与直线只有一个交点，求粒子初速度和运动过程中经过轴时的坐标。 【变式训练1-9】如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： (1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； (2)小圆柱体的加速度为时的速度大小； (3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； (4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 【变式训练1-10】如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求: (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小; (2)粒子的电荷量与质量之比; (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 【变式训练1-11】 如图1所示，在真空中有一光滑水平面xOy，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B；在第四象限存在沿－y轴方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m，电荷量为－q的小滑块在xOy平面内从y轴上的P点进入磁场，速度大小为，方向与＋y轴方向成30°角，刚好垂直于x轴进入由两平行挡板构成的狭缝MN中，狭缝足够长，宽度略大于滑块．已知滑块与挡板间动摩擦因数为，从M处离开狭缝时的速度大小为，在运动过程中电荷量保持不变。求： （1）P点的纵坐标y； （2）滑块克服摩擦力所做的功W； （3）在图2中定性画出滑块从进入狭缝到离开狭缝过程的速度—时间图像；并利用此图像计算滑块在此过程中所受电场力的冲量大小I。 【变式训练1-12】如图所示，质量为m，带电量为＋q的液滴，以速度v沿与水平成45°角斜向上进入正交的足够大的匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在场区做直线运动．重 力加速度为g，求： (1)电场强度E和磁感应强度B各多大？ (2)当液滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度多少？ (3)在满足(2)的前提下，粒子从A点到达与A点位于同一水平线上的B点(图中未画出)所用的时间． 【变式训练1-13】如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，质量为且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，g取。求： （1）刚开始滑块的加速度大小以及滑块受到的摩擦力大小； （2）滑块匀加速所达到的最大速度以及绝缘木板运动的最大加速度。 【变式训练1-14】如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【变式训练1-15】如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出， （1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围； （2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角； （3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。 【变式训练1-16】在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。 题型02： 带电粒子在叠加场中的圆周运动 【典型例题1】如图所示的MNPQ区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，现有两个带电微粒、均从边界的点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　） A．a、b两微粒均带正电 B．a、b两微粒在该区域运动周期一定相等 C．a、b两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等 D．仅增加磁场强度a、b一定都能做匀速圆周运动 【典型例题2】如图所示，沿水平方向和竖直方向建立xOy坐标系，在第一象限内(包括y轴)存在大小未知、方向沿水平向右的匀强电场E1；在第三、四象限内存在大小未知、方向沿竖直向上的匀强电场E2和大小未知、方向沿垂直于纸面向里的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为+q的带电小球由S点（0，h）处水平向左射出，经过x上的a点进入x轴下方做匀速圆周运动，由x轴上b点第一次进入第一象限，做匀减速直线运动，刚好可以到达S点，粒子从a点运动到第一次到达b点的过程中，速度的方向改变270°。已知重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球经过a点时的速度大小； (2)匀强电场E2的电场强度大小和匀强磁场B的磁感应强度大小； (3)小球第11次经过x轴时的横坐标。 【典型例题3】竖直平面内有如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅱ象限内有一个以坐标原点O为圆心半径为R的四分之一光滑圆弧形轨道，有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度为。在第Ⅲ、Ⅳ象限内有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小也为，磁感应强度为。在紧贴圆弧轨道下端内侧的A点有一质量为m、电荷量为的小球大小可忽略，从A点以某一速度（大小可调）沿圆弧轨道内侧竖直向上射入电场，x轴上OC之间有一长度为R的薄板，重力加速度为g。求： （1）为使小球能够从B点射出，的最小值； （2）从B点飞出的小球打到薄板上的可能范围； （3）若第Ⅲ、Ⅳ象限内的匀强磁场的方向改成竖直向下，。在x轴下方放置另一块水平的面积足够大的挡板M，M在磁场中可以且只能上下移动。试画出从B点飞出的小球在挡板M上的所有可能落点的范围。（只要正确画出图形即可，无需算出范围大小） 【典型例题4】如图所示，竖直面内间距为L的水平虚线MN、PQ间有水平向里的匀强磁场Ⅰ，PQ下方有水平向外的匀强磁场Ⅱ；两磁场的磁感应强度大小相同，MN下方有方向竖直向下的匀强电场，从同一竖直面内距MN上方高度为L的A点，水平向右抛出一个质量为m、电荷量大小为q的带负电小球，小球从C点进入MN下方的电、磁场中，A、C两点的水平距离为1.5L，匀强电场的场强大小为，重力加速度为g，不计空气阻力及小球大小，求： （1）小球从A点抛出时的初速度大小； （2）要使小球不进入磁场Ⅱ，匀强磁场的磁感应强度大小应满足什么条件？ （3）若小球第一次在磁场Ⅰ中运动的偏向角为90°，进入磁场Ⅱ中运动到某位置时撤去磁场Ⅱ，此后小球第二次在磁场Ⅰ中的运动轨迹恰好与MN相切，则撤去磁场Ⅱ时小球的位置离PQ的距离为多少？ 【变式训练2-1】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下;该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A.液滴带正电 B.液滴比荷 C.液滴沿顺时针方向运动 D.液滴运动速度大小v＝ 【变式训练2-2】霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为，电场强度大小为。电荷量为、质量为的电子恰好能够沿半径为的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（     ） A．电场力对电子做正功 B．电子沿逆时针方向做圆周运动 C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为 D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为 【变式训练2-3】如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m=1kg、电荷量q=+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小； （2）小球在第一象限内运动的时间。 【变式训练2-4】如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，求： (1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间； (2)电场强度的大小； (3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。 【变式训练2-5】如图所示，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，以足够长的x轴为水平边界的上方充满方向与x轴的夹角=37°斜向上、电场强度大小为E1（未知）的匀强电场；x轴下方充满正交的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为E2（未知）、方向竖直向上，磁场方向水平向外．一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从y轴上到原点O距离为L的A点由静止释放，释放后小球沿AP方向做直线运动，从P点进入第IV象限后做匀速圆周运动且恰好经过原点O．已知AP与x轴的夹角也为，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气阻力不计，重力加速度大小为g． （1）求小球经过P点时的速度大小v； （2）求以及磁场的磁感应强度大小B； （3）若小球从P点进入第IV象限后，立即改变x轴上方的匀强电场，使得小球通过原点O时所受合力与小球速度方向垂直，求改变后的匀强电场的电场强度最小时电场强度的方向和电场强度的最小值Emin以及改变电场后小球第一次经过坐标轴上的位置到P点的距离s． 【变式训练2-6】如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限存在沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小；第三象限内存在着以OM为边界的两个匀强磁场区域且方向均垂直于纸面向里，左侧磁场磁感应强度大小，右侧磁场磁感应强度大小，边界OM与y轴负方向的夹角为30°；第四象限同时存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和沿x轴负方向的匀强电场，磁感应强度大小，电场强度大小。现有一电荷量，质证的带电粒子，从第一象限的A点以的速度沿y轴的负方向发出，经电场偏转后，以与x轴负方向成30°角从O点进入第三象限。不计带电粒子的重力。求： （1）A点位置坐标； （2）该粒子从O点到再次经过y轴所用的时间； （3）该粒子从第2次经过y轴到第3次经过y轴沿y轴方向位移的大小。 【变式训练2-7】 如图，在直角坐标系中，y轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧场强大小为右侧的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从点以某一初速度沿y轴正方向射出，恰好经过原点O且此时速度方向刚好沿x轴负方向，继续运动一段时间后到达点。已知重力加速度大小为g。求： （1）小球从M点运动到原点O过程中的水平加速度大小； （2）y轴左侧电场强度的大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小B。 【变式训练2-8】直角坐标系xOy所在竖直平面内分布着电场强度大小相等的匀强电场，第一、二象限中电场强度方向沿y轴正方向，第三、四象限中电场强度方向沿x轴正方向；第一、四象限还分布着垂直于平面向里的匀强磁场。一质量为0.02 kg、带正电的微粒自坐标为(0，－0.4 m)的A点出发，与y轴成45°角以2 m/s的速度射入第四象限，并能在第四象限内做匀速直线运动，已知重力加速度g取10 m/s2。求： (1)(6分)微粒第一次通过x轴时的坐标和微粒第一次通过y轴时的坐标； (2)(8分)微粒运动轨迹与初速度方向所在的直线第一次相交时所需要的时间； (3)(4分)微粒从射出到第(2)问所说的时刻动能的增加量。 【变式训练2-9】如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感强度为。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则 （1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，求的大小； （2）若撤去极板间磁场，有n个速度为v1=的离子，能进入偏转磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，求吞噬板上收集的离子个数及的取值范围； （3）重新在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场并调整磁感应强度大小，使v2=的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场，若此时磁场边界为矩形，如图所示，当时上述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积。 【变式训练2-10】我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室(两个半径接近的同轴圆筒间的区域)的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1;还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动(如截面图所示)，可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e;对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。 (1)求氙离子在放电室内运动的加速度大小a; (2)求径向磁场的磁感应强度大小B2; (3)设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 【变式训练2-11】如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 题型03：带电粒子在叠加场中的“旋进”运动 【典型例题1】如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则(　　) A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为(，0，) C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 【典型例题2】（多选）空间内存在方向水平向左的匀强电场和磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出）。一质量、带电荷量的小球从点由静止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的A点离OB最远且与OB的距离为，已知。重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．小球经过A点时的速度为 B．小球经过A点时的速度最大 C． D． 【典型例题3】某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，I区长度，内有沿y轴正向的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大，现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度沿z轴正向进入I区，经过两个区域分界面上的B点进入II区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点（如图中所示），已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)II区中磁感应强度的大小； (3)II区L的最小长度。 【变式训练3-1】中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录．为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　) A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 【变式训练3-2】（多选）如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为E。时，一正离子以初速度水平向右开始运动，离子质量为m，电荷量为q，不计离子重力。此后一段时间内（    ） A．离子的加速度时刻在变 B．当时，离子到出发点的距离为 C．若磁场方向改为竖直向上，则离子可能做匀速直线运动 D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且，则离子在竖直方向最大的位移大小为，此时速度大小为 【变式训练3-3】（多选）如图所示，在竖直空间中建立直角坐标系，整个空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直于平面向里的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，小球恰能沿轴运动，不计空气阻力，且小球所受的电场力大小等于其重力大小的一半。若该小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，在小球之后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动至最高点时的速度大小为 B．小球第一次运动至最低点时的位置坐标为 C．小球运动至最低点时的加速度大小为 D．相邻两次通过轴时的距离可能为 【变式训练3-4】如图所示，在平面直角坐标系xOy的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带正电的粒子从A点以沿x轴正方向、大小为的初速度射入电场，恰好经过坐标原点O进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离； (3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A点到第一次获得最大速度时经历的时间。 【变式训练3-5】如图所示，在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度为 方向垂直于纸面向里的磁场，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限（含x、y轴）有电场强度为竖直向下的电场。光滑1/4圆弧轨道圆心O'，半径为圆弧轨道底端位于坐标轴原点O。质量为 带电 的小球A从O处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点。 质量为 带电 小球的B从与圆心O等高处静止释放，与A同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球C。小球A、B、C均可视为质点，所在空间无重力场作用。 （1） 小球A在O处的初速度为多大； （2） 碰撞完成后瞬间，圆弧轨道对小球C的支持力； （3） 小球C从O点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析C球在后续运动过程中，再次回到y轴时离O点的距离。 【变式训练3-6】如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 【变式训练3-7】如图2所示的空间直角坐标系Oxyz中，有一棱长为L的立方体区域，该区域内(含边界)分布有沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以初速度v0从a点沿x轴正方向进入电场区域，恰能从d′点离开。 图2 (1)求电场强度的大小E； (2)若在该区域再加一个沿y轴正方向的匀强磁场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域，之后从Ob′之间某点离开，求磁感应强度的大小B和离开该区域时的速度大小v1。 【变式训练3-8】如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 题型04：带电粒子在叠加场中一般曲线运动 【典型例题1】如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 【典型例题2】(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【典型例题3】(多选)中国航天科技集团六院801所研发的50千瓦级双环嵌套式霍尔推力器于2025年5月成功点火并稳定运行，推力达牛，接近美国X3推进器牛水平，这一突破使中国成为全球第三个掌握该技术的国家，标志着我国在大功率电推进领域进入国际第一梯队。霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。改变速度大小，得到了如图甲、乙所示的两种轨迹，则下列说法正确的是（　　） A．若入射速度，电子的轨迹一定如图乙中虚线所示 B．只要入射速度，电子距离x轴的最远距离都为 C．若入射速度，电子的轨迹一定如图甲中虚线所示，且当电子速度为时，电子的纵坐标为 D．无论是图甲还是图乙，电子在运动过程中所受的合力大小均不变 【典型例题4】如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、I象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小 在 范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 随E₁的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为(-L，-1.5L)的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为 的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为(-L，0)的小孔 C，再经偏转区后从坐标为(0，L)的小孔D 进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小 随场强E₁变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角检测区内加沿y轴负方向、场强大小 的匀强电场，在满足（1）的条件下， ①求检测板上收集到离子记录线的长度； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小 沿x轴均匀变化，即 （k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 【变式训练4-1】(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　) A.电子从N到P，静电力做正功 B.N点的电势高于P点的电势 C.电子从M到N，洛伦兹力不做功 D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 【变式训练4-2】(多选)如图甲所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做 匀速运动形成的，该轨迹称为圆滚线。如图乙所示，空间存在竖直向下的大小为E匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）大小为B的匀强磁场，已知一质量为m、电量大小为q的正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线AC运动（该曲线属于圆滚线），到达B点时速度为零，C为运动的最低点。不计重力，则（　　） A．该离子带负电 B．A、B两点位于同一高度 C．该离子电势能先增大后减小 D．到达C点时离子速度最大 【变式训练4-3】(多选)现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的场强大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．M、N两点的竖直距离为 D．粒子经过N点时速度大小为 【变式训练4-4】(多选)如图，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿轴负方向，磁场方向沿轴正方向。一电子从点（L，0，0）处沿轴正方向入射，其轨迹与轴的第1个交点坐标为（0，0，L）。已知电子的比荷为，入射速度大小为，不计电子所受的重力，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小 B．匀强电场的电场强度大小 C．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 D．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 【变式训练4-5】(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示;当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【变式训练4-6】霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小E; (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1; (3)若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【变式训练4-7】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，其他区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小是磁场II的2倍，在轴正半轴上与点距离为的点有一粒子源，不断地沿轴正向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子的速度大小均为，粒子射出后刚好从点第二次返回轴；再在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (2)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子第一次经过轴的位置离O点的距离； (3)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅱ中运动的最大速度的大小；运动过程中离轴的最大距离。 