4.1 课时2 平行投影 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第四章投影与视图 4.1投影 课时2平行投影 课时目标 理解平行投影与正投影的概念，能区分平行投影与中心投影的光源差异。 2. 掌握平行投影中“同一时刻物高与影长成正比”的性质，能列比例式求物体的高度。 3. 能画出平行投影下物体的影子，描述太阳光下影子长短与方向的变化规律，体会数学 与生活的联系。 课时目录 知识点01：平行投影的定义 知识点02：正投影的概念 知识点03：平行投影的特点（物高与影长成正比） 知识点04：平行投影的作图 知识点05：利用平行投影求物体的高度 知识点06：中心投影与平行投影的辨析 知识点07：太阳光下物体影子的变化规律 1/16 知识点01：平行投影的定义 由平行光线照射物体所形成的投影，叫做平行投影。太阳距离地球极远，到达地面的光线 可近似看作互相平行，所以太阳光下的投影是平行投影。 例如：阳光下旗杆的影子、正午地面上树的影子，都是平行投影。 注意：平行投影的投影线彼此平行，这与中心投影“光线从一点发出”完全不同，判断投 影类型先看光线是否平行。 1.(25-26八年级下·江苏无锡·期中)小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面 上形成的投影不可能是() A.矩形 B.等腰梯形 C.正方形 D.平行四边形 2.(25-26九年级下广东深圳开学考试)甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的 影长分别为lm,2m,1.5m,则三根木棒中最长的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 3.(2026陕西宝鸡·一模)阳光照射下体育馆的影子属于 投影.（填“平行”或“中心”） 4.(25-26九年级上陕西宝鸡阶段检测)比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子100米短跑比赛，一 段时间后又参加了女子400米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参 加400米接力赛的照片是（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）· 北 东 甲 1知识点02：正投影的概念 在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这样的投影叫做正投影。正投影是平行投影的 特殊情形。 例如：正午时分太阳光近似竖直射向水平地面，物体在地面上的影子就近似正投影；下一 节画几何体的视图时用的就是正投影。 注意：正投影必须同时满足两个条件一一光线平行且光线与投影面垂直，只满足前者只是 一般的平行投影；本课时对正投影只作直观了解。 5.(2025湖北武汉模拟预测)图中圆锥体的正投影是() 2/16 正面 B D 6.(2425九年级上山东威海期末)线段CD是线段AB的正投影，则下列说法正确的是() A.AB>CD B.AB<CD C.AB≥CD D.AB≤CD AB 7.(2425九年级下吉林长春·开学考试)如图， 是线段MB在投影面上的正投影，已知MB=30cm, ∠ABB=110° AB ，则投影 的长为() A.30sin20cm B.30cos20°cm C.30cos110°cm D.30tan20°cm 8.(2425九年级上江西九江阶段检测)正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱 时的正投影是() 3/16 知识点03：平行投影的特点（物高与影张成正比） 平行投影的主要特点：同一时刻、同一地点，不同物体的高度与其影长成正比，即“物高 :影长”为定值。 原因是平行光线与地面的夹角相同，各物体与其影子、光线构成的直角三角形彼此相似， 对应边成比例。 例如：上午10时，1m长的竹竿影长为0.6m,则物高：影长=1：0.6；同一时刻影长为9m 的教学楼，楼高为90.6×1=15m。 注意：“成正比”只对同一时刻成立，不同时刻太阳高度角不同，比值也不同，不能把上 午的比值直接用到下午。 9.(26-27九年级上河北张家口阶段检测)如图，在大树MB的右侧有三个台阶 T~T ,每个台阶的高、 宽分别是0.2m和0.4m.某一时刻，测得台阶在地面上的影子DE=0.45m,此时树梢顶点A的影子落 在台阶工的左端点处.己知大树4B的底部到台阶的距离BC=1,9咖，则大树1B的高度约是() B D E A.3m B.3.5m C.3.8m D.4.2m 10.(25-26八年级下·山东济南·期末)槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按 时间顺序排列正确的是() A.6m,5m,4m B.4m.5m,6m c.4m.6m,5m D.5m,6m,4m 4/16 11.(25-26八年级下江苏苏州期末)在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是( ) A.线段 B.矩形 C.菱形 D.梯形 12.(25-26九年级下·吉林长春·期中)如图，阳光下一根长2m的木棒AB在地面上的影子BC长为3m, 此时旗杆DE的影子有一部分落在距离旗杆l5m的墙FG上，旗杆的影子落在墙上的高度FH为2.8m」 则旗杆DE的高度为， m. D G A B CE 知识点04：平行投影的作图 画平行投影的步骤：①根据已知光线（或已知某物体的影子）确定投影线方向；②过物体 的各个端点作投影线的平行线，与投影面相交：③各交点即对应端点的影子位置，连线得 到物体的影子。 例如：已知阳光下木杆AB的影子顶端为A',要画另一木杆CD的影子，过杆顶C作AA 的平行线交地面于C',则DC即为所求影子。 注意：所有投影线必须互相平行，即“同方向、同倾斜程度”；同一时刻所有物体影子的 方向都相同。 13.(26-27九年级上陕西西安·阶段检测)如图，在校园一面围墙AB前有一盏路灯CD.小明在阳光下 借助竹竿MN测量路灯的高度，线段PN表示竹竿在地面上的影子. DP N (I)请画出此刻路灯CD在阳光下的影子： 2)测得MN=lm,PW=1.5m,围墙与路灯之间的距离BD=3m,路灯的影子落在围墙上的高度为0.5m, 求路灯CD的高度. 14.(25-26八年级下·江苏苏州期末)综合与实践：投影中的数学. 5/16 E -B 60 77777777 7777777777 图① 图② (I)如图①，当太阳光线与水平地面成60°时，将木杆AB水平放置、木杆CD竖直放置. ①画出木杆AB,CD在太阳的照射下，在水平地面形成的投影AB',CD(不写作法，保留作图痕 迹) ②己知木杆AB=CD=3m,则影长A'B'=m,CD=m, (②)如图②，水平放置的木杆EF在路灯灯泡P的照射下，在水平地面形成投影EF', ①画出路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆EF=3m,其距离地面的高度为1.6m,影长EF'=5m,求路灯灯泡P距离地面的高度. 15.