【变式训练4-8】如图所示，水平地面上有一辆小车，上方固定有竖直光滑绝缘细管，管的长度，有一质量、电荷量的绝缘小球A放置在管的底部，小球的直径略小于细管。在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里的匀强磁场。现让小车始终保持速度的向右匀速运动，以带电小球刚经过磁场的竖直边界为计时起点，并以此时刻管口处为坐标原点建立坐标系，轴与磁场边界重合，小球刚离开管口时竖直向上的分速度，求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和绝缘管对小球做的总功； （2）小球经过轴时的坐标； （3）若第一象限存在和第四象限大小和方向都相同的的匀强磁场，同时绝缘管内均匀紧密排满了大量相对绝缘管静止，与小球完全相同的绝缘小球。不考虑小球之间的相互静电力，求能到达纵坐标的小球个数与总小球个数的比值。 【变式训练4-9】类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 题型05：带电粒子在空间叠加场中的运动 【典型例题1】（多选）如图所示为某一科研设备中对电子运动范围进行约束的装置简化图。现有一足够高的圆柱形空间，其底面半径为R，现以底面圆心为坐标原点，建立空间直角坐标系。在圆柱形区域内存在着沿z轴负向的匀强磁场和匀强电场，在的区域内存在着沿x轴正向的匀强电场。坐标为的P点有一电子源，在xOy平面内同时沿不同方向向圆柱形区域内发射了一群质量为m，电荷量为的电子，速度大小均为。已知磁感应强度的大小为，不计粒子的重力，则从电子发射到完全离开圆柱形区域的过程中，下列说法正确的是（    ） A．粒子完全离开圆柱形区域时速度方向均不相同 B．粒子完全离开圆柱形区域时的速度方向均平行于xOy平面 C．所有粒子在磁场中运动的总时间均相同 D．最晚和最早完全离开圆柱形区域的粒子的时间差为 【典型例题2】如图甲所示，立方体空间的边长为L，侧面CDHG为荧光屏，能完全吸收打在屏上的带电粒子并发光，三维坐标系坐标原点O位于底面EFGH的中心，，。已知从原点O向xOy平面内各个方向均匀持续发射速率为、质量为m、电荷量为的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用。 （1）若在立方体空间内仅存在方向平行于轴的匀强磁场，沿轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H点。求磁场的磁感应强度B和粒子从原点O运动到荧光屏的最短时间t； （2）若在立方体空间内仅存在z轴负方向的匀强电场和沿y轴正方向的匀强磁场，沿x轴正方向射出的粒子，经某位置恰好与射出时速度相同，求此位置的坐标； （3）若在立方体空间内平行y轴加如图乙所示的磁场，其中。同时平行z轴加如图丙的磁场，其中，粒子在磁场中运动时间远小于磁场变化周期，不计电磁辐射影响。求沿x轴正方向射出的粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度。 【变式训练5-1】如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，电场中半径为、平行于电场的圆面内有垂直于电场向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，圆心到垂直于电场的圆面的弦的距离为。一足够大的荧光屏固定在电场中，电场与荧光屏垂直，一个带正电的粒子以初速度沿方向从点射入电磁场，在段做直线运动，粒子打在荧光屏上时，速度与荧光屏夹角为；若撤去电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入磁场，经历一段时间后，粒子从点（图中未标出）离开磁场，离开磁场时速度方向偏转了。不计粒子的重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)点到荧光屏的距离； (3)若撤去磁场，原电场大小不变、方向反向，再叠加一个平行圆面的匀强电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入叠加电场，粒子到达点的速度大小仍为，则所加的匀强电场的电场强度多大。 【变式训练5-2】如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 【变式训练5-3】某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿-z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿-z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，-d，0)点以初速度v0沿+y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与-x方向的夹角θ=60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求： (1)(2分)粒子的电性； (2)(4分)磁感应强度大小B； (3)(8分)粒子打到屏上位置的z轴坐标z1。 【变式训练5-4】国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0<z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z<0，y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45°；z<0，y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场．质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力． (1)当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； (2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； (3)离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标(用d表示)； (4)当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)． 【变式训练5-5】如图所示，Oxyz为空间直角坐标系，在x<0的空间I内存在沿z轴正方向的匀强磁场B1。在0<x＜d的空间II内存在沿y轴正方向的匀强电场E，在x>d的空间III存在磁感应强度大小、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从x轴上的A（，0，0）点以初速度v0射入空间I的磁场区域，经磁场偏转后从y轴上的C（0，d，0）点垂直y轴进入空间II，并从x轴上的D（d，0，0）点进入空间III。已知粒子的电荷量大小为q，质量为m，不计重力。求： （1）空间I内磁场的磁感应强度大小B1和空间II内电场的电场强度大小E； （2）粒子运动过程中，距离x轴的最大距离； （3）粒子进入空间III后，每次经过x轴时的横坐标。 题型06：带电粒子在叠加场中的动量问题 【典型例题1】如图，绝缘环a、b质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆上，环的直径略大于杆的直径，环与杆的动摩擦因数均为，两杆分别处于竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下，下列说法不正确的是（　　） A．摩擦力对两环的冲量相同 B．摩擦力对两环做的功相同 C．若两环最终位移相同，则a环运动时间较短 D．若两环最终运动时间相同，则a环位移较短 【典型例题2】威尔逊云室是显示高能带电粒子径迹的装置。为更好地研究带电粒子的径迹，某研究小组设计的磁场分布如图所示，在坐标xOy平面（纸面）的一、四象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一比荷为的带正电的粒子从坐标为的P点以大小为的速度垂直y轴射入磁场，若粒子进入磁场后受到了与速率成正比、与速度方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与y轴相切于Q点（未画出）。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子由P点运动到Q点的时间为 B．粒子由P点运动到Q点的时间为 C．Q点的纵坐标为L D．Q点的纵坐标为 【典型例题3】在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小为B。带正电的小球1和不带电的绝缘小球2静止放置于固定的水平悬空光滑支架上，两者之间有一被压缩的绝缘微型弹簧，弹簧用绝缘细线锁住，如图所示。小球1的质量为m1，电荷量为q。某时刻，烧断锁住弹簧的细线，弹簧将小球1、2瞬间弹开。小球1做匀速圆周运动，经四分之三个周期与球2相碰。弹开前后两小球的带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。不计空气阻力，两球均可视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)电场强度的大小； (2)小球2被弹开瞬间的速度大小； (3)小球1、2的质量之比。 【变式训练6-1】空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为（a，0），已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x，y），不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值可能取负值 B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离 D．粒子运动过程中的最大速率 【变式训练6-2】（多选）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 【变式训练6-3】如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，匀强电场水平向左，比荷的带负电微粒，刚好能够在纸面内以的速度做匀速直线运动，速度方向与竖直方向的夹角为。已知图中点是它的运动轨迹上的一点，重力加速度取。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)当微粒运动到点时，撤去磁场，当微粒运动到点时（图中未画出），速度变为竖直，求点与点的水平距离和竖直距离； (3)当微粒运动到点时，撤去电场，同时恢复被撤去的磁场，求在此后的运动中，微粒与点在竖直方向上的最大距离是多少。 【变式训练6-4】如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M的圆筒垂直导轨放置，长度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a端封闭，b端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转移，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q并给其与导轨Q夹角为37°的初速度，如图甲，若小球没有离开磁场，且与导轨Q最大距离为1.8L，求磁感应强度B的大小； (2)若B为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b端处，给圆筒中心施加大小为1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F作用距离为L时小球速度大小； (3)若，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨向右的相同初速度，如图丙。当小球与导轨a端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e倍（0<e<1），请计算： ①在与a端发生第n次碰撞到第n+1次碰撞期间，小球与P导轨的最大距离。 ②从小球开始运动到①中与P导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。 【变式训练6-5】如图所示，直流电源（不计内阻）与阻值为的定值电阻、滑动变阻器以及水平放置的平行板电容器构成闭合回路，平行板电容器的板间距为d、板长为，板间存在垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、带电量为的小球以某一水平初速度从电容器下极板左边缘无碰撞的进入电容器。已知重力加速度大小为g，电源电动势，小球向右飞入电容器的初速度为，不计电场、磁场边缘效应，不计空气阻力。 （1）若滑动变阻器接入电路中的阻值，且小球恰好做匀速直线运动，求匀强磁场的磁感应强度大小； （2）若小球在板间恰好做匀速圆周运动，且能从两极板间飞出，求接入电路中的阻值，以及磁感应强度大小的取值范围； （3）若滑动变阻器接入电路的阻值，匀强磁场的磁感应强度，求小球在板间运动过程中偏离下极板的最大距离H。 题型07：带电粒子在叠加场的应用实例模型 （一）速度选择器模型 【典型例题1】一速度选择器如图所示，当粒子速度满足v0＝ 时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线所示，则关于该粒子的说法正确的是(　　) A. 粒子射入的速度一定是v> B. 粒子射入的速度可能是v< C. 粒子射出时的速度一定大于射入速度 D. 粒子射出时的速度一定小于射入速度 【典型例题2】（多选）记者从中核集团获悉，新一代人造太阳“中国环流三号”首次实现原子核和电子温度均突破一亿度，中国可控核聚变技术取得重大进展。在地球上，要实现可控核聚变，要利用磁场约束来实现。如图为四种电磁场模型的示意图，四种模型中磁感应强度大小均为。图甲为速度选择器，两板间电压为，上极板带正电，板间距为；图乙为电磁流量计，圆形截面的半径为，稳定时最上方和最下方之间的电压为；图丙为磁流体发电机，两极板间距离为，离子进入两板间的速率为；图丁中的霍尔元件为长方体，载流子为电子，带电荷量为，单位体积内的自由电子数为，与磁场方向平行的棱长为，与磁场方向垂直的截面为正方形，正方形的边长为。带电粒子的重力不计，下列说法正确的是（　　） A．图甲中正电荷做匀速直线运动的速度大小为，应从右边进入速度选择器 B．图乙中液体的流量（单位时间内液体流过的体积）为 C．图丙中磁流体发电机两极板间的电压为 D．图丁中霍尔电压为 【典型例题3】（多选）电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。如图所示，带电粒子（不计重力）在以下四种器件中运动的说法正确的是（　　） A．图甲是速度选择器的结构示意图，速度的带电粒子能够沿直线从右侧进入并匀速通过速度选择器 B．图乙是质谱仪的结构示意图，粒子打在底片上的位置越靠近狭缝S，说明粒子的比荷越大 C．图丙是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，要想粒子获得的最大动能增大，可增大D形盒半径 D．图丁是磁流体发电机的结构示意图，将一束等离子体喷入磁场，A、B两板间会产生电压，且B板电势低 【变式训练7-1-1】在如图所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直，一带电粒子（重力不计）从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子（　　） A.一定带正电 B.速度v＝ C.若速度v＞，粒子一定不能从板间射出 D.若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动 【变式训练7-1-2】如图所示，空间某区域存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为；匀强磁场与电场方向垂直，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以初速度水平向右射入，恰好沿直线经过点，a、b两点间距为。不计粒子重力，电场与磁场的范围足够大，下列说法正确的是（　　） A．仅改变粒子的电性，粒子无法沿直线经过点 B．仅改变粒子入射方向（从点水平向左射入），粒子仍可沿直线经过点 C．仅改变粒子初速度的大小，粒子一定无法经过点 D．仅改变粒子初速度的大小，若，粒子一定经过点 【变式训练7-1-3】（多选）离子注入是芯片制造的核心工艺之一，工作原理如图所示。电荷量相同、质量不同的混合正离子束由静止经同一电场加速后，进入速度选择器，使具有相同速度的离子垂直进入磁分析器，最后经偏转系统注入晶圆。已知磁分析器内只存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，下列说法正确的是（     ） A．磁分析器利用洛伦兹力改变离子的速度大小，从而实现离子的筛选 B．在离子注入工艺流程中，磁场和加速电场匹配，共同完成对离子的筛选 C．调节磁感应强度的大小，离子的轨道半径与磁分析器匹配后方可进入偏转系统 D．若需质量更大的离子进入偏转系统，应将磁分析器内的磁感应强度减小 【变式训练7-1-4】（多选）如图所示，有一带正电粒子从点漂入加速电场，不计粒子的初速度，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场左边界入射到磁场中，已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压，磁场的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度，粒子重力忽略不计，取。下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度的大小为 B．粒子在磁场中运动的沿竖直方向的偏转距离为 C．若仅撤去磁场，则粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．若仅撤去磁场，则粒子在磁场中运动的沿竖直方向的偏转距离为 【变式训练7-1-5】如图甲所示，粒子发射器由粒子源、加速电场和速度选择器组成，若干带正电的同种粒子以速度从发射器沿轴线射出。如图乙所示，、为两块相互平行、等长且正对的金属板，为两板中轴线，线段CD与两板垂直，O为CD中点，在MN与间存在垂直极板向下的匀强电场，PQ与间存在垂直纸面向里的匀强磁场。发射器可沿CD上下移动并平行极板向右发射粒子。已知粒子比荷，速度选择器中匀强电场的场强，匀强磁场磁感应强度；MN、PQ两板间距离，板间匀强电场的场强。不计粒子重力及粒子间作用，不考虑粒子发射器对所有粒子运动的影响。 (1)求粒子发射器射出粒子的速度大小； (2)若PQ、间匀强磁场磁感应强度，粒子从CO中点射入，为使粒子垂直NQ边界射出，求发射器到NQ的距离L； (3)当粒子发射器在CD间上下移动时，为使进入板间的粒子经多次电场和磁场偏转后，都能从右侧边界NQ射出，求PQ、间匀强磁场磁感应强度。 （二）磁流体发电机模型 【典型例题1】磁流体发电机的发电原理如图所示：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性）沿图示方向以速度v喷射入磁场，磁感应强度为B，磁场中有两块金属板A、B（A板在上，B板在下，且正对），板间距为d，这时金属板上就聚集了电荷。下述说法正确的是（　　） A．A板带正电荷 B．有电流从a经用电器流向b C．等离子体发生偏转的原因是离子所受电场力大于所受洛伦兹力 D．金属板A、B间的最大电势差为Bvd 【典型例题2】（多选）磁流体发电是一项新兴技术。如图所示，平行金属板之间有一个很强的磁场，将一束含有大量正、负带电粒子的等离子体，沿图中所示方向喷入磁场。图中虚线框部分相当于发电机。把两个极板与用电器相连，下列说法正确的是（　　） A．用电器中的电流方向从A到B B．若只增大带电粒子电荷量，发电机的电动势增大 C．若只增强磁场，发电机的电动势增大 D．若只增大喷入粒子的速度，发电机的电动势不变 【变式训练7-2-】如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连，质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力，下列说法正确的是（　　） A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ 【变式训练7-2-1】（多选)如图所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电离子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P、Q与电阻R相连接．下列说法正确的是(　　) A．Q板的电势高于P板的电势 B．R中有由a向b方向的电流 C．若只改变磁场强弱，R中电流保持不变 D．若只增大离子入射速度，R中电流增大 【变式训练7-2-2】（多选)如图所示为磁流体发电机的原理图．金属板M、N之间的距离为d＝20 cm，磁场的磁感应强度大小为B＝5 T，方向垂直纸面向里．现将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正离子和负离子，整体呈电中性)从左侧喷射入磁场，发现在M、N两板间接入的额定功率为P＝100 W的灯泡正常发光，且此时灯泡电阻为R＝100 Ω，不计离子重力和发电机内阻，且认为离子均为一价离子，则下列说法中正确的是(　　) A．金属板M上聚集负电荷，金属板N上聚集正电荷 B．该发电机的电动势为100 V C．离子从左侧喷射入磁场的初速度大小为103 m/s D．每秒有6.25×1018个离子打在金属板N上 【变式训练7-2-3】磁流体发电机是一种将内能直接转换为电能的新型发电装置，具有发电效率高、环境污染小、结构简单等特点，具有广泛的应用前景。如图所示为该装置的导流通道，其主要结构如图1所示，通道的上下平行金属板M、N之间有很强的磁场，将等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧不断高速喷入整个通道中，M、N两板间便产生了电压，其简化示意图如图2所示。M、N两金属板相距为a，板宽为b，板间匀强磁场的磁感应强度为B，速度为v的等离子体自左向右穿过两板后速度大小仍为v，截面积前后保持不变。设两板之间单位体积内等离子的数目为n，每个离子的电量为q，板间部分的等离子体等效内阻为r，外电路电阻为R。 (1)金属板M、N哪一个是电源的正极，求这个发电机的电动势E； (2)开关S接通后，设等离子体在板间受到阻力恒为f，请从受力或能量转化与守恒的角度，求等离子体进出磁场前后的压强差Δp； (3)假设上下金属板M、N足够大，若R阻值可以改变，试讨论R中电流的变化情况，求出其最大值Im。并在图3中坐标上定性画出I随R变化的图线，并指出横、纵轴关键点坐标值的大小。 （三） 电磁流量计模型 【典型例题1】电磁流量计是随着电子技术的发展而迅速发展起来的新型流量测量仪表。主要有直流式和感应式两种。如图所示直流式电磁流量计，外加磁感应强度为B的水平匀强磁场垂直于管轴，在竖直径向a、b处装有两个电极，用来测量含有大量正，负离子的液体通过磁场时所产生的电势差大小U。液体的流量Q可表示为，其中d为管道直径，k为修正系数，用来修正导出公式时未计及的因素（如流量计管道内的流速并不均匀等）的影响。那么A应该为（　　）    A．恒定常数 B．管道的横截面积 C．液体的流速 D．液体中单位时间内流过某一横截面的电荷量 【典型例题2】（多选）武汉的病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（　　） A．当磁感应强度B减小时，污水流速将减小 B．当污水中离子浓度降低时，MN两点电压将减小 C．只需要测量磁感应强度B及MN两点电压U，就能够推算污水的流量 D．当将MN接入外部回路，该装置将成为磁流体发电机，N点相当于电源的正极 【变式训练7-3-1】为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为和，左、右两端开口与排污管相连，如图所示。在垂直于上、下底面加磁感应强度为向下的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为的相互平行且正对的电极和，和与内阻为的电流表相连。污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况。下列说法中正确的是（　　） A．板比板电势高 B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小 C．污水流量大小，对电流表的示数无影响 D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大 【变式训练7-3-2】某化工厂的排污管末端安装了如图12所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下．污水(含有大量的正、负离子)充满管口从左向右流经该测量管时，a、c两端的电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)．则(　　) A．a侧电势比c侧电势低 B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大 C．污水流量Q与U成正比，与L、D无关 D．匀强磁场的磁感应强度B＝ 【变式训练7-3-3】为了测量化工厂的污水排放量，技术人员在排污管末端安装了流量计(流量Q为单位时间内流过某截面流体的体积)。如图所示，长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，左、右两端开口，所在空间有垂直于前后面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，含有大量的正、负离子的污水充满管道，从左向右匀速流动，测得M、N间电压为U。由于污水流过管道时受到阻力f的作用，左、右两侧管口需要维持一定的压强差。已知沿流速方向长度为L、流速为v的污水，受到的阻力f＝kLv(k为比例系数)。下列说法正确的是(　　) A．污水的流量Q＝ B．金属板M的电势低于金属板N的电势 C．电压U与污水中的离子浓度有关 D．左、右两侧管口的压强差为 【变式训练7-3-4】在实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示的模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，并测出M、N两点间的电压U，则下列说法正确的是（　　） A.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的 B.容器内液体的流速为v＝ C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速 D.污水流量为Q＝ （四）霍尔效应及霍尔元件模型 【典型例题1】石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能．现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图（a）所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当时，测得关系图线如图（b）所示，元电荷，则此样品每平方米载流子数最接近（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）图甲为燃气热水器水流量传感器原理示意图，图中霍尔元件的载流子为电子，单位体积内的电子数为n，电子电荷量为e，上下、前后、左右表面距离分别为a、b、c，在前后表面间通入电流I。水流冲刷叶轮带动环形多极磁铁转动，环形磁铁由等间距的3个N极与3个S极组成。控制器根据霍尔元件反馈的脉冲信号（如图乙所示）调节水和燃气的比例，确保水温恒定。已知水流量与叶轮的转速成正比，比例系数为k，图乙中、为已知量，则（　　） A．水流量为 B．水流量为 C．霍尔元件所处磁场的磁感应强度最大值为 D．霍尔元件所处磁场的磁感应强度最大值为 【变式训练7-4-1】在磁场中放置一块矩形通电导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上产生电势差，这个现象叫霍尔效应，所产生的电压叫霍尔电压。图甲为霍尔效应的原理示意图，图中霍尔电压UH＝；如图乙所示，在自行车的前叉上固定一霍尔元件，在前轮辐条上安装一块磁体，这样，轮子每转一周，磁体就靠近霍尔传感器一次，便可测出某段时间内的脉冲数，从而得到自行车的平均速度并通过速度计显示出来，设自行车前轮的半径为R，磁体到前轮转轴的距离为r，则下列说法正确的是(　　) A．若霍尔元件的载流子是负电荷，则图甲中C端电势高于D端电势 B．如果长时间不更换传感器的电池，霍尔电压会越来越大 C．如果在时间t内得到的脉冲数为N，则自行车骑行的平均速度为 D．若前轮漏气，则速度计测得的骑行速度比实际速度偏小 【变式训练7-4-2】如图为微量振荡天平测量大气颗粒物质量的原理简图。气流穿过滤膜后，颗粒物附着在滤膜上增加锥形振荡管的质量，从而改变其固有频率。起振器从低到高改变振动频率，记录霍尔元件a、b端输出的电信号，从而推测出滤膜上颗粒物质量。某金属材料制成的霍尔元件宽度为d，下列说法正确的是（　　） A．若起振器振动频率改变，锥形振荡管的振动频率不变 B．霍尔元件上表面的电势高于下表面的电势 C．锥形振荡管左右振动时，霍尔元件的a、b端输出交流信号 D．霍尔元件的宽度d减小，霍尔电压的最大值增大 【变式训练7-4-3】日常带皮套的智能手机是利用磁性物质和霍尔元件等起到开关控制作用。打开皮套，磁体远离霍尔元件手机屏幕亮；合上皮套，磁体靠近霍尔元件屏幕熄灭。如图所示，一块宽度为、长为、厚度为的霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子。水平向右大小为的电流通过元件时，手机套合上，元件处于垂直于上表面、方向向下且磁感应强度大小为的匀强磁场中，元件的前、后表面产生稳定电势差，称为霍尔电压，且，以此来控制屏幕熄灭。下列说法正确的是（　　） A．前表面的电势比后表面的电势低 B．自由电子所受洛伦兹力的大小为 C．增大霍尔元件中的电流，霍尔电压增大 D．元件内单位体积的自由电子数为 【变式训练7-4-4】（多选）如图甲所示，在磁感应强度为的匀强磁场中放置一个厚度为的半导体矩形薄片，在薄片中通上图示的电流，薄片两侧会出现恒定的霍尔电压，霍尔电压与电流的比值称为霍尔电阻。如果增大磁感应强度，会出现“量子霍尔效应”，量子霍尔电阻为（其中为普朗克常量，为电子电荷量，为正整数）。有关霍尔电阻与磁感应强度的关系，如图乙所示。已知半导体薄片的厚度为，薄片中自由电子的电荷量为，单位体积内的自由电子数为，普朗克常量为，电子的电荷量，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中处的电势高于处的电势 B．霍尔电阻会随电流的增大而增大 C．根据图乙可得单位体积内的自由电子数约为 D．时，若薄片中通过电流，则霍尔电压约为 【变式训练7-4-5】（多选）小明设计了一个能够测量磁感应强度大小的传感器，如图所示。a、b、c是矩形金属薄片的长、宽及厚度，M、Q、N、P是焊接在金属薄片四个侧面的电极，已知薄片单位体积内自由电子数为n，电子的电荷量为e。现将传感器置于某磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，使磁感线垂直于金属薄片的表面，则（　　）    A．若电流从M进N出，则电子所受洛伦兹力方向指向P端 B．若电流从M进N出且大小为I，则 C．若电流从Q进P出，则M点电势比N点高 D．若电流从Q进P出且大小恒定，则减小c可以提高该传感器的灵敏度 【变式训练7-4-6】（多选）在一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N，做成了一个霍尔元件，在E、F间通入恒定电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，M、N间的电压为UH.已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图所示，下列说法正确的有(　　) A．N板电势高于M板电势 B．磁感应强度越大，MN间电势差越大 C．将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，UH不变 D．将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 带电粒子在叠加场中的运动讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：带电粒子在叠加场中的直线运动 7 题型02： 带电粒子在叠加场中的圆周运动 31 题型03：带电粒子在叠加场中的“旋进”运动 56 题型04：带电粒子在叠加场中一般曲线运动 71 题型05：带电粒子在空间叠加场中的运动 86 题型06：带电粒子在叠加场中的动量问题 97 题型07：带电粒子在叠加场的应用实例模型 107 （一）速度选择器模型 107 （二）磁流体发电机模型 116 （三） 电磁流量计模型 120 （四）霍尔效应及霍尔元件模型 125 1. 题型：高考高频压轴/次压轴，选择、计算题都有；常以复合场、叠加场模型命题。 2. 核心特点：同时存在两种或三种场（匀强电场、匀强磁场、重力场），场相互叠加，粒子同时受洛伦兹力、电场力、重力。 3. 命题方向 ① 受力平衡：匀速直线运动（速度选择器模型，选择题居多） ② 重力、电场力抵消，只剩洛伦兹力：匀速圆周运动（计算题高频） ③ 三力不抵消：复杂曲线运动（一般用动能定理求解，不拆解圆周） 4. 易错点：忘记考虑重力；混淆洛伦兹力不做功；不会拆分受力。 1. 能快速判断粒子受重力、电场力、洛伦兹力，分清各力特点（洛伦兹力永不做功）。 2. 会对叠加场分类：平衡模型、匀速圆周模型、变加速曲线模型。 3. 掌握两类核心方法：受力分析+牛顿定律、动能定理。 4. 能独立画轨迹图，寻找几何关系，规范列式。 知识点一:带电粒子在叠加场中的运动 一：叠加场 静电场、磁场、重力场在同一区域共存，或其中某两场在同一区域共存。 二：常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 三种场的比较 项目 名称 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同；②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 三：带电粒子(带电体)在叠加场中运动的解题思路 1.弄清叠加场的组成，一般有磁场、电场的叠加，电场、重力场的叠加，磁场、重力场的叠加，磁场、电场、重力场三者的叠加。 2.正确分析受力，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析。 3.确定带电粒子(带电体)的运动状态，注意运动情况和受力情况可能会相互影响。 4.画出粒子(带电体)的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。 5.对于粒子(带电体)连续通过几个不同叠加场的问题，要分阶段进行处理。衔接点的速度不变往往是解题的突破口。 四：带电粒子在场中无约束情况下，常见的几种情况： 1.电场力、重力并存——电场力+重力＝F等效（恒力） ①静止或匀速直线运动←→ F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）； ②匀加/减速直线运动←→ F等效≠0且与v共线； ③匀变速曲线运动←→ F等效≠0且与v不共线； 无圆周运动 2.磁场力、重力并存 ①匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直； ②变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，故机械能守恒 无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周 3.磁场力、电场力并存 ①匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直； ②变加速曲线运动（复杂曲线），可用动能定理求解。 无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周 4.磁场力、电场力、重力并存 ①静止←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝0； ②匀速直线运动←→ F电、mg、F洛三力平衡； ③匀速圆周运动←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn； ③变加速曲线运动（复杂曲线），可用能量守恒定律或动能定理求解。 无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动 五：是否考虑重力的判断 1.对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。 2.题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。 3.不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。 知识点二:带电粒子在叠加场中运动的模型 一：速度选择器 1.装置 2.原理：若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动。 3.速度选择器的特点 ①只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。 ②具有单一方向性：粒子只能从一侧射入才可能做匀速直线运动，从另一侧射入则不能。 二:磁流体发电机 1.装置和原理 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电。 2.磁流体发电机的电动势 ①当带电粒子不发生偏转时，有qvB＝qE＝，得U＝Bdv。 ②外电路断开时，电源电动势的大小等于路端电压，故此磁流体发电机的电动势E源＝U＝Bdv。 3.电源内阻：r＝ρ。 4.回路电流：I＝＝＝。 三：电磁流量计 1.流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。 2.导电液体的流速(v)的计算如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，当自由电荷不再发生偏转时，q＝qvB时，a、b间的电势差(U)达到最大，可得v＝。 3.流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。 4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb。 四：霍尔元件 1.霍尔效应与霍尔元件 高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。 2.电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。 3.霍尔电压的计算：当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)保持稳定，由qvB＝q，I＝nqSv，S＝hd，联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数。 步骤一：先受力分析（第一步！） 1. 微观粒子（电子、质子、α粒子）：一般忽略重力；油滴、尘埃、小球：必须考虑重力。 2. 电场力：=qE；重力：G=mg；洛伦兹力：=qvB，方向由左手定则。 关键：洛伦兹力随速度变化，永远不做功。 步骤二：判断运动类型（三大模型） 模型1：合力=0 → 匀速直线运动 条件：重力、电场力、洛伦兹力三力平衡。 典型：速度选择器 qE=qvB 思路：受力平衡列方程。 模型2：重力与电场力等大反向抵消，只剩洛伦兹力 → 匀速圆周运动 mg=qE；洛伦兹力提供向心力 qvB＝m，T＝，t＝T 思路：先验证重力电场力抵消；再用圆周运动+几何关系求半径、圆心角。 模型3：合力不为零，重力、电场力、洛伦兹力同时存在 → 复杂曲线运动 不能用圆周规律！优先动能定理 洛伦兹力不做功，只有重力、电场力做功：+=∆ 步骤三：规范解题流程 1. 确定研究对象，判断要不要计重力 2. 画出全部受力，判断运动模型 3. 平衡模型：列平衡方程；圆周模型：找圆心半径；复杂曲线：动能定理 4. 几何关系求位移/半径，联立求解 5. 检验结果 高频易错点 1. 看到带电小球直接忽略重力（坑！油滴、小球必须考虑重力） 2. 洛伦兹力做功（永远不做功） 3. 叠加场里强行用圆周运动公式（只有重力电场力抵消，才能匀速圆周） 题型01：带电粒子在叠加场中的直线运动 【典型例题1】如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 【答案】C 【解析】A．小球由静止开始下滑过程，对小球，有牛顿第二定律有 由于小球速度从0开始增大，可知加速度先向下增大，当后加速度向下减小到0后反向增大，故A错误； B．在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故机械能和电势能的总和将减小，故B错误； CD．当洛仑兹力等于电场力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大，即 当加速度方向向下且大小为时，有 解得 当加速度方向向上且大小为时，有 解得 故C正确，D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带电的小球，整个装置处在由水平匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的v－t图象如下图所示，其中正确的是(　　) 【答案】C. 【解析】小球下滑过程中，qE与qvB反向，开始下落时qE>qvB，所以a＝，随下落速度v的增大a逐渐增大；当qE<qvB之后，其a＝，随下落速度v的增大a逐渐减小；最后a＝0，小球匀速下落，故C正确，A、B、D错误． 【典型例题3】(多选)如图所示，在竖直平面内的虚线下方分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为10 N/C，方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为2 T，方向垂直纸面向里。现将一质量为0.2 kg、电荷量为＋0.5 C的小球，从该区域上方的某点A以某一初速度水平抛出，小球进入虚线下方后恰好做直线运动。已知重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.小球平抛的初速度大小为5 m/s B.小球平抛的初速度大小为2 m/s C.A点距该区域上边界的高度为1.25 m D.A点距该区域上边界的高度为2.5 m 【答案】BC 【解析】小球受竖直向下的重力与水平向左的静电力作用，小球进入电磁场区域做直线运动，小球受力如图所示， 小球做直线运动，则qvBcos θ＝mg，小球的速度vcos θ＝v0，代入数据解得v0＝2 m/s，故A错误，B正确；小球从A点抛出到进入叠加场过程，由动能定理得mgh＝mv2－m，根据在叠加场中的受力情况可知(mg)2＋(qE)2＝(qvB)2，解得h＝，代入数据解得h＝1.25 m，故C正确，D错误。 【典型例题4】如图所示，在三维坐标系中，的空间同时存在沿轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿轴正方向的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　） A．电场强度大小为 B．带电粒子的比荷为 C．第二次经过平面的位置坐标为（，a，0） D．粒子第三次经过平面的位置与点距离为 【答案】AC 【解析】A．由题可知粒子在电场和磁场Ⅰ的作用下做直线运动，则有 解得电场强度大小为。故A正确； B．由题可知撤去电场，该带电粒子恰好垂直平面进入空间，由几何知识得粒子做匀速圆周运动的半径，有 解得带电粒子的比荷为。故B错误； C．粒子进入空间做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 第二次经过平面的位置坐标为（，a，0）。故C正确； D．粒子第二次经过面后在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 第三次经过平面的坐标为（，，），粒子第三次经过平面的位置与点距离为。故D错误。 故选AC。 【典型例题5】如图所示，在xOy坐标系的第一象限内，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，其中电场在0≤x≤2L的范围内，磁场在x≥L的范围内。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子(重力不计)从y轴上P点以初速度v0进入第一象限，速度方向与y轴负方向成α＝30°角，P点纵坐标为L。粒子经过电场后，刚好沿直线MN穿过电场、磁场叠加场区，最终从x轴上A点离开磁场，已知MN与x轴平行。求: (1)电场强度的大小E及M点的纵坐标yM; (2)粒子经过A点时的速度方向及A点的横坐标xA; (3)粒子从P点到A点所用的时间t。 【答案】　(1)　L　(2)与x轴负方向夹角为60°斜向左下　2.5L　(3) 【解析】　(1)由题意知，带电粒子从P到M过程中只受静电力作用，做匀变速曲线运动，且粒子到M点时速度沿MN方向，将v0分解成沿x轴正方向的分速度v1和沿y轴负方向的分速度v2，则qE＝ma，v2＝at，Δx＝L＝v1t＝t，Δy＝t＝v0t 解得E＝，Δy＝L 故yM＝L－L＝L。 (2)粒子经过叠加场区时以v1沿MN做匀速直线运动，则qE＝qv1B 粒子离开N点后在磁场中做匀速圆周运动，则qv1B＝m 解得r＝L 由几何关系得cos θ＝，θ＝60° xA＝2L＋rsin 60°＝2.5L 即粒子经过A点时的速度方向与x轴负方向的夹角为60°，A点的横坐标为2.5L。 (3)粒子从P经M到N的过程中，沿x轴方向做匀速直线运动，则t1＝ 粒子从N到A做匀速圆周运动，对应圆心角为120°，则t2＝T＝· 粒子从P点到A点所用的时间为 t＝t1＋t2＝。 【典型例题6】如图所示，空间有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，一质量的绝缘木板A静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量、带正电的滑块B，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数，滑块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对木板A施加水平向左、大小的恒力，当A、B刚要发生相对运动时A、B恰好运动到与A等高且足够长的光滑矮台，同时A撞上矮台，B滑上矮台通过弹簧推动质量滑块C，若C左侧某位置锁定一竖直弹性挡板Q（图中未画出），B、C分开前C会与Q碰撞，碰撞过程中没有能量损失，碰撞时间极短，碰后立即撤去Q。g取10m/s2。求： （1）A、B恰好运动到光滑矮台时B的速度大小； （2）初始时木板A左端到矮台的距离； （3）滑块C与挡板Q碰撞后，B与C相互作用的过程中，弹簧弹性势能最大值的范围。 【答案】（1）6m/s；（2）9m；（3） 【解析】 （1）由于滑块B与绝缘木板A之间动摩擦因数为0.5，静摩擦力能提供的最大加速度由 得 故当0.6N的恒力作用于木板时，A、B系统以 的加速度一起向左运动，当滑块B获得向左运动的速度以后又产生一个竖直向上的洛伦兹力，正压力变小，最大静摩擦力变小，当最大静摩擦力不足以提供滑块的加速度后，发生相对滑动，此时 解得 （2）在此过程中A、B一起做匀变速直线运动，初始时木板A左端距矮台的距离为，由 解得 （3）滑块C与挡板Q碰撞前，B、C系统动量守恒，则滑块C与挡板Q碰撞前有 滑块C与挡板Q碰撞后至B、C共速过程，B、C系统动量守恒，根据动量守恒定律有 解得B、C共速时速度 全过程B、C与弹簧组成的系统机械能守恒，共速时弹簧弹性势能最大，则有 从滑块B开始压缩弹簧至弹簧再次恢复原长的过程中，机械能守恒，则有 又由动量守恒定律有 解得 ， 故C与Q碰撞前B速度取值范围在-2m/s到6m/s之间，根据 可知当时，弹簧的弹性势能最大值最大为 当时，弹簧的弹性势能最大值最小为 故弹簧弹性势能最大值的范围。 【变式训练1-1】如图所示，在真空中竖直平面(纸面)内边长为a的正方形ABCD区域，存在方向沿CB(水平向左)的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)。一带电小球以速率(g为重力加速度大小)从A点沿AC方向射入正方形区域，恰好能沿直线运动。下列说法正确的是(　　) A.该小球带负电 B.磁感应强度方向垂直纸面向外 C.若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球将做直线运动 D.若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向以速率射入正方形区域，则小球将从D点射出 【答案】D 【解析】　小球做直线运动，说明小球受力平衡，小球所受重力方向竖直向下，若小球带正电，所受静电力方向水平向左，所受洛伦兹力方向垂直AC斜向上，小球受力可能平衡，则磁感应强度方向垂直纸面向里，若小球带负电，所受静电力方向水平向右，无论小球所受洛伦兹力方向垂直AC斜向左下还是右上，小球受力都不能平衡，A、B错误；若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球所受的合力不为零，速度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将做曲线运动，C错误；电场方向水平向左，由平衡条件有qvB＝mg(其中v＝)，qE＝mg，电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，静电力与重力平衡，小球沿逆时针方向做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，有qvB＝m，解得r＝a，有2rsin 45°＝a，所以小球将从D点射出，D正确。 【变式训练1-2】如图所示，一个不计重力的带电粒子以沿各图的虚线射入场中．中是两条垂直纸平面的长直导线中等大反向的电流，虚线是两条导线垂线的中垂线；中是两个位置固定的等量同种点电荷的电荷量，虚线是两位置连线的中垂线；中是圆环线圈中的电流，虚线过圆心且垂直圆环平面；中是正交的匀强电场和匀强磁场，虚线垂直于电场和磁场方向，磁场方向垂直纸面向外．其中，带电粒子不可能做匀速直线运动的是() A. B. C.D. 【答案】B 【解析】A.根据安培定则判断知虚线上合磁场的方向沿虚线方向向右，与带电粒子的速度方向平行，所以带电粒子不受洛伦兹力，因而带电粒子做匀速直线运动，故A正确． B.根据等量同种电荷的电场线分布可知电场线与虚线重合，带电粒子所受的电场力与其速度平行，粒子做变速直线运动，故B错误． C.由安培定则知圆环线圈产生的磁场与虚线重合，与带电粒子的速度方向平行，所以带电粒子不受洛伦兹力，带电粒子能做匀速直线运动，故C正确． D.若粒子带正电，粒子所受的电场力向上，由左手定则判断知洛伦兹力方向向下，则带电粒子能做匀速直线运动．故D正确． 故选B。 【变式训练1-3】如图所示，在以坐标原点O为圆心的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场，电场方向沿x轴正方向，磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入，带电粒子沿直线运动，经时间t0从P点射出。若仅撤去磁场，带电粒子经射出半圆形区域，不计粒子受到的重力，匀强磁场的磁感应强度大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】　设粒子带正电，半圆形区域的半径为R，粒子射入时的速度大小为v，粒子能从P点射出，说明其受到的静电力和洛伦兹力相互平衡，则有qE＝qvB，R＝vt0。撤去磁场后，粒子沿y轴方向做匀速运动，经射出半圆形区域，则y方向位移为，沿x轴方向做匀加速直线运动，由几何关系可知从处离开半圆形区域，有，联立解得B＝，故D正确。 对点练2　带电粒子在交变电磁场中的运动 【变式训练1-4】如图所示，整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，光滑绝缘斜面固定在水平面上。