(25-26九年级上·河南郑州期中)综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的 高度，测量记录如下： 方案一 方案二 E 测量示意图 B B D 图(1) 图(2) 如图(2)，小明直立于点D 如图(1)，在太阳光下，旗杆 处，在小明与旗杆AB之间的地 AB的顶端A的影子落在点D处， 面上直立一根标杆EF,点 同一时刻，小明直立于点D处，小 测量说明 D,F,B在同一水平线上.小明调 明的身高CD与其影长DE恰好相 整自己所处的位置，使眼睛点C 等，点E,D,B在同一水平线上. 标杆的顶端E、旗杆的顶端A 恰好在同一条直线上. CD=1.6m,EF=3m CD=1.6m,DB=17m 测量数据 DF =4m,BF =40m 6/16 根据以上信息，解决下列问题： (I)请在图(1)中画出小明的影长DE,并根据方案一求出旗杆AB的高度； (2)根据方案二中的数据，求出旗杆AB的高度. 16.(25-26九年级上·江苏无锡阶段检测)学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着 三根竹竿AB、CD、EF,垂足分别为B、D、F,两根竹竿之间的距离均为6米(BD=DF=6米)， 收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、 DH,如图1和图2的示意图.请解决下列问题： (1)反映平行投影的情形图是 一，反映中心投影的情形图是；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 E B GD H B GDH F 图1 图2 (2)结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM: 【解决问题】 (3)在图1中，学习小组经测量：竹竿AB=3.6米，竹竿CD=2.25米，竹竿EF=1.5米，竹竿AB、 CD的影长BG=DH=4米，求竹竿EF的影长， 知识点05：利用平行投影求物体的高度 利用平行投影求物高的依据是“同一时刻物高与影长成正比”，列比例式： 未知物高 己知物高 未知物影长已知物影长。 x 2 例如：同一时刻量得2m高的标杆影长1.5m,旗杆影长12m,设旗杆高xm,则121.5， 解得x=16,即旗杆高16m。 注意：比例式两边必须“同物对应”，即左边都是旗杆的量、右边都是标杆的量，交叉错 位会得到错误结果；测量必须在同一时刻进行。 17.(2026江苏南京·一模)如图，棱长为60cm的正方体箱子平放在空旷的地面上，M是棱CD的中点. 当平行光线分别沿射线AC,AM方向射入时，箱子在地面上形成的投影是() 7/16 G B A.边长分别为60cm,90cm的正方形 B.边长分别为90cm,120cm的正方形 C.边长为60cm的正方形和长为90cm,宽为60cm的长方形 D.边长为60cm的正方形和长为l120cm,宽为60cm的长方形 18.(2026广东佛山二模)小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变.己知 该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为3：2的矩形.若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影 画面的长边长为一· 19.(2026陕西咸阳·一模)如图，乐乐将高为1.8米的标杆CD竖立在地面上，某一时刻高为9米的小树 AB在太阳光下的投影为BE,此时标杆CD在太阳光下的投影为CF,CF=12米.已知AB⊥BF, CD⊥BF,点B、E、C、F在同一直线上，则投影BE的长为米. A ECF 20.(2026陕西榆林·一模)革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间 所死难的军民.某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处 竖立一根标杆CD,某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处， CD=DE=1.5m;小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B 点处，DG=3.5m,铭铭眼睛到地面的距离FG=1.8m.已知AB、CD、FG均与地面BG垂直，点B、 D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内.请你求出革命亭的高度AB. 8/16 B DE 知识点06：中心投影与平行投影的辨析 两类投影的根本区别在于光源：中心投影的光线从点光源发出（灯光、烛光），投影线相 交于一点；平行投影的光线互相平行（太阳光）。 性质对比：①同一时刻，中心投影下物高与影长不成固定比值，平行投影下成正比；②灯 光下等高的物体离光源越远影子越长，太阳光下等高的物体同一时刻影长总相等。 例如：夜晚两根等高的柱子距路灯远近不同，影长不同，属中心投影；白天阳光下等高柱 子的影长相同，属平行投影。 注意：判断投影类型，看光源是“点”还是“平行光”；灯泡不能看成平行光源，太阳不 能看成点光源。 21.(24-25九年级上山东青岛期末)数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了 如下活动： 、D、 图① 图② (I)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高1.6m的小军刚好站在路灯影子的顶端点A处，并做了标记」 经测量发现O、A、M三点在同一直线上，此时小军的影子AM长是1.8m,且点A距离路灯底端O 为18m,求路灯OP的高： (2)夜晚小军沿AO所在直线从点A走13.5米到点B,请在图②中分别画出小军在OP的灯光照射下A、 B两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 22.(24-25九年级上·四川达州期末)(1)用配方法解方程：2x2-3x+1=0: (2)①一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段CD表 9/16 示) ②图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出 人在此光源下的影子（用线段EF表示）· 太阳光线 木杆 图1 图2 23.(24-25九年级上·上海徐汇·期中)小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解 答： C B D E 图1 图2 (I)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2m的木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线 段AB,并测量出光线与地面的夹角为60°.