一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑，下滑过程中始终没有离开斜面，下滑过程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力力、加速度a与机械能等物理量的大小随时间变化的图线可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AC．滑块下滑过程中始终没有离开斜面，滑块沿斜面受到的重力分力和电场力分力均保持不变，滑块做匀加速直线运动，则图像为一条与横轴平行的直线；根据图像的斜率表示速度，可知图像的斜率逐渐增大，故AC错误； B．由于滑块由静止做匀加速直线运动，则有 可知图像为过原点的倾斜直线，故B正确； D．除重力做功外，还有电场力做功，则滑块的机械能不守恒，故D错误。 故选B。 【变式训练1-5】（多选）如图所示，空间中存在范围足够大的水平向右的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小E=40 N/C，磁感应强度大小B=0.5 T。以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。原点O处的粒子源可发射质量m=3×10-6 kg、电荷量q=1×10-6 C的带负电的粒子，粒子的发射速度大小和方向可调整。第一次实验发射的粒子恰能在xOy平面内做直线运动；第二次实验将匀强电场方向调整为竖直向下，电场强度大小调整为E'=30 N/C，发射的粒子速度大小调整为第一次实验发射速度大小的，且方向不变。取重力加速度g=10 m/s2，不计粒子间的相互作用，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（    ） A．第一次实验中，粒子发射速度大小为100 m/s B．第一次实验中，粒子发射速度方向与x轴夹角为37° C．第二次实验中，粒子发射后第一次经过x轴的坐标为（19.2 m，0） D．第二次实验中，粒子发射后第一次经过y轴的坐标为（0，-14.4 m） 【答案】AC 【解析】A．第一次实验发射的粒子恰能在xOy平面内做直线运动；粒子所受重力、电场力与洛伦兹力的合力为零，如图 重力大小为 电场力大小为 则洛伦兹力大小为 由，解得第一次实验中，粒子发射速度大小为，故A正确； B．由左手定则可知粒子运动方向如图 则 解得 第一次实验中，粒子发射速度方向与x轴夹角为，故B错误； CD．第二次实验发射速度大小 粒子所受电场力大小为 方向沿y轴正方向，则电场力与重力大小相等，方向相反。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图 由，解得 由几何知识可得， 所以第二次实验中，粒子发射后第一次经过x轴的坐标为（19.2 m，0），第二次实验中，粒子发射后第一次经过y轴的坐标为（0，14.4 m），故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练1-6】（多选）如图所示为绝缘固定的斜面的剖面图AD，AD与水平面的夹角为θ=37°，点O、点C为直线AD上的两点，OA段粗糙，OD段光滑，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场充满AD所在的空间，AD与磁场方向垂直。质量为m、电荷量为q的物块，在C点以某一初速度（未知）沿斜面AD向上运动，此时物块与斜面AD之间的相互作用力的大小为0.6mg，已知，，OA段的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列说法正确的是（　　） A．物块带负电 B．物块在C点上滑的初速度大小为 C．物块在斜面AD上做匀变速运动的时间为 D．物块在OA段因摩擦产生的热量为 【答案】BC 【解析】A．若没有磁场，则物块对斜面的压力 由于物块与斜面AD之间的相互作用力的大小为0.6mg，所以洛伦兹力方向垂直于斜面向上，物块带正电，故A错误； B．根据 得 故B正确； C．物块从C点运动到O点的过程中受到的合外力为 加速度 取向下为正方向，有 解得 故C正确； D．物块运动到O点时的速度 此时受到的洛伦兹力 方向垂直于斜面向下，摩擦力 开始匀速运动，所以物块在OA段因摩擦产生的热量为 故D错误。 故选BC。 【变式训练1-7】（多选）如图所示为两个完全相同的倾角为的绝缘固定斜面，以斜面中垂线为界，图甲中斜面的上半部分和图乙中斜面的下半部分空间分别存在磁感应强度大小均为、方向均垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的小滑块（可视为质点）分别从两斜面的顶端由静止释放后滑到斜面底端。小滑块在图甲中斜面运动时，小滑块经过斜面中点前瞬间的加速度为0，小滑块经过斜面中点时的速度为，到达斜面底端时的速度为；小滑块在图乙中斜面运动时，小滑块经过斜面中点时的速度为，到达斜面底端时的速度为。已知小滑块与斜面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A． B．一定大于 C．一定小于 D．可能小于 【答案】ABC 【解析】A．在图甲中，小滑块在斜面的上半部分受到重力、摩擦力、支持力和洛伦兹力的作用。由于小滑块经过斜面中点前瞬间的加速度为0，说明此时小滑块受到的合外力为0。设斜面的长度为L，则小滑块在斜面中点时的速度为v1中，此时的洛伦兹力为qBv1中。根据平衡条件，有 解得 故A正确； B．图乙中前半段根据牛顿第二定律，有 图甲中前半段根据牛顿第二定律，有 由此可知 根据速度-位移公式，有 可知一定大于，故B正确； CD．由上分析可知图甲中小滑块出磁场后做匀加速运动，到达底端的速度v1一定大于v1中，图乙中小滑块进磁场的速度一定大于v1中，所以即小滑块进场将做减速运动，可能一直减速滑到最底端，也可能先减速后匀速滑出磁场，所以v2不可能小于v1中；从顶端滑到底端重力做功相同，乙种情况在磁场中的平均摩擦力要大于甲种情况的平均摩擦力，即克服摩擦力做功乙种情况较大，所以v2一定小于v1，故C正确，D错误。 故选ABC。 【变式训练1-8】如图所示，整个平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为，电场强度大小为，一些质量为，电荷量为的带正电粒子从原点点出发沿轴正方向以某初速度射入场区，不计粒子重力，求： (1)粒子初速度多大时，粒子沿轴做直线运动？ (2)粒子初速度多大时，粒子运动到最高点时速度刚好为0？ (3)若粒子一个周期内的运动轨迹与直线只有一个交点，求粒子初速度和运动过程中经过轴时的坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）粒子沿轴做直线运动，有 解得 （2）假设最高点离轴的距离为，由动能定理 水平方向动量定理 联立两式，解得 （3）设粒子的初速度大小为，粒子的运动轨迹与直线只有一个交点，则粒子在最低点与直线相切。 配速法：将粒子的初速度用两个速度替代，即，其中，将电场力抵消，另一分速度受到洛伦兹力提供向心力，粒子的实际运动可看做以为线速度做匀速圆周运动和以做匀速直线运动的合运动，洛伦兹力提供向心力，有 得轨道半径 由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 粒子运动过程中经过轴时的坐标为 解得 【变式训练1-9】如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： (1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； (2)小圆柱体的加速度为时的速度大小； (3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； (4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 【答案】(1)6m/s2 (2)m/s (3)0.2J (4)m/s 【解析】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 解得 （2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得 竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 将代入得 此时小圆柱体的速度大小为 （3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量 （4）设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有 即 解得 水平方向根据动量定理有 即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为 【变式训练1-10】如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求: (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小; (2)粒子的电荷量与质量之比; (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 【答案】　(1)　(2)　(3)60° 【解析】　(1)粒子在cdef区域做匀速直线运动，由平衡条件有qv0B＝qE 解得粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小v0＝。 (2)由粒子的运动轨迹知，粒子带正电，粒子在cdef区域做匀速直线运动，粒子受力平衡，静电力方向竖直向下，洛伦兹力方向竖直向上，粒子速度水平向右，在abcd区域的逆运动为类平抛运动，则 水平方向有L＝v0t 竖直方向有·t2 结合(1)问联立解得粒子的电荷量与质量之比 。 (3)粒子在圆形区域中，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m 解得粒子在圆形区域中做圆周运动的轨迹半径r＝L 设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为θ，作出粒子在圆形区域的运动轨迹如图所示 由几何关系有tan 解得θ＝60°。 【变式训练1-11】 如图1所示，在真空中有一光滑水平面xOy，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B；在第四象限存在沿－y轴方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m，电荷量为－q的小滑块在xOy平面内从y轴上的P点进入磁场，速度大小为，方向与＋y轴方向成30°角，刚好垂直于x轴进入由两平行挡板构成的狭缝MN中，狭缝足够长，宽度略大于滑块．已知滑块与挡板间动摩擦因数为，从M处离开狭缝时的速度大小为，在运动过程中电荷量保持不变。求： （1）P点的纵坐标y； （2）滑块克服摩擦力所做的功W； （3）在图2中定性画出滑块从进入狭缝到离开狭缝过程的速度—时间图像；并利用此图像计算滑块在此过程中所受电场力的冲量大小I。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析， 【解析】 （1）设滑块在磁场中圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系可得 （2）滑块带负电荷，从M点进入狭缝再从M点离开，电场力做功为0；而洛伦兹力不做功。由动能定理可得 解得克服摩擦力做功为 （3）对滑块受力分析，滑块所受摩擦力为 滑块向－y方向运动过程中，根据牛顿第二定律有 做加速度逐渐减小的减速运动。滑块向＋y方向运动过程中，根据牛顿第二定律有 做加速度减小的加速运动，则小球运动的速度—时间图像如图所示 摩擦阻力的大小与粒子速率成正比，故“阻力—时间”图像与“速度—时间”图像相似，速度-时间图像与时间轴所围面积表示位移，滑块进入狭缝到离开狭缝运动的总位移为零。而阻力—时间曲线与时间轴所围的面积表示阻力的冲量，类比可得摩擦阻力的总冲量为零。以＋y方向为正方向，根据动量定理可得，电场力冲量的大小为 【变式训练1-12】如图所示，质量为m，带电量为＋q的液滴，以速度v沿与水平成45°角斜向上进入正交的足够大的匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在场区做直线运动．重 力加速度为g，求： (1)电场强度E和磁感应强度B各多大？ (2)当液滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度多少？ (3)在满足(2)的前提下，粒子从A点到达与A点位于同一水平线上的B点(图中未画出)所用的时间． 【答案】(1)　　(2)g　(3) 【解析】(1)液滴带正电，液滴受力如图所示． 根据平衡条件，有Eq＝mgtan θ＝mg，qvB＝＝mg 解得E＝，B＝ (2)电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，故电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有a＝＝g (3)电场变为竖直向上后，qE＝mg，故粒子做匀速圆周运动，由T＝，t＝T 可得t＝ 【变式训练1-13】如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，质量为且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，g取。求： （1）刚开始滑块的加速度大小以及滑块受到的摩擦力大小； （2）滑块匀加速所达到的最大速度以及绝缘木板运动的最大加速度。 【答案】（1），；（2）， 【解析】 （1）整体为对象 小滑块为对象 得 匀加速结束时，滑块 得 又有 所以 当滑块与绝缘木板之间弹力为零时，二者间滑动摩擦力也为零。绝缘木板加速度达到最大，有 得 【变式训练1-14】如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 【变式训练1-15】如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出， （1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围； （2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角； （3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。 【答案】（1）；；（2）；；（3）； 【解析】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能 （2）速度选择器 如图所示，几何关系 （3）由上述表达式可得 由 而v0sinθ等于光电子在板逸出时沿y轴的分速度，则有 即 联立可得B2的最大值 【变式训练1-16】在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。 【答案】(1)，；(2)（，0）；(3)（0，）；(4)见解析 【解析】(1)通过速度选择器离子的速度 从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为 由得 (2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离 离开电场后，离子在x方向偏移的距离 位置坐标为(，0) (3)离子进入磁场后做圆周运动半径 经过磁场后，离子在y方向偏转距离 离开磁场后，离子在y方向偏移距离 则 位置坐标为(0，) (4)注入晶圆的位置坐标为(，),电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。 题型02： 带电粒子在叠加场中的圆周运动 【典型例题1】如图所示的MNPQ区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，现有两个带电微粒、均从边界的点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　） A．a、b两微粒均带正电 B．a、b两微粒在该区域运动周期一定相等 C．a、b两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等 D．仅增加磁场强度a、b一定都能做匀速圆周运动 【答案】C 【解析】A．电场方向竖直向上，重力与电场力平衡，即 电场力向上，故微粒带正电（正电荷受力与电场方向相同），A正确； B．圆周运动周期 由 得 则 （与微粒质量、电荷量无关），故a、b周期相等，B正确； C．圆周运动半径 定值，但v未知（两微粒初速度可能不同），故半径不一定相等，C错误； D．仅增加磁场强度B，重力与电场力仍平衡，洛伦兹力增大，但只要满足，微粒仍可做匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力 ），D正确。 本题选错误的，故选C。 【典型例题2】如图所示，沿水平方向和竖直方向建立xOy坐标系，在第一象限内(包括y轴)存在大小未知、方向沿水平向右的匀强电场E1；在第三、四象限内存在大小未知、方向沿竖直向上的匀强电场E2和大小未知、方向沿垂直于纸面向里的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为+q的带电小球由S点（0，h）处水平向左射出，经过x上的a点进入x轴下方做匀速圆周运动，由x轴上b点第一次进入第一象限，做匀减速直线运动，刚好可以到达S点，粒子从a点运动到第一次到达b点的过程中，速度的方向改变270°。已知重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球经过a点时的速度大小； (2)匀强电场E2的电场强度大小和匀强磁场B的磁感应强度大小； (3)小球第11次经过x轴时的横坐标。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设小球过a点时速度方向与x轴负方向成θ角，作出小球的运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得360°-2θ=270° 解得θ=45°   由S点到a点，小球做平抛运动，在竖直方向有 解得    所以小球在a点的速度为 （2）由题知，小球在x轴下方做匀速圆周运动，则有 解得   由S点到a点，小球做平抛运动，则有， 且 联立解得   由b点到S点，小球做匀减速直线运动，根据几何关系可得   根据几何关系有   解得 在第三、四象限，根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）由将小球在第一象限电场中的运动分解为水平方向和竖直方向运动的叠加，结合小球在x轴下方做匀速圆周运动的特点，可知小球在第一象限电场中沿竖直方向做竖直上抛运动，且每次过x轴时的vy都一样大，且；    小球在第一象限电场中沿水平方向做匀加速直线运动，且在任意相邻两点的水平位移满足     在磁场中，根据牛顿第二定律有 取，则 即 全过程则有     解得 则小球第11次经过x轴时的横坐标为 【典型例题3】竖直平面内有如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅱ象限内有一个以坐标原点O为圆心半径为R的四分之一光滑圆弧形轨道，有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度为。在第Ⅲ、Ⅳ象限内有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小也为，磁感应强度为。在紧贴圆弧轨道下端内侧的A点有一质量为m、电荷量为的小球大小可忽略，从A点以某一速度（大小可调）沿圆弧轨道内侧竖直向上射入电场，x轴上OC之间有一长度为R的薄板，重力加速度为g。求： （1）为使小球能够从B点射出，的最小值； （2）从B点飞出的小球打到薄板上的可能范围； （3）若第Ⅲ、Ⅳ象限内的匀强磁场的方向改成竖直向下，。在x轴下方放置另一块水平的面积足够大的挡板M，M在磁场中可以且只能上下移动。试画出从B点飞出的小球在挡板M上的所有可能落点的范围。（只要正确画出图形即可，无需算出范围大小） 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】（1）在B点小球对轨道的压力为0时最小，根据牛顿第二定律 ① 小球由A到B根据动能定理 ② 由①②解得 （2）如图所示 设小球到B点速度为，竖直方向 ③ ④ 水平方向 ⑤ 由③⑤解得 由已知条件知在第3、4象限时 所以小球做匀速圆周运动设小球做匀速圆周运动的速度为，则 ⑥ ⑦ 弦长 ⑧ 由③到⑧解得 可见弦长与无关是定值，小球从磁场到达x轴的坐标为 当 时 若增加则落点向右移动直到小球打到C点，所以小球打到薄板上最右侧的点为C点，所以小球落点坐标 （3）如图所示阴影部分表示所有可能落点的范围，其中AB、CD是和轴及虚线相切的圆弧，是ox在挡板上的投影。 【典型例题4】如图所示，竖直面内间距为L的水平虚线MN、PQ间有水平向里的匀强磁场Ⅰ，PQ下方有水平向外的匀强磁场Ⅱ；两磁场的磁感应强度大小相同，MN下方有方向竖直向下的匀强电场，从同一竖直面内距MN上方高度为L的A点，水平向右抛出一个质量为m、电荷量大小为q的带负电小球，小球从C点进入MN下方的电、磁场中，A、C两点的水平距离为1.5L，匀强电场的场强大小为，重力加速度为g，不计空气阻力及小球大小，求： （1）小球从A点抛出时的初速度大小； （2）要使小球不进入磁场Ⅱ，匀强磁场的磁感应强度大小应满足什么条件？ （3）若小球第一次在磁场Ⅰ中运动的偏向角为90°，进入磁场Ⅱ中运动到某位置时撤去磁场Ⅱ，此后小球第二次在磁场Ⅰ中的运动轨迹恰好与MN相切，则撤去磁场Ⅱ时小球的位置离PQ的距离为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）小球在MN上方做平抛运动，则有 ， 解得 （2）设小球进磁场Ⅰ时的速度大小为v，根据动能定理可得 解得 设小球进磁场Ⅰ时速度方向与水平方向夹角为θ，则 解得 设粒子刚好不进入磁场Ⅱ时，在磁场中Ⅰ做圆周运动的半径为，根据题意及几何关系可得 解得 根据牛顿第二定律 ， 解得 要使小球不进入磁场Ⅱ，匀强磁场的磁感应强度应满足 （3）设小球在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为，根据题意有 解得 根据题意及几何关系可知，小球进磁场Ⅱ时，速度与水平方向的夹角为37°，小球在磁场Ⅱ中运动t时间，撤去磁场Ⅱ，小球做匀速直线运动，设此时小球运动的速度与水平方向的夹角为，则 解得 设撤去磁场Ⅱ时，小球位置离PQ的距离为d，根据几何关系有 经分析可知： s=x1-x2 解得： s= 【变式训练2-1】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下;该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A.液滴带正电 B.液滴比荷 C.液滴沿顺时针方向运动 D.液滴运动速度大小v＝ 【答案】　C 【解析】　液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的叠加场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得，选项B错误;静电力方向竖直向上，液滴带负电，选项A错误;由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动，选项C正确;对液滴有qE＝mg，qvB＝m，联立得v＝，选项D错误。 【变式训练2-2】霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为，电场强度大小为。电荷量为、质量为的电子恰好能够沿半径为的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（     ） A．电场力对电子做正功 B．电子沿逆时针方向做圆周运动 C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为 D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为 【答案】D 【解析】A．因电场力垂直圆环平面向外，电子在圆环平面内做圆周运动，电场力对电子不做功，故A错误； B．电子由于带负电，故所受电场力垂直圆环平面向外，与辐射状磁场对粒子的洛伦兹力平衡，电子受垂直圆环平面向里的匀强磁场的洛伦兹力方向指向圆心O，根据左手定则可知，电子在圆环内沿顺时针方向运动，故B错误； CD．电子在圆环内受到磁场Ⅱ的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力 解得： 电子在垂直环平面方向受力平衡 解得：，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2-3】如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m=1kg、电荷量q=+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小； （2）小球在第一象限内运动的时间。 【答案】（1）（2） 【解析】. （1）小球在到达A点之前做匀速直线运动 电场方向变化后，小球所受重力与电场力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 由几何关系得 （2）小球做匀速直线运动的时间 小球做匀速圆周运动的周期 小球做匀速圆周运动转过的圆心角 小球做匀速圆周运动的时间 【变式训练2-4】如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，求： (1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间； (2)电场强度的大小； (3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子射入第一象限后，在垂直磁感应强度平面内做匀速圆周运动，有 运动到第一次过x轴的时间刚好是一个周期，则 解得 （2）粒子在y轴与虚线之间沿电场方向做匀加速直线运动，初速度大小为 粒子经过虚线时，沿x轴方向的分速度大小 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 解得 （3）粒子进入虚线右侧区域时，由于 因此粒子的运动可以看成是沿x轴正方向以速度做匀速直线运动和以速度做匀速圆周运动的合运动，设做圆周运动的半径为R，则有 解得 因此粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离为 【变式训练2-5】如图所示，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，以足够长的x轴为水平边界的上方充满方向与x轴的夹角=37°斜向上、电场强度大小为E1（未知）的匀强电场；x轴下方充满正交的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为E2（未知）、方向竖直向上，磁场方向水平向外．一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从y轴上到原点O距离为L的A点由静止释放，释放后小球沿AP方向做直线运动，从P点进入第IV象限后做匀速圆周运动且恰好经过原点O．已知AP与x轴的夹角也为，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气阻力不计，重力加速度大小为g． （1）求小球经过P点时的速度大小v； （2）求以及磁场的磁感应强度大小B； （3）若小球从P点进入第IV象限后，立即改变x轴上方的匀强电场，使得小球通过原点O时所受合力与小球速度方向垂直，求改变后的匀强电场的电场强度最小时电场强度的方向和电场强度的最小值Emin以及改变电场后小球第一次经过坐标轴上的位置到P点的距离s． 【答案】（1） （2）, （3）x轴正方向的夹角为,, 【解析】 (1)小球从A点运动到原点O过程的受力和运动情况如图甲所示: 由于小球沿AP方向做直线运动，故该过程小球所受合力F沿AP方向， 根据正弦定理有： 小球从A点运动到P点的过程中，根据动能定理有： F· 解得： v= (2)根据正弦定理有： 由于小球从P点进入第IV象限后做匀速圆周运动，有： qE2=mg 解得： 由几何关系可得，小球在x轴下方做匀速圆周运动的半径为： r= 洛伦兹力提供小球做圆周运动所需的向心力，有： qvB=m 解得： B= （3））根据对称性可知，小球经过原点O时的速度方向与x轴正方向的夹角也为（斜向上），如图乙所示，经分析可知，要使小球通过原点O时所受合力方向与速度方向垂直，且改变后的匀强电场的电场强度较小，则此时电场的电场强度方向与x轴正方向的夹角为 根据几何关系有： 解得： 小球在第I象限内做类平抛运动的加速度大小为： a= 经分析可知，改变电场后小球第一次经过的坐标轴为x轴.设小球从原点O到经过x轴的时间为t，改变电场后小球第一次经过轴上的位置到原点O的距离为x1，沿速度方向小球做匀速直线运动，有： x1cos=vt 垂直速度方向小球做初速度为零的匀加速直线运动，有： x1sin= P点到原点O距离为： x2= 【变式训练2-6】如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限存在沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小；第三象限内存在着以OM为边界的两个匀强磁场区域且方向均垂直于纸面向里，左侧磁场磁感应强度大小，右侧磁场磁感应强度大小，边界OM与y轴负方向的夹角为30°；第四象限同时存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和沿x轴负方向的匀强电场，磁感应强度大小，电场强度大小。现有一电荷量，质证的带电粒子，从第一象限的A点以的速度沿y轴的负方向发出，经电场偏转后，以与x轴负方向成30°角从O点进入第三象限。不计带电粒子的重力。求： （1）A点位置坐标； （2）该粒子从O点到再次经过y轴所用的时间； （3）该粒子从第2次经过y轴到第3次经过y轴沿y轴方向位移的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）由几何关系 解得 水平方向由牛顿第二定律 解得 水平方向由运动学公式 解得 由 解得 竖直方向做匀速直线运动 所以A点的位置坐标为。 （2）粒子进入磁场时速度为 由洛伦兹力提供向心力 解得 由几何关系可知，速度偏转了角进入磁场时速度沿着y轴的负方向，则 由 解得 且粒子进入磁场时速度沿着x轴的正方向，所以 则该粒子从O点到再次经过y轴所用的时间为 （3）在第四象限，该粒子除了有沿x轴正方向的速度v，还有两个沿着y轴等大方向的速度v1。由 得 该粒子做匀速圆周运动的速度为 与x轴正方向成角；由洛伦兹力提供向心力 解得 圆周运动沿y轴负方向的运动的距离为 粒子运动的时间为 直线运动沿着y轴正方向的位移为 所以粒子从第2次经过y轴到第3次经过y轴沿y轴方向位移的大小 【变式训练2-7】 如图，在直角坐标系中，y轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧场强大小为右侧的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从点以某一初速度沿y轴正方向射出，恰好经过原点O且此时速度方向刚好沿x轴负方向，继续运动一段时间后到达点。已知重力加速度大小为g。求： （1）小球从M点运动到原点O过程中的水平加速度大小； （2）y轴左侧电场强度的大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）设小球从M点运动到点的时间为，水平方向的加速度大小为，则有水平方向 竖直方向 解得 （2）设右侧场强大小为，左侧场强大小为，由牛顿第二定律得 又 解得 （3）小球在轴左侧电场中受到的电场力 方向竖直向上，所以带电小球在磁场中做匀速圆周运动，做出小球的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 则可知 ， 设小球运动半径为，根据几何关系有 设小球经过时的速度大小为，由（1）可知 根据洛伦兹力充当向心力有 联立解得 【变式训练2-8】直角坐标系xOy所在竖直平面内分布着电场强度大小相等的匀强电场，第一、二象限中电场强度方向沿y轴正方向，第三、四象限中电场强度方向沿x轴正方向；第一、四象限还分布着垂直于平面向里的匀强磁场。一质量为0.02 kg、带正电的微粒自坐标为(0，－0.4 m)的A点出发，与y轴成45°角以2 m/s的速度射入第四象限，并能在第四象限内做匀速直线运动，已知重力加速度g取10 m/s2。求： (1)(6分)微粒第一次通过x轴时的坐标和微粒第一次通过y轴时的坐标； (2)(8分)微粒运动轨迹与初速度方向所在的直线第一次相交时所需要的时间； (3)(4分)微粒从射出到第(2)问所说的时刻动能的增加量。 【答案】　(1)(0.4 m，0)　(0，0.4 m)　(2)(6＋π) s　(3)0.16 J 【解析】　(1)微粒受力及运动过程分析如图所示 微粒在第四象限内沿与y轴成45°角做匀速直线运动，由分析可知qE＝mg qvB＝mg 微粒在第一象限内，重力与静电力二力平衡，洛伦兹力提供向心力，微粒做匀速圆周运动，有qvB＝m 解得r＝ m 由几何关系得微粒第一次通过x轴时的坐标和微粒第一次通过y轴时的坐标分别为(0.4 m，0)，(0，0.4 m) (2)由A到B微粒做匀速直线运动，由几何关系可知位移为x1＝ m 又x1＝vt1 解得t1＝ s 由B到C微粒做匀速圆周运动，有t2＝ s 由C到D微粒做匀速直线运动，位移为x2＝ m 时间为t3＝ s 由D到E微粒做类平抛运动，轨迹交BA延长线于G点，加速度方向沿D指向A，大小为a＝g 沿DA方向位移大小为x3＝ m 由x3＝a 解得t4＝ s 故t总＝t1＋t2＋t3＋t4＝(6＋π) s (3)只有在第三象限运动的过程，微粒动能有变化。从D到G，合外力做的功W＝mg·x3 由动能定理知W＝ΔEk 解得动能的增加量为ΔEk＝0.16 J。 【变式训练2-9】如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感强度为。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则 （1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，求的大小； （2）若撤去极板间磁场，有n个速度为v1=的离子，能进入偏转磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，求吞噬板上收集的离子个数及的取值范围； （3）重新在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场并调整磁感应强度大小，使v2=的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场，若此时磁场边界为矩形，如图所示，当时上述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积。 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】（1）粒子匀速通过极板，有 解得 （2）粒子在电场中偏转，有 ， 又 代入数据得 故能进入磁场区域收集的离子个数为 在偏转磁场中，有 在磁场中偏转距离 离子射出偏转电场时，对于进入磁场的左右两边界离子而言，与吞噬板左右两端相距分别为2L、，设离子恰好打到吞噬板两端，由几何关系得 则 （3）洛伦兹力提供向心力，有 解得 上述离子全部能被吞噬板吞噬，分析可知偏转磁场为最小面积矩形时，紧贴负极板射入磁场的粒子射出磁场时，沿直线运动能恰打在吞噬板的最左端。 设该轨迹圆心到磁场左边界的距离为a，由相似三角形的几何关系得 解得 磁场的最小面积 【变式训练2-10】我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室(两个半径接近的同轴圆筒间的区域)的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1;还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动(如截面图所示)，可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e;对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。 (1)求氙离子在放电室内运动的加速度大小a; (2)求径向磁场的磁感应强度大小B2; (3)设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】(1)对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室内只受静电力作用，由牛顿第二定律有 eE＝Ma 解得a＝。 (2)电子由阴极发射运动到阳极过程，由动能定理有 eEd＝mv2 处于阳极附近的电子在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动，则轴线方向上所受静电力与在径向磁场作用下受到的洛伦兹力平衡，即eE＝evB2 解得径向磁场的磁感应强度大小为B2＝。 (3)单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氙原子数为N＝ 氙离子经电场加速，有eEd＝Mv'2 设Δt时间内氙离子所受到的作用力大小为F'，则由动量定理有F'·Δt＝NΔt·Mv' 解得F'＝ 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小为 F＝F'，则F＝。 【变式训练2-11】如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 【参考答案】（1）；（2）；（3）i.，ii.（n=1，2，3…） 【名师解析】（1）由于小球所受电场力大小等于重力，则有 可知，电场力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，则有 根据几何关系有 解得 （2）结合上述可知，当小球在第二象限与y轴正方向夹角射出时，可运动到左侧最远落地点，此时落地与O点连线为轨迹直径，则其水平位移 当小球沿方向射出时，可运动到右侧最远落地点，此时轨迹与地面相切，则其水平位移 则落地点区间的长度为 结合上述解得 （3）i.将小球的运动分解为圆周运动与匀速运动，如图所示 则匀速运动的速度为 圆周运动的速度 圆周运动的半径 根据几何关系有 ， 解得 ii.小球速度达到最小时的位置之间的距离 （n=1，2，3…） 其中周期 解得 题型03：带电粒子在叠加场中的“旋进”运动 【典型例题1】如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则(　　) A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为(，0，) C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 【答案】　C 【解析】　沿x轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在yOz平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆，且做圆周运动的周期T＝，当t＝T时刻，在yOz平面质子分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A、D错误；当t＝T时刻，沿x轴方向Ee＝ma，x＝at2＝··()2＝，在yOz平面内，正好经过半个周期，则y＝0，z＝－2r＝－，所以质子的坐标为(，0，－)，故B错误；质子每经过一个周期可经过一次x轴，沿x轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9…，故C正确。 【典型例题2】（多选）空间内存在方向水平向左的匀强电场和磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出）。一质量、带电荷量的小球从点由静止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的A点离OB最远且与OB的距离为，已知。重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．小球经过A点时的速度为 B．小球经过A点时的速度最大 C． D． 【答案】BD 【解析】AB．由题知 即重力与电场力大小相等，由于两者方向垂直，则两力的合力大小为 根据配速法，由于小球在O点处于静止，可将小球在O点的速度分解为垂直于合力F方向向上的和与垂直于合力F方向向下（即为图中虚线方向）的，两个分速度大小相等，方向相反，且使得垂直于合力F方向向下的分速度对应的洛伦兹力与合力F平衡，则小球的运动，可以分解为沿虚线向下的匀速直线运动，与初速度为沿虚线向上的匀速圆周运动，则有， 可得， 由于轨迹上的A点离OB最远，可知匀速圆周分运动恰好运动了半个周期，此时圆周运动的分速度方向平行于虚线向下，即小球的两个分速度方向相同，则合速度最大，即小球经过A点时的速度最大，且最大值为，故A错误，B正确； CD．由上分析可知小球距离虚线OB最远的距离，故C错误，D正确。 故选BD。 【典型例题3】某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，I区长度，内有沿y轴正向的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大，现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度沿z轴正向进入I区，经过两个区域分界面上的B点进入II区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点（如图中所示），已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)II区中磁感应强度的大小； (3)II区L的最小长度。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛规律有， 根据牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）离子在Ⅰ区运动过程，由动能定理可得 解得离子到达B点时速度的大小为 离子在Ⅱ区类，做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如下图所示 设临界圆轨迹半径为r，根据几何知识有 解得离子的轨迹半径为 离子沿y轴正方向的速度为 则根据洛伦兹力提供向心力有 解得Ⅱ区中磁感应强度大小为 （3）离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为 离子在z轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得 联立解得Ⅱ区的长度为（，，） 当时，II区的最小长度为 【变式训练3-1】中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录．为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　) A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 【答案】　D 【解析】　根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则电场力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确． 【变式训练3-2】（多选）如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为E。时，一正离子以初速度水平向右开始运动，离子质量为m，电荷量为q，不计离子重力。此后一段时间内（    ） A．离子的加速度时刻在变 B．当时，离子到出发点的距离为 C．若磁场方向改为竖直向上，则离子可能做匀速直线运动 D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且，则离子在竖直方向最大的位移大小为，此时速度大小为 【答案】AD 【解析】A．离子受到的电场力竖直向下，洛伦兹力在水平面，故离子在水平面以做匀速圆周运动，洛伦兹力大小不变，在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，合成的运动为螺旋运动，且加速度大小 可知加速度大小不变，由平行四边形定则可知加速度方向（合力方向）时刻在变，故加速度时刻改变，故A正确； B．当时，粒子在竖直方向运动距离 由于 则粒子在水平方向距离 离子到出发点的距离为 联立解得 故B错误； C．若磁场方向改为竖直向上，离子受到的电场力竖直向下，洛伦兹力在水平面，粒子不可能为0，即离子不可能做匀速直线运动，故C错误； D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且有，可知洛伦兹力大于电场力，则离子会向上偏转，当粒子在竖直方向的位移最大时（大小设为），电场力做功最大，此时离子速度最大（大小令为），根据动能定理有 根据水平方向动量定理有 其中 联立解得 故D正确。 故选AD。 【变式训练3-3】（多选）如图所示，在竖直空间中建立直角坐标系，整个空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直于平面向里的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，小球恰能沿轴运动，不计空气阻力，且小球所受的电场力大小等于其重力大小的一半。若该小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，在小球之后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动至最高点时的速度大小为 B．小球第一次运动至最低点时的位置坐标为 C．小球运动至最低点时的加速度大小为 D．相邻两次通过轴时的距离可能为 【答案】BC 【解析】A．当小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，小球恰能沿轴运动，且小球所受的电场力大小等于其重力大小的一半，该过程中小球一定沿轴做匀速直线运动，则有， 解得 若该小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，可以将分解为沿轴正方向的和轴负方向成角的，则沿轴正方向的所受的洛伦兹力恰好与电场力、重力平衡，该方向做匀速直线运动，与轴负方向成角的对应的洛伦兹力给小球提供向心力，使其绕逆时针方向做匀速圆周运动，则有， 小球运动到最高点时的速度为，故A错误； B．小球第一次运动至最低点时，运动时间 则有，，故B正确； C．结合上述，小球运动至最低点时的加速度大小为，故C正确； D．一个周期内，小球在轴上方运动时间为， 小球在轴下方运动时间为 则有，故D错误。 故选BC。 【变式训练3-4】如图所示，在平面直角坐标系xOy的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带正电的粒子从A点以沿x轴正方向、大小为的初速度射入电场，恰好经过坐标原点O进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离； (3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A点到第一次获得最大速度时经历的时间。 【答案】(1) (2)16l (3)， 【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向，则有 沿y轴方向，则有 根据牛顿第二定律 得 联立解得 （2）粒子在O点的速度大小为 其中 速度方向与x轴正方向的夹角正切值 解得， 粒子在第四象限运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离 解得 （3）粒子以速度v射入第三象限，根据对称性可知射入第三象限时速度方向与方向的夹角也为，粒子在叠加场中做曲线运动，轨迹为旋轮线。将进入第三象限的初速度v分解为和，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，如图所示 应用配速法洛伦兹力与电场力平衡，则有 解得 由几何关系可知 方向与方向夹角也为 当两个分运动的速度方向相同时，粒子的合速度最大，则有 粒子在磁场中做圆周运动的周期 解得 说明周期与速度大小无关，粒子在第四象限运动的时间 粒子从进入第三象限到第一次速度最大经历的时间 粒子从A点到第一次获得最大速度时经历的时间 联立解得 【变式训练3-5】如图所示，在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度为 方向垂直于纸面向里的磁场，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限（含x、y轴）有电场强度为竖直向下的电场。光滑1/4圆弧轨道圆心O'，半径为圆弧轨道底端位于坐标轴原点O。质量为 带电 的小球A从O处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点。 质量为 带电 小球的B从与圆心O等高处静止释放，与A同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球C。小球A、B、C均可视为质点，所在空间无重力场作用。 （1） 小球A在O处的初速度为多大； （2） 碰撞完成后瞬间，圆弧轨道对小球C的支持力； （3） 小球C从O点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析C球在后续运动过程中，再次回到y轴时离O点的距离。 【答案】（1）2m/s；（2）1.6N；（3） 【解析】（1）A从飞出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 洛伦兹力提供向心力 联立整理得 解得 （2）设B滑到O点的速度为，由动能定理 解得 A、B在O点发生完全非弹性碰撞，设碰后生成的C球速度为v，由动量守恒定律 在碰后瞬间，C球做圆周运动，设轨道对C支持力为F，C球带电量 由 解得 （3）C球从轨道飞出后，受到竖直向下的电场力和垂直纸面向外的洛伦兹力，在电场力作用下，C球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，在水平方向做匀速圆周运动，每隔一个周期T，C球回到y轴上。由 及 解得C球圆周运动周期 C球竖直方向加速度 C球回到y轴时坐标 代入数据解得 （n=1、2、3………..） 【变式训练3-6】如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 【答案】（1）；（2），；（3）， 【解析】 （1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子离开电场时的速度大小为，速度方向相对入射方向偏转的角度为，速度的竖直分量为，在电场中的运动时间为，则有 ，，， 由几何关系可得，粒子在磁场中的转动半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 联立上述方程可以得到 （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，则有 解得 则粒子在电场中位移与水平方向夹角的正切值为 由几何关系有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中竖直方向的偏移 所以相对于A处在竖直方向偏移的距离为 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上有 又有 联立解得 （3）由于 则有 若粒子刚进入复合场区域时速度是刚进入A处初速度的两倍，利用配速法把其速度分为 可知，粒子在复合场中水平方向以做匀速运动，同时以做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 由 可得，其对应的旋轮半径为 在最高点速度最小为 对应的时间是摆线的半周期的奇数倍，即 【变式训练3-7】如图2所示的空间直角坐标系Oxyz中，有一棱长为L的立方体区域，该区域内(含边界)分布有沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以初速度v0从a点沿x轴正方向进入电场区域，恰能从d′点离开。 图2 (1)求电场强度的大小E； (2)若在该区域再加一个沿y轴正方向的匀强磁场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域，之后从Ob′之间某点离开，求磁感应强度的大小B和离开该区域时的速度大小v1。 【答案】(1)　(2)　v0 【解析】　(1)设粒子在电场中运动的加速度大小为a，运动时间为t1，则L＝v0t1 L＝at qE＝ma 解得E＝。 (2)粒子在复合场中的运动，可分解为沿y轴负方向的匀加速直线运动和沿平行于xOz平面的匀速圆周运动，由“粒子从Ob′之间某点离开”可知，粒子在平行xOz平面内的运动轨迹为半圆，由运动的等时性，其运动时间仍为t1＝，t1＝ 又T＝，解得B＝ 根据动能定理可得qEL＝mv－mv 解得v1＝v0。 【变式训练3-8】如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 【答案】　见解析 【解析】　(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径， 由qv0B＝m，D1＝2R1，得D1＝； (2)①粒子速度沿x轴方向的分量v0x＝v0cos θ， 在垂直于x轴方向的分量v0y＝v0sin θ， 在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋线运动。 ②由qv0yB＝m，得D2＝2R2＝。 粒子做匀速圆周运动的周期T＝ 轨迹与x轴相邻交点之间的距离 Δx＝v0cos θ·T＝； (3)①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向由静电力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。 ②由qv0yB＝m，得粒子做圆周运动的半径 R3＝R2＝， 粒子离x轴的最大距离D3＝2R3＝。 ③在x轴方向，qE＝ma，第三次与x轴相交时的位置坐标x＝v0xt＋at2， 从射出至第三次到x轴时间t＝3T＝， 故x＝(v0cos θ＋)。 拓展　若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？ 答案　见解析 解析　粒子做“旋进”运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…。 题型04：带电粒子在叠加场中一般曲线运动 【典型例题1】如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 【答案】B 【解析】小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功机械能守恒。可以假定小球带正电，且磁场方向垂直纸面向里。小球初速度为0，可以将这个初速度分解为向右的速度v1和向左的速度v2 则两者大小关系为v1= v2 且使满足qv1B = mg 则根据前述分析可知，小球的运动可看作是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。很显然，小球的轨迹不是半圆，而是摆线，如图所示 且小球运动至最低点A时速度为向右的v2和v1的矢量和，即2v1，洛伦兹力大小为2mg。其他位置v2和v1的矢量和都小于2v1，故选B。 【典型例题2】(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【答案】ABD 【解析】　油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有mg＝Eq 解得q＝，故A正确； 根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m 联立解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝ 故B正确； 设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得 v1B＝· 解得v1＝， 周期为T＝， 故C错误； 带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2， 解得v2＝－， 由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 【典型例题3】(多选)中国航天科技集团六院801所研发的50千瓦级双环嵌套式霍尔推力器于2025年5月成功点火并稳定运行，推力达牛，接近美国X3推进器牛水平，这一突破使中国成为全球第三个掌握该技术的国家，标志着我国在大功率电推进领域进入国际第一梯队。霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。改变速度大小，得到了如图甲、乙所示的两种轨迹，则下列说法正确的是（　　） A．若入射速度，电子的轨迹一定如图乙中虚线所示 B．只要入射速度，电子距离x轴的最远距离都为 C．若入射速度，电子的轨迹一定如图甲中虚线所示，且当电子速度为时，电子的纵坐标为 D．无论是图甲还是图乙，电子在运动过程中所受的合力大小均不变 【答案】CD 【解析】A．若入射速度，则有 可知电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子将沿x轴做匀速直线运动，若入射速度，将分解为和，电子的运动可以分解为，沿x轴的匀速直线运动和以为速度的沿y轴负方向的匀速圆周运动，图乙中最低点速度沿x轴负向，则，即，故A错误； B．只要入射速度，电子的运动均可以分解为沿x轴的匀速直线运动和沿y轴的匀速圆周运动，距离x轴的最远距离都为 根据 可得，故B错误； C．电子运动过程中洛伦兹力不做功，只有电场力做功，当电子入射速度为，运动到速度为的过程中，由动能定理得 解得，故C正确； D．无论是图甲还是图乙，电子的运动均可以分解为匀速直线运动和匀速圆周运动，故电子所受的合外力大小均为电子做匀速圆周运动的向心力大小，故D正确。 故选CD。 【典型例题4】如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、I象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小 在 范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 随E₁的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为(-L，-1.5L)的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为 的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为(-L，0)的小孔 C，再经偏转区后从坐标为(0，L)的小孔D 进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小 随场强E₁变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角检测区内加沿y轴负方向、场强大小 的匀强电场，在满足（1）的条件下， ①求检测板上收集到离子记录线的长度； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小 沿x轴均匀变化，即 （k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 【答案】（1）；（2）①0.3L；②L；0.8；（3） 【解析】（1）粒子从A到C由动能定理 粒子在偏转区做圆周运动，则 解得 （2）①粒子进入检测区后做类平抛运动，则 带入有 则 ②由平抛运动可知 解得 当时d=2L，即 则sinθ=0.8 当时 所以 （3）由动能定理和动量定理可知 解得 或者 【变式训练4-1】(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　) A.电子从N到P，静电力做正功 B.N点的电势高于P点的电势 C.电子从M到N，洛伦兹力不做功 D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 【答案】　BC 【解析】　由题可知电子所受静电力水平向左，电子从N到P的过程中静电力做负功，故A错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，N点的电势高于P点的电势，故B正确;洛伦兹力总是和速度方向垂直，电子从M到N，洛伦兹力不做功，故C正确;M点和P点在同一等势面上，从M点到P点静电力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受静电力作用，在匀强电场中电子在这两点所受静电力相等，即所受合力相等，故D错误。 【变式训练4-2】(多选)如图甲所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做 匀速运动形成的，该轨迹称为圆滚线。如图乙所示，空间存在竖直向下的大小为E匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）大小为B的匀强磁场，已知一质量为m、电量大小为q的正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线AC运动（该曲线属于圆滚线），到达B点时速度为零，C为运动的最低点。不计重力，则（　　） A．该离子带负电 B．A、B两点位于同一高度 C．该离子电势能先增大后减小 D．到达C点时离子速度最大 【答案】BD 【解析】A．根据左手定则可知该离子带正电，A错误； B．根据动能定理知，洛伦兹力不做功，从A到B，动能变化为零，则电场力做功为零，A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确； C．正离子开始受到方向向下的电场力作用由静止开始向下运动，电场力先做正功后做负功，故该离子电势能先减小后增大，C错误； D．A→C电场力做正功，C→B电场力做负功，C点时离子速度最大，D正确。 故选BD。 【变式训练4-3】(多选)现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的场强大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．M、N两点的竖直距离为 D．粒子经过N点时速度大小为 【答案】BD 【解析】A．设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有 洛伦兹力充当向心力，有 由几何关系可得 综上可得 故A错误； B. 粒子在电场中的运动时间为 在磁场中的运动时间为 粒子从O运动到P的时间为 故B正确； CD. 将粒子从M到N的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量、，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为 设粒子在最低点N的速度大小为v1，MN的竖直距离为y。水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 联立，解得 故C错误；D正确。 故选BD。 【变式训练4-4】(多选)如图，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿轴负方向，磁场方向沿轴正方向。一电子从点（L，0，0）处沿轴正方向入射，其轨迹与轴的第1个交点坐标为（0，0，L）。已知电子的比荷为，入射速度大小为，不计电子所受的重力，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小 B．匀强电场的电场强度大小 C．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 D．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 【答案】BC 【解析】A．电子在电场力作用下，沿z轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，在洛伦兹力的作用下，在xoy平面内做匀速圆周运动，由几何关系可知，电子做圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，有 解得，故A错误； B．电子从入射到与轴的第1个交点过程经历的时间为 沿z轴方向有 解得，故B正确； CD．电子轨迹与z轴第1次相交后，每隔2t时间再与z轴相交，则第n次与z轴相交时，在z轴上有（n=1，2，3…） 故电子轨迹与轴交点的坐标之比为，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练4-5】(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示;当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【答案】　ABD 【解析】　油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有mg＝qE，解得q＝，故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝，周期为T＝，故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 【变式训练4-6】霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小E; (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1; (3)若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【答案】　(1)Bv0　(2)　(3)90% 【解析】　(1)电子沿x轴正方向做直线运动，则电子受力平衡，即eE＝ev0B 解得E＝Bv0。 (2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由到的过程中，由动能定理得eEy1＝mm 解得y1＝。 (3)设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则 电子在最低点的合力为F1＝eE－ev1B 电子在最高点的合力为F2＝ev2B－eE 由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等， 即F2＝F1 整理得v1＋v2＝2v0 电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得 eEy2＝mm 整理得v2－v1＝ 解得v1＝v0 又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到y2＝的位置的电子数占总电子数的比例为η＝×100% 解得η＝90%。 拓展 如果电子以开始沿x轴正方向运动，电子运动过程中，纵坐标的最大值是多少?最大速度是多少? 答案　　 解析　可以将电子的运动分解为沿x轴正方向的速度v0和沿x轴负方向的速度v0，其中速度v0对应的洛伦兹力正好和静电力平衡，故以这个分速度将做匀速直线运动，而电子将在洛兹力作用下以负向速度v0做匀速圆周运动，半径r＝·，纵坐标最大值ym＝2r＝;当两个分速度共线时电子速度最大，vm＝v0＋v0＝v0。 【变式训练4-7】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，其他区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小是磁场II的2倍，在轴正半轴上与点距离为的点有一粒子源，不断地沿轴正向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子的速度大小均为，粒子射出后刚好从点第二次返回轴；再在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (2)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子第一次经过轴的位置离O点的距离； (3)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅱ中运动的最大速度的大小；运动过程中离轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）粒子射出后刚好从点第二次返回轴，如图所示 设匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，匀强磁场II的磁感应强度大小为，由洛伦兹力提供向心力可得， 可得 根据几何关系可得 联立解得 （2）在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，则有 若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在第一象限内做类平抛运动，则有， 解得 则粒子第一次经过轴的位置离O点的距离为 （3）粒子第一次经过轴进入磁场Ⅱ中时，竖直分速度为 则此时粒子速度大小为 粒子速度与轴的夹角满足 将粒子的速度进行如图分解 其中， 则有 可知粒子在磁场Ⅱ中运动可分解为：沿轴方向以速度做匀速直线分运动，另一分运动以速度大小做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 如图所示 可知当方向沿轴正方向时，粒子的速度最大，为 此时粒子离轴距离最大，为 【变式训练4-8】如图所示，水平地面上有一辆小车，上方固定有竖直光滑绝缘细管，管的长度，有一质量、电荷量的绝缘小球A放置在管的底部，小球的直径略小于细管。在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里的匀强磁场。现让小车始终保持速度的向右匀速运动，以带电小球刚经过磁场的竖直边界为计时起点，并以此时刻管口处为坐标原点建立坐标系，轴与磁场边界重合，小球刚离开管口时竖直向上的分速度，求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和绝缘管对小球做的总功； （2）小球经过轴时的坐标； （3）若第一象限存在和第四象限大小和方向都相同的的匀强磁场，同时绝缘管内均匀紧密排满了大量相对绝缘管静止，与小球完全相同的绝缘小球。不考虑小球之间的相互静电力，求能到达纵坐标的小球个数与总小球个数的比值。 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）在水平方向上，小球随车向右做匀速直线运动，该分速度对应的洛伦兹力方向竖直向上，为一个定值，可知，小球在方向上做匀加速运动，则有 解得 在竖直方向上，根据牛顿第二定律有 解得 即有 在上升过程中，根据动能定理有 解得 （2）小球第一次上升到轴，水平位移为 其中 解得 进入第一象限后，小球做斜抛运动，加速度仍然为重力加速度，可知，当小球重新回到轴时，水平位移 解得 小球回到绝缘管后在竖直方向以做减速运动，根据周期性，与轴交点的坐标为 即坐标为。 （3）由于小球恰能到达，此时为能到达的最高点，则有 解得 结合上述有 根据速度分解有 则有 解得 可知 解得 可知能够到达处的小球个数与总小球个数的比值为 【变式训练4-9】类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【解析】（1）根据牛顿第二定律 不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为 （2）设水平方向为方向，竖直方向为方向，方向速度不变，方向速度变小，假设折射角为，根据动能定理 解得 根据速度关系 解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候方向速度为零，即 可得 即应满足 （4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得 所以如果的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下： ①当时 又 解得 全部都打不到板的情况 ②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为 所以 又 解得 即当时 ③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点右侧的一束粒子能打到板上，因此 又 解得 题型05：带电粒子在空间叠加场中的运动 【典型例题1】（多选）如图所示为某一科研设备中对电子运动范围进行约束的装置简化图。现有一足够高的圆柱形空间，其底面半径为R，现以底面圆心为坐标原点，建立空间直角坐标系。在圆柱形区域内存在着沿z轴负向的匀强磁场和匀强电场，在的区域内存在着沿x轴正向的匀强电场。坐标为的P点有一电子源，在xOy平面内同时沿不同方向向圆柱形区域内发射了一群质量为m，电荷量为的电子，速度大小均为。已知磁感应强度的大小为，不计粒子的重力，则从电子发射到完全离开圆柱形区域的过程中，下列说法正确的是（    ） A．粒子完全离开圆柱形区域时速度方向均不相同 B．粒子完全离开圆柱形区域时的速度方向均平行于xOy平面 C．所有粒子在磁场中运动的总时间均相同 D．最晚和最早完全离开圆柱形区域的粒子的时间差为 【答案】AC 【解析】AB．如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 由于粒子的轨迹圆半径和原磁场半径相同，故粒子在xOy平面内将先后经历磁发散、进入电场匀变速直线运动、返回磁场磁聚焦三个过程，最终从xOy平面内的Q点离开，但是速度方向均不相同，在考虑他们在z方向上的匀加速直线运动，离开圆柱形区域时的速度方向不可能平行于xOy平面，故A正确，B错误； C．粒子在磁场中均经历了半个周期，因此在磁场中运动总时间相同，故C正确； D．当粒子从P点沿x轴正向发射时，粒子在xOy平面内运动时间最长，相较于运动时间最短的粒子，其多走的路程为2R，故时间差 故D错误。 故选AC。 【典型例题2】如图甲所示，立方体空间的边长为L，侧面CDHG为荧光屏，能完全吸收打在屏上的带电粒子并发光，三维坐标系坐标原点O位于底面EFGH的中心，，。已知从原点O向xOy平面内各个方向均匀持续发射速率为、质量为m、电荷量为的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用。 （1）若在立方体空间内仅存在方向平行于轴的匀强磁场，沿轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H点。求磁场的磁感应强度B和粒子从原点O运动到荧光屏的最短时间t； （2）若在立方体空间内仅存在z轴负方向的匀强电场和沿y轴正方向的匀强磁场，沿x轴正方向射出的粒子，经某位置恰好与射出时速度相同，求此位置的坐标； （3）若在立方体空间内平行y轴加如图乙所示的磁场，其中。同时平行z轴加如图丙的磁场，其中，粒子在磁场中运动时间远小于磁场变化周期，不计电磁辐射影响。求沿x轴正方向射出的粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度。 【答案】（1），；（2）（，0，0）和（，0，0）；（3） 【解析】（1）根据几何关系有 粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子在匀强磁场运动是周期为 由题意可知，粒子从轴射出，弦长最短为，粒子的运动时间最短。此时圆心角为，运动的最短时间为 （2）根据题中给出的电场强度与磁感应强度的关系有 所以，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，其半径为 一个周期时与原速度方向相同，此时沿轴方向的位移为 由于 该结果需小于，故坐标为和。 （3）根据磁场叠加原理，合磁场强度大小为 粒子的运动轨迹半径为 沿轴正方向射出的粒子，粒子分别在两个截面轨迹如图所示 设粒子射出点距的距离分别为和，由几何关系可知， 解得， 故可得痕迹圆的半径为 故粒子打在荧光屏上落点的痕迹长度为 【变式训练5-1】如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，电场中半径为、平行于电场的圆面内有垂直于电场向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，圆心到垂直于电场的圆面的弦的距离为。一足够大的荧光屏固定在电场中，电场与荧光屏垂直，一个带正电的粒子以初速度沿方向从点射入电磁场，在段做直线运动，粒子打在荧光屏上时，速度与荧光屏夹角为；若撤去电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入磁场，经历一段时间后，粒子从点（图中未标出）离开磁场，离开磁场时速度方向偏转了。不计粒子的重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)点到荧光屏的距离； (3)若撤去磁场，原电场大小不变、方向反向，再叠加一个平行圆面的匀强电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入叠加电场，粒子到达点的速度大小仍为，则所加的匀强电场的电场强度多大。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）圆面内无电场时，粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的轨道半径为，由几何关系得 联立解得 粒子进入磁场，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子在圆面内电磁场中做匀速直线运动时 得 粒子从点射出后做类平抛运动，根据题意可知，打在荧光屏上时沿电场方向的速度大小等于，设点到荧光屏的距离为，根据运动学公式 根据牛顿第二定律 解得 （3）两匀强电场叠加后，仍为匀强电场，由于粒子在、两点速度大小相等，因此为等势线，粒子从点射出后做类斜上抛运动，由几何关系可知，与的夹角为。则由几何关系 粒子沿方向做匀速直线运动，则 沿垂直方向做类竖直上抛运动，则 设叠加后电场的电场强度大小为，则 根据牛顿第二定律 解得 根据矢量合成可知 【变式训练5-2】如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 【答案】　(1)，方向沿y轴负方向　(2) 【解析】　(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有L=v0t 沿y轴方向有L=at2 沿y轴方向的加速度a= 解得匀强电场的电场强度大小为E= 方向沿y轴负方向。 (2)粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为v0，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，作出圆轨迹如图乙所示 由几何关系可得粒子做圆周运动的半径r=L 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m 解得B=。 