在同一时刻同一地点，将一根与AB长度相等的木杆CD 直立于地面，请写出此时木杆CD在地面上影子的长度 m: (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2m的木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为 线段EF', ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P; ②经测量木杆AB距离地面1m,其影子EF的长为3m,求路灯P距离地面的高度， 24.(25-26九年级上江西抚州：阶段检测)学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着 三根竹竿AB、CD、EF,垂足分别为B、D、F,两根竹竿之间的距离均为6米(BD=DF=6米)， 收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、 DH,如图1和图2的示意图.请解决下列问题： (1)反映平行投影的情形图是一，反映中心投影的情形图是一（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 10116 PB GD H F 图1 图2 (2)结合图2中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O: 【数学思考】 (3)在(2)中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M,小明的影长y 随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 B. 【解决问题】 (4)在图2中，学习小组经测量：竹竿AB=3.6米，竹竿CD=2.25米，竹竿EF=1.5米，竹竿AB CD的影长BG=DH=4米，求竹竿EF的影长. 知识点07：太阳光下物体影子的变化规佳 天之中（北半球），太阳光下物体影子的方向与长短随时间有规律地变化：早晨影子朝 西且最长，逐渐向西北、北方向转动并变短；正午影子朝北（北回归线以北）且最短；下 午影子转向东北、东方向并变长。 规律概括：方向按“西→西北→北→东北→东”转动，长短按“长→短→长”变化。 例如：同一根旗杆上午8时的影子比上午10时的影子长，且方向更偏西。 注意：影子的方向始终背向太阳；“正午最短”指一天中太阳高度角最大的时刻，本课时 只要求掌握定性规律，不作定量计算。 25.(25-26九年级上：广东深圳期末)如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子.从早 晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是() A.一直变短 B.短一长一短 C.一直变长 D.长一短一长 26.(25-26九年级上：广东深圳期末)幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在 11/16 同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点() A.妈妈 B.丽丽 C.一样 D.无法判断 27.(25-26九年级上·陕西渭南阶段检测)某兴趣小组开展课外活动.如图，4B两地相距12米，小明 从点A出发沿AB方向以x米秒的速度匀速前进，2秒后到达点D,此时他 CD) 在某一灯光下的影 长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子MF仍落在其身后，并测得影 长MF为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，从点F处再行走2秒到达点H,此时他 GH) 在 同一灯光下的影长为BH(点C,E,G在一条直线上). (I)请在图中画出小明位于点F时的影子MF,并填空：AM= 米：（用含x的代数式表示) (2)求小明原来的速度. 28.(25-26九年级上·广东深圳期中)如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB 的高度比路灯CD的高度低1.6米.夜晚，身高为l.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯AB走向路灯 CD,行走时间为‘秒.当行走2秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底 部（点B).如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM,在路灯CD下的影子为FN. E 地面 B D NFM 地面 图1 图2 (1)求路灯CD的高度. (2)当=4秒时，求影子FN的长？ (3)常言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离. ①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN= (用含t的代数式表示)； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶 端N在地面上移动的速度为米/秒； 12116 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·江苏常州期中)一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能 是() A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 2.(2026辽宁抚顺一模)某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光 下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学 的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为( A.9米 B.9.2米 C.9.5米 D.11米 3.(25-26七年级上·山西临汾·阶段检测)下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时 间的先后顺序正确的是() 2 A.①→②→③→④ B.②→①→④→③ C.③→④→①→② D.①→③-②→④ 4.(25-26九年级上·山西运城阶段检测)如图，将一块面积为60cm的三角形硬纸板ABC平行于投影面 放置，在光源O的照射下形成的投影是△DEF.若OA:AD=2:3,则△DEF的面积为() 13/16 D A.375cm2 B.180cm2 C.135cm2 D.90cm2 二、填空题 5.(26-27九年级上广东深圳阶段检测)教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高.在阳光下他测得 一根长为lm的竹竿的影长是0.7m,但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子 落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的 影长是3.5m,落在墙壁上的影长是1.2m,则这棵数的实际高度为一 6.(25-26九年级