【变式训练5-3】某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿-z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿-z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，-d，0)点以初速度v0沿+y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与-x方向的夹角θ=60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求： (1)(2分)粒子的电性； (2)(4分)磁感应强度大小B； (3)(8分)粒子打到屏上位置的z轴坐标z1。 【答案】　(1)正电　(2)　(3)- 【解析】　(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图 由左手定则知粒子带正电； (2)设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ=d，根据洛伦兹力提供向心力qv0B=m，解得B= (3)设粒子经过x轴时的坐标为-x1， 则x1+rsin θ=2d 粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1， 则v0cos θ·t1=2d-x1， 粒子运动的加速度a= 在z轴负方向运动的距离z1'=a 解得t1=，z1'= 所以打到屏上位置的z轴坐标z1=-。 【变式训练5-4】国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0<z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z<0，y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45°；z<0，y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场．质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力． (1)当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； (2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； (3)离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标(用d表示)； (4)当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)． 【答案】　(1)　(2) (3)(d，d,0)　(4)(2＋2) 【解析】　(1)如图所示 将离子甲在A点的出射速度v0分解到沿y轴方向和z轴方向，离子受到的静电力沿y轴负方向，可知离子沿z轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，从A到O的过程，有 L＝v0cos β·t，v0sin β＝at，a＝ 联立解得E＝； (2)如图所示 离子从坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝ 离子经过磁场Ⅰ偏转后从y轴进入磁场Ⅱ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv1·B＝，可得rⅡ＝rⅠ 为了使离子在磁场中运动，需满足rⅠ≤d，rⅡ≤3d 则可得v1≤ 故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为； (3)离子甲以v＝的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，离子在磁场Ⅰ中的轨迹半径为r1＝＝ 离子在磁场Ⅱ中的轨迹半径为r2＝ 离子从O点第一次穿过到第四次穿过xOy平面的运动情景，如图所示 离子第四次穿过xOy平面的x坐标为 x4＝2r2sin 45°＝d 离子第四次穿过xOy平面的y坐标为y4＝2r1＝d 故离子第四次穿过xOy平面的位置坐标为(d，d,0)； (4)设离子乙的速度为v′，根据离子甲、乙动能相同，可得mv2＝×4mv′2 可得v′＝＝ 离子乙在磁场Ⅰ中的轨迹半径为 r1′＝＝d＝2r1 离子乙在磁场Ⅱ中的轨迹半径为 r2′＝＝d＝2r2 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示， 从O点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有 t甲＝T1＋T2＝＋＝(2＋2) t乙＝T1′＋T2′＝×＋×＝(4＋4) 可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为Δt＝t乙－t甲＝(2＋2). 【变式训练5-5】如图所示，Oxyz为空间直角坐标系，在x<0的空间I内存在沿z轴正方向的匀强磁场B1。在0<x＜d的空间II内存在沿y轴正方向的匀强电场E，在x>d的空间III存在磁感应强度大小、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从x轴上的A（，0，0）点以初速度v0射入空间I的磁场区域，经磁场偏转后从y轴上的C（0，d，0）点垂直y轴进入空间II，并从x轴上的D（d，0，0）点进入空间III。已知粒子的电荷量大小为q，质量为m，不计重力。求： （1）空间I内磁场的磁感应强度大小B1和空间II内电场的电场强度大小E； （2）粒子运动过程中，距离x轴的最大距离； （3）粒子进入空间III后，每次经过x轴时的横坐标。 【答案】（1），；（2）； （3） 【解析】 （1）设粒子在空间I的磁场中的轨迹半径为，由几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子在空间II做类平抛运动，沿y轴方向的加速度大小 沿x轴方向运动有 沿y轴方向运动有 解得 （2）根据类平抛运动规律可知，粒子速度偏向角正切值为 粒子经过D点时，沿轴负方向的分速度大小为 沿x轴正方向的分速度大小为 粒子在空间III内垂直于磁场 的分速度使粒子在平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子做圆周运动距x轴的最大距离为 （3）粒子在空间III内做圆周运动的周期为 粒子在空间III内沿x轴方向做匀速直线运动，粒子在一个周期内沿x轴正方向运动的距离 所以粒子在空间III中每次经过x轴时的横坐标为 题型06：带电粒子在叠加场中的动量问题 【典型例题1】如图，绝缘环a、b质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆上，环的直径略大于杆的直径，环与杆的动摩擦因数均为，两杆分别处于竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下，下列说法不正确的是（　　） A．摩擦力对两环的冲量相同 B．摩擦力对两环做的功相同 C．若两环最终位移相同，则a环运动时间较短 D．若两环最终运动时间相同，则a环位移较短 【答案】D 【解析】A．由题意，两环向右运动直至停下的过程中，两环所受合力沿杆水平向左，且大小等于受到的摩擦力，对两环根据动量定理有 显然摩擦力对两环的冲量相同，故A正确； B．对两环，根据动能定理有 显然摩擦力对两环做的功相同，故B正确； C．对环a受力分析可知，在竖直方向上，环受到竖直向下的电场力，重力，竖直向上的支持力作用，且 环水平方向上受到的摩擦力 显然环a做匀减速直线运动直至停下；对环b受力分析可知，环水平方向上受到的摩擦力 显然环b做加速度逐渐减小的减速直线运动直至停下；若两环最终位移相同，可画出如图所示图像 由图像可知，a环运动时间较短,故C正确； D．根据选项C分析可知，若两环最终运动时间相同，则a环图像围成的面积较大，则其位移较长，故D错误。 由于本题选择错误的，故选D。 【典型例题2】威尔逊云室是显示高能带电粒子径迹的装置。为更好地研究带电粒子的径迹，某研究小组设计的磁场分布如图所示，在坐标xOy平面（纸面）的一、四象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一比荷为的带正电的粒子从坐标为的P点以大小为的速度垂直y轴射入磁场，若粒子进入磁场后受到了与速率成正比、与速度方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与y轴相切于Q点（未画出）。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子由P点运动到Q点的时间为 B．粒子由P点运动到Q点的时间为 C．Q点的纵坐标为L D．Q点的纵坐标为 【答案】AC 【解析】AB．粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 故A正确，B错误； CD．取一小段时间，设水平方向速度为，竖直方向速度为，对粒子在方向上列动量定理 两边同时对过程求和 得 即 其中 则 结合得 所以点纵坐标为 故C正确，D错误。 故选AC。 【典型例题3】在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小为B。带正电的小球1和不带电的绝缘小球2静止放置于固定的水平悬空光滑支架上，两者之间有一被压缩的绝缘微型弹簧，弹簧用绝缘细线锁住，如图所示。小球1的质量为m1，电荷量为q。某时刻，烧断锁住弹簧的细线，弹簧将小球1、2瞬间弹开。小球1做匀速圆周运动，经四分之三个周期与球2相碰。弹开前后两小球的带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。不计空气阻力，两球均可视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)电场强度的大小； (2)小球2被弹开瞬间的速度大小； (3)小球1、2的质量之比。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）小球1做匀速圆周运动，故小球1所受的重力和电场力等大反向 解得 （2）两球相撞时，小球2的水平位移和竖直位移都是小球1圆周运动的半径，小球1做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则 联立解得 ， （3）烧断细线瞬间，两小球组成的系统动量守恒 解得 【变式训练6-1】空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为（a，0），已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x，y），不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值可能取负值 B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离 D．粒子运动过程中的最大速率 【答案】C 【解析】AB．粒子从初始位置运动到x轴时电场力做功为0，所以不可能运动到x轴以上位置，即y值不可能取负值；到达x轴的速度为零，所以会再次向下运动，重复前一段的轨迹向前运动，则x值会大于a，故AB错误； C．粒子第一次运动到距离x轴最远处时洛伦兹力不做功，由动能定理得 解得 在此处有 解得 故C正确； D．最大速率满足 解得 故D错误。 故选C。 【变式训练6-2】（多选）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 【答案】CD 【解析】A．根据动量定理 故合力冲量大小为，故A错误； B．小球上滑的时间为 重力的冲量大小为 故B错误； C．小球所受洛伦兹力为， 随时间线性变化，故洛伦兹力冲量大小为 故C正确； D．若，0时刻小球所受洛伦兹力为 小球在垂直细杆方向所受合力为零，可得 即 则小球在整个减速过程的图像如图 图线与横轴围成的面积表示冲量可得弹力的冲量为零，故D正确。 故选CD。 【变式训练6-3】如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，匀强电场水平向左，比荷的带负电微粒，刚好能够在纸面内以的速度做匀速直线运动，速度方向与竖直方向的夹角为。已知图中点是它的运动轨迹上的一点，重力加速度取。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)当微粒运动到点时，撤去磁场，当微粒运动到点时（图中未画出），速度变为竖直，求点与点的水平距离和竖直距离； (3)当微粒运动到点时，撤去电场，同时恢复被撤去的磁场，求在此后的运动中，微粒与点在竖直方向上的最大距离是多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【解析】（1）微粒做匀速直线运动，受力情况如图所示 则， 解得 （2）撤去磁场后，微粒做类平抛运动  将速度分解可得， 水平方向的加速度 水平方向的速度减为零时 此时与点的竖直距离为 与点的水平距离为 （3）微粒运动的轨迹离点的竖直距离最大时，速度为水平方向 在水平方向上，由动量定理可得 即 在点时速度 由动能定理可得 求得 与点在竖直方向上的最大距离 【变式训练6-4】如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M的圆筒垂直导轨放置，长度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a端封闭，b端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转移，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q并给其与导轨Q夹角为37°的初速度，如图甲，若小球没有离开磁场，且与导轨Q最大距离为1.8L，求磁感应强度B的大小； (2)若B为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b端处，给圆筒中心施加大小为1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F作用距离为L时小球速度大小； (3)若，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨向右的相同初速度，如图丙。当小球与导轨a端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e倍（0<e<1），请计算： ①在与a端发生第n次碰撞到第n+1次碰撞期间，小球与P导轨的最大距离。 ②从小球开始运动到①中与P导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。 【答案】(1) (2) (3)①，② 【解析】（1）根据几何关系有R=L 小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）在很小的每一段时间Δt内，小球与圆筒x方向速度vx′视为不变，则y方向受到洛伦兹力为 小球在y方向上由动量定理有 累积后有 解得 对小球与圆筒进行分析，根据动能定理有 解得 解得 （3）从初始到第一次碰前有 根据能量守恒定律有 解得第一次碰前瞬间， 则第一次碰后瞬间有， 从第一次碰后至第二次碰前，根据动量定理有 由于 解得 则第二次碰前x方向上，小球与圆筒速度大小为，由能量守恒定律克知小球y方向上的速度大小为，则第二次碰后瞬间有， 以此类推，第n次碰后瞬间有， 从第n次碰后至小球离P导轨最远，则有 由洛伦兹力提供向心力，则有 其中xn表示第n次碰后至第n+1次碰前小球在x方向上的位移，由于 解得， 又从开始运动到第一次碰前有 解得 则有 【变式训练6-5】如图所示，直流电源（不计内阻）与阻值为的定值电阻、滑动变阻器以及水平放置的平行板电容器构成闭合回路，平行板电容器的板间距为d、板长为，板间存在垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、带电量为的小球以某一水平初速度从电容器下极板左边缘无碰撞的进入电容器。已知重力加速度大小为g，电源电动势，小球向右飞入电容器的初速度为，不计电场、磁场边缘效应，不计空气阻力。 （1）若滑动变阻器接入电路中的阻值，且小球恰好做匀速直线运动，求匀强磁场的磁感应强度大小； （2）若小球在板间恰好做匀速圆周运动，且能从两极板间飞出，求接入电路中的阻值，以及磁感应强度大小的取值范围； （3）若滑动变阻器接入电路的阻值，匀强磁场的磁感应强度，求小球在板间运动过程中偏离下极板的最大距离H。 【答案】见解析 【解析】（1）根据欧姆定律有， 解得（1分） 极板间电场强度大小（1分） 小球恰好做匀速直线运动，根据力的平衡 （1分） 解得（1分） （2）小球恰好做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡， 定值电阻两端的电压 根据闭合电路中的分压关系有 联立解得 小球恰好从两板间右侧飞出时，设其圆周运动的半径为，由几何知识可得 解得 小球恰好从两板间左侧飞出时，设其圆周运动的半径为，则 根据洛伦兹力提供向心力有 圆周运动的半径取值范围为或，则磁感应强度大小的取值范围为 或 （3）根据（1）可知当时小球所受电场力大小，方向竖直向上 设小球最高点时速度大小为，根据动能定理有 小球向上偏转，设到最高点所用时间为，这段时间内竖直方向平均速度为，则对应的洛伦兹力水平方向分力的冲量为 根据水平方向的动量定理，以水平向左为正方向，有 联立解得， 题型07：带电粒子在叠加场的应用实例模型 （一）速度选择器模型 【典型例题1】一速度选择器如图所示，当粒子速度满足v0＝ 时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线所示，则关于该粒子的说法正确的是(　　) A. 粒子射入的速度一定是v> B. 粒子射入的速度可能是v< C. 粒子射出时的速度一定大于射入速度 D. 粒子射出时的速度一定小于射入速度 【答案】B　 【解析】假设粒子带正电，则电场力向下，由左手定则知粒子所受洛伦兹力方向向上，由受力分析结合运动轨迹知，qvB>qE，则v>，运动过程中洛伦兹力不做功，电场力做负功，则粒子速度减小；若粒子带负电，则电场力向上，由左手定则知粒子所受洛伦兹力方向向下，由受力分析结合运动轨迹知，qvB<qE，则v<，运动过程中洛伦兹力不做功，电场力做正功，则粒子速度增大，则选项A、C、D错误，选项B正确。 【典型例题2】（多选）记者从中核集团获悉，新一代人造太阳“中国环流三号”首次实现原子核和电子温度均突破一亿度，中国可控核聚变技术取得重大进展。在地球上，要实现可控核聚变，要利用磁场约束来实现。如图为四种电磁场模型的示意图，四种模型中磁感应强度大小均为。图甲为速度选择器，两板间电压为，上极板带正电，板间距为；图乙为电磁流量计，圆形截面的半径为，稳定时最上方和最下方之间的电压为；图丙为磁流体发电机，两极板间距离为，离子进入两板间的速率为；图丁中的霍尔元件为长方体，载流子为电子，带电荷量为，单位体积内的自由电子数为，与磁场方向平行的棱长为，与磁场方向垂直的截面为正方形，正方形的边长为。带电粒子的重力不计，下列说法正确的是（　　） A．图甲中正电荷做匀速直线运动的速度大小为，应从右边进入速度选择器 B．图乙中液体的流量（单位时间内液体流过的体积）为 C．图丙中磁流体发电机两极板间的电压为 D．图丁中霍尔电压为 【答案】BC 【解析】A．图甲中正电荷做匀速直线运动时，则有 解得 由于洛伦兹力与电场力平衡，电场力向下，洛伦兹力应向上，因此正电荷应从左边进入速度选择器，故A错误； B．电压稳定时，导电液体受到的电场力等于洛伦兹力，则有 则其流量 其中 联立解得，故B正确； C．电路稳定时，电场力与洛伦兹力平衡，则有 解得，故C正确； D．根据题意可知，洛伦兹力与电场力平衡，则有 根据电流的微观定义可得 联立解得，故D错误。 故选BC。 【典型例题3】（多选）电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。如图所示，带电粒子（不计重力）在以下四种器件中运动的说法正确的是（　　） A．图甲是速度选择器的结构示意图，速度的带电粒子能够沿直线从右侧进入并匀速通过速度选择器 B．图乙是质谱仪的结构示意图，粒子打在底片上的位置越靠近狭缝S，说明粒子的比荷越大 C．图丙是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，要想粒子获得的最大动能增大，可增大D形盒半径 D．图丁是磁流体发电机的结构示意图，将一束等离子体喷入磁场，A、B两板间会产生电压，且B板电势低 【答案】BC 【解析】A．图甲是速度选择器的结构示意图，速度的带电粒子能够沿直线从左侧进入，因洛伦兹力与电场力等大反向，则能匀速通过速度选择器，若从右侧进入时洛伦兹力和电场力方向相同，则粒子不能匀速通过选择器， A错误； B．图乙是质谱仪的结构示意图，粒子先通过电场加速，则 然后在磁场中偏转，则 解得 粒子打在底片上的位置越靠近狭缝S，则R越小，说明粒子的比荷越大，B正确； C．图丙是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，粒子动能最大时满足 则最大动能 可知要想粒子获得的最大动能增大，可增大D形盒半径R，C正确； D．图丁为是磁流体发电机的结构示意图，将一束等离子体喷入磁场，根据左手定则可知，正离子偏向B极板，则A、B两板间会产生电压，且B板电势高，D错误。 故选BC。 【变式训练7-1-1】在如图所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直，一带电粒子（重力不计）从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子（　　） A.一定带正电 B.速度v＝ C.若速度v＞，粒子一定不能从板间射出 D.若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动 【答案】B　 【解析】根据平衡条件和左手定则可知，粒子带正电和负电均可，选项A错误；由洛伦兹力等于电场力，可得qvB＝qE，解得速度v＝，选项B正确；若速度v＞，粒子可能会从板间射出，选项C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，选项D错误。 【变式训练7-1-2】如图所示，空间某区域存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为；匀强磁场与电场方向垂直，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以初速度水平向右射入，恰好沿直线经过点，a、b两点间距为。不计粒子重力，电场与磁场的范围足够大，下列说法正确的是（　　） A．仅改变粒子的电性，粒子无法沿直线经过点 B．仅改变粒子入射方向（从点水平向左射入），粒子仍可沿直线经过点 C．仅改变粒子初速度的大小，粒子一定无法经过点 D．仅改变粒子初速度的大小，若，粒子一定经过点 【答案】D 【解析】A．正电粒子受到竖直向下的电场力和竖直向上的洛伦兹力，粒子在复合场中做匀速直线运动，有 仅改变粒子电性，则所受的电场力方向向上，洛伦兹力向下，但仍满足 故仅改变粒子的电性，粒子仍沿直线经过点，A错误； B．从点水平向左射入，粒子所受的电场力向下，由左手定则可知洛伦兹力向下，故粒子所受的合外力竖直向下，故粒子不可能可沿直线经过点，B错误； CD．若只改变粒子速度大小，则电场力与洛伦兹力不再等大，故粒子不在做匀速直线运动，设粒子速度变为，可将速度分解为，满足 则可将粒子的速度所对应的洛伦兹力分力平衡电场力而做匀速直线运动，另一个分速度产生的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 匀速圆周运动的周期为 联立解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 即粒子一边做圆周运动，一边沿方向以做匀速直线运动，则当满足 时粒子仍从b点离开，联立解得当时粒子仍从b点离开，C错误；D正确。 故选D。 【变式训练7-1-3】（多选）离子注入是芯片制造的核心工艺之一，工作原理如图所示。电荷量相同、质量不同的混合正离子束由静止经同一电场加速后，进入速度选择器，使具有相同速度的离子垂直进入磁分析器，最后经偏转系统注入晶圆。已知磁分析器内只存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，下列说法正确的是（     ） A．磁分析器利用洛伦兹力改变离子的速度大小，从而实现离子的筛选 B．在离子注入工艺流程中，磁场和加速电场匹配，共同完成对离子的筛选 C．调节磁感应强度的大小，离子的轨道半径与磁分析器匹配后方可进入偏转系统 D．若需质量更大的离子进入偏转系统，应将磁分析器内的磁感应强度减小 【答案】BC 【解析】A．洛伦兹力不能改变离子速度的大小，只能改变离子速度的方向，A错误； B．在离子注入工艺流程中，加速电场、速度选择器的电磁场、磁分析器的磁场共同配合完成离子筛选，B正确； C．根据，可得 调节磁感应强度的大小，离子的轨道半径与磁分析器匹配后离子可通过磁分析器方可进入偏转系统，C正确； D．根据，若需质量更大的离子进入偏转系统，因R要相同，则应将磁分析器内的磁感应强度增大，D错误。 故选BC。 【变式训练7-1-4】（多选）如图所示，有一带正电粒子从点漂入加速电场，不计粒子的初速度，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场左边界入射到磁场中，已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压，磁场的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度，粒子重力忽略不计，取。下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度的大小为 B．粒子在磁场中运动的沿竖直方向的偏转距离为 C．若仅撤去磁场，则粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．若仅撤去磁场，则粒子在磁场中运动的沿竖直方向的偏转距离为 【答案】AD 【解析】A．粒子加速，根据动能定理有 解得 速度选择器内，粒子受力平衡，则有 解得，故A正确； B．粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角为，则有 粒子在磁场Ⅱ中运动的沿竖直方向的偏转距离为，故B错误； C．撤去磁场后，粒子做类平抛运动，则有 根据牛顿第二定律有 竖直方向末速度 代入数据解得 则合速度大小 粒子在磁场Ⅱ中运动的半径为，故C错误； D．由C可知，粒子在磁场Ⅱ中的运动半径为，粒子进入磁场Ⅱ的速度与竖直方向的夹角为，则有 解得 粒子在磁场Ⅱ内的运动轨迹如图所示， 粒子在磁场Ⅱ区域内运动的距离 所以粒子不能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角为，则有 粒子在磁场Ⅱ中运动的沿竖直方向的偏转距离为，故D正确。 故选AD。 【变式训练7-1-5】如图甲所示，粒子发射器由粒子源、加速电场和速度选择器组成，若干带正电的同种粒子以速度从发射器沿轴线射出。如图乙所示，、为两块相互平行、等长且正对的金属板，为两板中轴线，线段CD与两板垂直，O为CD中点，在MN与间存在垂直极板向下的匀强电场，PQ与间存在垂直纸面向里的匀强磁场。发射器可沿CD上下移动并平行极板向右发射粒子。已知粒子比荷，速度选择器中匀强电场的场强，匀强磁场磁感应强度；MN、PQ两板间距离，板间匀强电场的场强。不计粒子重力及粒子间作用，不考虑粒子发射器对所有粒子运动的影响。 (1)求粒子发射器射出粒子的速度大小； (2)若PQ、间匀强磁场磁感应强度，粒子从CO中点射入，为使粒子垂直NQ边界射出，求发射器到NQ的距离L； (3)当粒子发射器在CD间上下移动时，为使进入板间的粒子经多次电场和磁场偏转后，都能从右侧边界NQ射出，求PQ、间匀强磁场磁感应强度。 【答案】(1) (2)（n=0，1，3…） (3) 【解析】（1）粒子在速度选择器中做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，则有 代入题中数据，解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律有 解得 粒子竖直方向有 解得 粒子到对称轴时，竖直方向速度 合速度 由于 可知，速度偏转角 水平位移 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得 粒子垂直NQ边界射出，则粒子经过一次抛体和圆周运动走过的最短长度 可知，若粒子垂直边界射出，段长度（n=0，1，3…） （3）①粒子从边进入电场中的位置越靠近点，粒子在磁场中就更容易从边飞出。当粒子从点进入电场，在磁场中轨迹刚好与相切时为临界状态，如图 粒子在电场中类平抛运动，则有 解得 结合上述有，， 在磁场中由几何关系可得 根据 解得 ②粒子从边进入磁场中的位置越靠近点，粒子越容易从侧边界飞出或一直在磁场中匀速圆周运动。当粒子从点进入磁场，经电场偏转回到磁场中刚好又回到点时为临界状态。如下图 粒子在电场中做类平抛运动，则有， 粒子在磁场中做匀速圆周运动，几何关系有 因为 联立可得 所以为使粒子都能从右侧边界射出有 （二）磁流体发电机模型 【典型例题1】磁流体发电机的发电原理如图所示：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性）沿图示方向以速度v喷射入磁场，磁感应强度为B，磁场中有两块金属板A、B（A板在上，B板在下，且正对），板间距为d，这时金属板上就聚集了电荷。下述说法正确的是（　　） A．A板带正电荷 B．有电流从a经用电器流向b C．等离子体发生偏转的原因是离子所受电场力大于所受洛伦兹力 D．金属板A、B间的最大电势差为Bvd 【答案】D 【解析】A．根据左手定则知，正电荷向下偏，负电荷向上偏，则A板带负电，B板带正电，故A错误； B．因为B板带正电，A板带负电，所以电流的流向为b经电阻流向a，故B错误； C．等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力大于所受电场力，故C错误； D．当等离子体受力平衡时，金属板A、B间的电势差最大，根据平衡条件 解得 故D正确。 故选D。 【典型例题2】（多选）磁流体发电是一项新兴技术。如图所示，平行金属板之间有一个很强的磁场，将一束含有大量正、负带电粒子的等离子体，沿图中所示方向喷入磁场。图中虚线框部分相当于发电机。把两个极板与用电器相连，下列说法正确的是（　　） A．用电器中的电流方向从A到B B．若只增大带电粒子电荷量，发电机的电动势增大 C．若只增强磁场，发电机的电动势增大 D．若只增大喷入粒子的速度，发电机的电动势不变 【答案】AC 【解析】A．根据左手定则可知，正离子所受洛伦兹力方向向上，负离子所受洛伦兹力方向向下，所以上极板相当于电源的正极，下极板相当于电源的负极，则用电器中的电流方向从A到B，故A正确； BCD．稳定时，离子受到的洛伦兹力等于电场力，则有 可得发电机的电动势为 若只增大带电粒子电荷量，发电机的电动势不变；若只增强磁场，发电机的电动势增大；若只增大喷入粒子的速度，发电机的电动势增大，故BD错误，C正确。 故选AC。 【变式训练7-2-】如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连，质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力，下列说法正确的是（　　） A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ 【答案】B 【解析】等离子体垂直于磁场喷入板间时，根据左手定则可得等离子体中的正离子向金属板Q偏转，负离子向金属板P偏转，所以金属板Q带正电荷，金属板P带负电荷，则电流方向由金属棒a端流向b端。等离子体穿过金属板P、Q时产生的电动势U满足q＝qB1v，由欧姆定律I＝和安培力公式F＝BIL可得F安＝B2L×＝，再根据金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，可得F安＝mgsin θ，则v＝，金属棒ab受到的安培力方向沿斜面向上，由左手定则可判定导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下。故B正确。 【变式训练7-2-1】（多选)如图所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电离子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P、Q与电阻R相连接．下列说法正确的是(　　) A．Q板的电势高于P板的电势 B．R中有由a向b方向的电流 C．若只改变磁场强弱，R中电流保持不变 D．若只增大离子入射速度，R中电流增大 【答案】　BD 【解析】　等离子体进入磁场，根据左手定则，正离子向上偏，打在上极板上，负离子向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P板的电势高于Q板的电势，流过电阻R的电流方向由a到b，故A错误，B正确；依据电场力等于洛伦兹力，即q＝qvB，则有U＝Bdv，再由闭合电路欧姆定律I＝＝，电流与磁感应强度成正比，故C错误；由以上分析可知，若只增大离子的入射速度，R中电流会增大，故D正确． 【变式训练7-2-2】（多选)如图所示为磁流体发电机的原理图．金属板M、N之间的距离为d＝20 cm，磁场的磁感应强度大小为B＝5 T，方向垂直纸面向里．现将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正离子和负离子，整体呈电中性)从左侧喷射入磁场，发现在M、N两板间接入的额定功率为P＝100 W的灯泡正常发光，且此时灯泡电阻为R＝100 Ω，不计离子重力和发电机内阻，且认为离子均为一价离子，则下列说法中正确的是(　　) A．金属板M上聚集负电荷，金属板N上聚集正电荷 B．该发电机的电动势为100 V C．离子从左侧喷射入磁场的初速度大小为103 m/s D．每秒有6.25×1018个离子打在金属板N上 【答案】　BD 【解析】　由左手定则可知，射入的等离子体中正离子将向金属板M偏转，负离子将向金属板N偏转，选项A错误；由于不考虑发电机的内阻，则发电机的电动势等于路端电压，所以E＝U＝＝100 V，选项B正确；由Bqv＝q可得v＝＝100 m/s，选项C错误；每秒经过灯泡的电荷量Q＝It，而I＝＝1 A，所以Q＝1 C，由于离子均为一价离子，所以每秒打在金属板N上的离子个数为n＝＝＝6.25×1018(个)，选项D正确． 【变式训练7-2-3】磁流体发电机是一种将内能直接转换为电能的新型发电装置，具有发电效率高、环境污染小、结构简单等特点，具有广泛的应用前景。如图所示为该装置的导流通道，其主要结构如图1所示，通道的上下平行金属板M、N之间有很强的磁场，将等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧不断高速喷入整个通道中，M、N两板间便产生了电压，其简化示意图如图2所示。M、N两金属板相距为a，板宽为b，板间匀强磁场的磁感应强度为B，速度为v的等离子体自左向右穿过两板后速度大小仍为v，截面积前后保持不变。设两板之间单位体积内等离子的数目为n，每个离子的电量为q，板间部分的等离子体等效内阻为r，外电路电阻为R。 (1)金属板M、N哪一个是电源的正极，求这个发电机的电动势E； (2)开关S接通后，设等离子体在板间受到阻力恒为f，请从受力或能量转化与守恒的角度，求等离子体进出磁场前后的压强差Δp； (3)假设上下金属板M、N足够大，若R阻值可以改变，试讨论R中电流的变化情况，求出其最大值Im。并在图3中坐标上定性画出I随R变化的图线，并指出横、纵轴关键点坐标值的大小。 【答案】(1)M板为正极， (2) (3)，见解析图 【解析】（1）由左手定则可知，正离子向上偏转，则M板为正极。 S断开时，M、N两板间电压的最大值，等于此发电机的电动势， 根据，得 （2）方法一：根据能量转化与守恒 外电路闭合后，有： 即： 得： 方法二：根据平衡角度分析： 外电路闭合后，有 等离子体横向受力平衡，则 解得 （3）若R可调，由（2）知I随R减小而增大。当所有进入通道的离子全部偏转到极板上形成电流时，电流达到最大值，即饱和电流Im。 当I<Im时，由（2）可得： 解得：当时， I随R的增大而减小， 当时，，电流饱和保持不变。 由上分析：可定性画出如图所示的I-R图像（图中，）。 （三） 电磁流量计模型 【典型例题1】电磁流量计是随着电子技术的发展而迅速发展起来的新型流量测量仪表。主要有直流式和感应式两种。如图所示直流式电磁流量计，外加磁感应强度为B的水平匀强磁场垂直于管轴，在竖直径向a、b处装有两个电极，用来测量含有大量正，负离子的液体通过磁场时所产生的电势差大小U。液体的流量Q可表示为，其中d为管道直径，k为修正系数，用来修正导出公式时未计及的因素（如流量计管道内的流速并不均匀等）的影响。那么A应该为（　　）    A．恒定常数 B．管道的横截面积 C．液体的流速 D．液体中单位时间内流过某一横截面的电荷量 【答案】B 【解析】由图可知，含有大量正，负离子的液体从入口进入管道，根据左手定则可知，带正电的离子向上偏转，带负电的离子向下偏转，当显示器的示数稳定时，则在管道内形成向下的匀强电场，则有 而 流量 联立解得 所以式中的A应该为管道的横截面积。 故选B。 【典型例题2】（多选）武汉的病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（　　） A．当磁感应强度B减小时，污水流速将减小 B．当污水中离子浓度降低时，MN两点电压将减小 C．只需要测量磁感应强度B及MN两点电压U，就能够推算污水的流量 D．当将MN接入外部回路，该装置将成为磁流体发电机，N点相当于电源的正极 【答案】CD 【解析】A．污水流量计可测出污水流速，且不会改变污水的流速，故A错误； BC．污水流速稳定后，有 可得 故当污水中离子浓度降低时，MN两点电压不变，故B错误； C．污水的流量为 故C正确； D．根据左手定则，正离子向下偏转，负离子向上偏转，故当将MN接入外部回路，该装置将成为磁流体发电机，N点相当于电源的正极，故D正确。 故选CD。 【变式训练7-3-1】为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为和，左、右两端开口与排污管相连，如图所示。在垂直于上、下底面加磁感应强度为向下的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为的相互平行且正对的电极和，和与内阻为的电流表相连。污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况。下列说法中正确的是（　　） A．板比板电势高 B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小 C．污水流量大小，对电流表的示数无影响 D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大 【答案】D 【解析】A．根据左手定则，正离子往N板偏，负离子往M板偏，最终M板带负电，N板带正电，M板电势比N板电势低，故A错误； BCD．最终正负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，可得 污水的流量 则MN两端间的电势差为 污水流量越大，电势差越大，电流表示数越大；增加磁感应强度，电势差增大，电流表示数也增大；污水中离子浓度越大，导线性能越好，即电阻率减小，M、N间污水的电阻r越小，其他条件不变时，回路中的电流越大，故BC错误，D正确。 故选D。 【变式训练7-3-2】某化工厂的排污管末端安装了如图12所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下．污水(含有大量的正、负离子)充满管口从左向右流经该测量管时，a、c两端的电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)．则(　　) A．a侧电势比c侧电势低 B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大 C．污水流量Q与U成正比，与L、D无关 D．匀强磁场的磁感应强度B＝ 【答案】　D 【解析】　污水中正、负离子从左向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向后表面偏，负离子向前表面偏转，所以a侧电势比c侧电势高，故A错误；最终正、负离子会在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，有qE＝qvB，即＝vB，而污水流量Q＝＝·＝，可知Q与U、D成正比，与L无关，显示仪器的示数与离子浓度无关；匀强磁场的磁感应强度B＝，故D正确，B、C错误． 【变式训练7-3-3】为了测量化工厂的污水排放量，技术人员在排污管末端安装了流量计(流量Q为单位时间内流过某截面流体的体积)。如图所示，长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，左、右两端开口，所在空间有垂直于前后面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，含有大量的正、负离子的污水充满管道，从左向右匀速流动，测得M、N间电压为U。由于污水流过管道时受到阻力f的作用，左、右两侧管口需要维持一定的压强差。已知沿流速方向长度为L、流速为v的污水，受到的阻力f＝kLv(k为比例系数)。下列说法正确的是(　　) A．污水的流量Q＝ B．金属板M的电势低于金属板N的电势 C．电压U与污水中的离子浓度有关 D．左、右两侧管口的压强差为 【答案】D 【解析】污水流速为v，M、N间电压为U，根据平衡条件，竖直方向有qvB＝q，解得v＝，污水的流量为Q＝＝vbc，可解得Q＝，故A错误；由左手定则可知，正离子受洛伦兹力向上偏转，负离子受洛伦兹力向下偏转，从而使M板带正电，N板带负电，则金属板M的电势高于金属板N的电势，故B错误；由qvB＝q，得U＝Bcv，则电压U与污水中的离子浓度无关，故C错误；设左、右两侧管口的压强差为Δp，污水匀速流动，由平衡条件得Δpbc＝kLv，将v＝，L＝a代入上式，解得Δp＝，故D正确。 【变式训练7-3-4】在实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示的模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，并测出M、N两点间的电压U，则下列说法正确的是（　　） A.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的 B.容器内液体的流速为v＝ C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速 D.污水流量为Q＝ 【答案】B 【解析】带电离子进入磁场后受到洛伦兹力作用，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到洛伦兹力向上，故A错误；当达到平衡时有q＝qvB，解得v＝，选项B正确；不带电的液体在磁场中不受力，M、N两点间没有电势差，无法计算流速，故C错误；污水流量为Q＝vS＝πd2·＝，选项D错误。 答案　B （四）霍尔效应及霍尔元件模型 【典型例题1】石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能．现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图（a）所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当时，测得关系图线如图（b）所示，元电荷，则此样品每平方米载流子数最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v， 则时间t内通过样品的电荷量q=nevtb 根据电流的定义式得 当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有 联立解得 结合图像可得 解得 故选D。 【典型例题2】（多选）图甲为燃气热水器水流量传感器原理示意图，图中霍尔元件的载流子为电子，单位体积内的电子数为n，电子电荷量为e，上下、前后、左右表面距离分别为a、b、c，在前后表面间通入电流I。水流冲刷叶轮带动环形多极磁铁转动，环形磁铁由等间距的3个N极与3个S极组成。控制器根据霍尔元件反馈的脉冲信号（如图乙所示）调节水和燃气的比例，确保水温恒定。已知水流量与叶轮的转速成正比，比例系数为k，图乙中、为已知量，则（　　） A．水流量为 B．水流量为 C．霍尔元件所处磁场的磁感应强度最大值为 D．霍尔元件所处磁场的磁感应强度最大值为 【答案】AC 【解析】AB．由题知，环形磁铁由等间距的3个N极与3个S极组成，每转一周，霍尔元件会产生6个脉冲信号，从图乙可知，相邻脉冲信号的时间间隔为，则转动周期 可得转速 因水流量与叶轮的转速成正比，且比例系数为，则水流量为，故A正确，B错误； CD．当霍尔元件左右表面的电势差达到稳定值时，电子所受的电场力与洛伦兹力平衡，则有 根据电流的微观表达式有 联立可得，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练7-4-1】在磁场中放置一块矩形通电导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上产生电势差，这个现象叫霍尔效应，所产生的电压叫霍尔电压。图甲为霍尔效应的原理示意图，图中霍尔电压UH＝；如图乙所示，在自行车的前叉上固定一霍尔元件，在前轮辐条上安装一块磁体，这样，轮子每转一周，磁体就靠近霍尔传感器一次，便可测出某段时间内的脉冲数，从而得到自行车的平均速度并通过速度计显示出来，设自行车前轮的半径为R，磁体到前轮转轴的距离为r，则下列说法正确的是(　　) A．若霍尔元件的载流子是负电荷，则图甲中C端电势高于D端电势 B．如果长时间不更换传感器的电池，霍尔电压会越来越大 C．如果在时间t内得到的脉冲数为N，则自行车骑行的平均速度为 D．若前轮漏气，则速度计测得的骑行速度比实际速度偏小 【答案】C 【解析】若霍尔元件的载流子是负电荷，根据左手定则，当通入图甲中所示方向的电流时，负电荷所受洛伦兹力方向向左，负电荷累积到C端，C端电势低，故A错误；若长时间不更换传感器的电池，则通过霍尔元件的电流I将减小，据UH＝，可知霍尔电压将减小，故B错误；如果在时间t内得到的脉冲数为N，则自行车的转速为n＝，平均速度为v＝2πnR＝，故C正确；若前轮漏气，导致前轮半径比录入到速度计中的参数小，则速度计测得的骑行速度比实际速度偏大，故D错误。 【变式训练7-4-2】如图为微量振荡天平测量大气颗粒物质量的原理简图。气流穿过滤膜后，颗粒物附着在滤膜上增加锥形振荡管的质量，从而改变其固有频率。起振器从低到高改变振动频率，记录霍尔元件a、b端输出的电信号，从而推测出滤膜上颗粒物质量。某金属材料制成的霍尔元件宽度为d，下列说法正确的是（　　） A．若起振器振动频率改变，锥形振荡管的振动频率不变 B．霍尔元件上表面的电势高于下表面的电势 C．锥形振荡管左右振动时，霍尔元件的a、b端输出交流信号 D．霍尔元件的宽度d减小，霍尔电压的最大值增大 【答案】D 【解析】A．锥形振荡管的振动频率等于起振器振动频率，所以起振器振动频率改变，锥形振荡管的振动频率也改变，故A错误； B．金属导体中移动的是自由电子，移动的方向与电流方向相反，根据左手定则，自由电子受向上的洛伦兹力，上表面的电势低于下表面的电势，故B错误； C．锥形振荡管左右振动时，霍尔元件所处区域的磁场方向大致还是原来方向，霍尔元件的a、b端输出的电流方向不会改变，则会输出直流信号，故C错误； D．设电源电动势为E，霍尔元件长度为l，高度为h，则其电阻 电流微观表达式为，又，得 根据平衡条件有 可得霍尔电压的最大值 当d减小时，增大，故D正确。 故选D。 【变式训练7-4-3】日常带皮套的智能手机是利用磁性物质和霍尔元件等起到开关控制作用。打开皮套，磁体远离霍尔元件手机屏幕亮；合上皮套，磁体靠近霍尔元件屏幕熄灭。如图所示，一块宽度为、长为、厚度为的霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子。水平向右大小为的电流通过元件时，手机套合上，元件处于垂直于上表面、方向向下且磁感应强度大小为的匀强磁场中，元件的前、后表面产生稳定电势差，称为霍尔电压，且，以此来控制屏幕熄灭。下列说法正确的是（　　） A．前表面的电势比后表面的电势低 B．自由电子所受洛伦兹力的大小为 C．增大霍尔元件中的电流，霍尔电压增大 D．元件内单位体积的自由电子数为 【答案】C 【解析】A．根据左手定则可知，电子受洛伦兹力指向后表面，则电子偏向后表面，则前表面的电势比后表面的电势高，A错误； B．自由电子所受洛伦兹力的大小等于所受电场力的大小，则为，B错误； C．由可知增大霍尔元件中的电流，霍尔电压增大，C正确； D．因可得元件内单位体积的自由电子数为，D错误。 故选C。 【变式训练7-4-4】（多选）如图甲所示，在磁感应强度为的匀强磁场中放置一个厚度为的半导体矩形薄片，在薄片中通上图示的电流，薄片两侧会出现恒定的霍尔电压，霍尔电压与电流的比值称为霍尔电阻。如果增大磁感应强度，会出现“量子霍尔效应”，量子霍尔电阻为（其中为普朗克常量，为电子电荷量，为正整数）。有关霍尔电阻与磁感应强度的关系，如图乙所示。已知半导体薄片的厚度为，薄片中自由电子的电荷量为，单位体积内的自由电子数为，普朗克常量为，电子的电荷量，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中处的电势高于处的电势 B．霍尔电阻会随电流的增大而增大 C．根据图乙可得单位体积内的自由电子数约为 D．时，若薄片中通过电流，则霍尔电压约为 【答案】AC 【解析】A．根据左手定则，电子向N板偏转，故M板电势更高，故A正确； B．当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有 半导体内的电流为 设半导体宽为b，半导体的电流方向的横截面积为 半导体两端的霍尔电压为 整理有 根据霍尔电阻定义有 解得，则霍尔电阻不会随电流的增大而增大，故B错误； C．根据图乙，磁感应强度较小时不会出现量子霍尔效应，则与B成正比，由图乙可知，当时 又 代入数据联立解得，故C正确； D．当时 根据 代入数据解得，故D错误。 故选AC。 【变式训练7-4-5】（多选）小明设计了一个能够测量磁感应强度大小的传感器，如图所示。a、b、c是矩形金属薄片的长、宽及厚度，M、Q、N、P是焊接在金属薄片四个侧面的电极，已知薄片单位体积内自由电子数为n，电子的电荷量为e。现将传感器置于某磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，使磁感线垂直于金属薄片的表面，则（　　）    A．若电流从M进N出，则电子所受洛伦兹力方向指向P端 B．若电流从M进N出且大小为I，则 C．若电流从Q进P出，则M点电势比N点高 D．若电流从Q进P出且大小恒定，则减小c可以提高该传感器的灵敏度 【答案】CD 【解析】A．若电流从M进N出，则电子由N向M运动，根据左手定则，电子将受到指向Q端的洛伦兹力的作用而向Q偏转，故A错误； B．P、Q端累积正负电荷之后，形成电场，根据上述，P端带正电，Q端带负电，P点电势比Q点高，电子又将受到指向P的电场力作用，当电场力等于洛伦兹力时，即有 此时，电子不再偏转，P、Q两端电压稳定，又由于 两式联立解得 故B错误； C．若电流从Q进P出，电子由P向Q运动，根据左手定则，电子将受到指向N端的洛伦兹力的作用而向N偏转，使得M点电势高于N点，故C正确； D．根据上述，当电子所受电场力等于洛伦兹力时有 分析可知磁感应强度变化量相同时，c越小，电压变化量越大，即该传感器的灵敏度越高，故D正确。 故选CD。 【变式训练7-4-6】（多选）在一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N，做成了一个霍尔元件，在E、F间通入恒定电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，M、N间的电压为UH.已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图所示，下列说法正确的有(　　) A．N板电势高于M板电势 B．磁感应强度越大，MN间电势差越大 C．将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，UH不变 D．将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势 【答案】　AB 【解析】　电流的方向由E指向F，根据左手定则，自由电荷受力的方向指向N板，向N板偏转，则N板电势高，故A正确； 设上、下表面间距为L，左右两个表面相距为d，正电荷所受的电场力最终等于洛伦兹力，设材料单位体积内正电荷的个数为n，材料截面积为S，则＝qvB① I＝nqSv② S＝dL③ 由①②③得：UH＝，令k＝，则UH＝k， 所以若保持电流I恒定，则M、N间的电压与磁感应强度B成正比，故B正确； 将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，则载流子不会受到洛伦兹力，因此不存在电势差，故C错误； 若磁场和电流分别反向，依据左手定则，则N板电势仍高于M板电势，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $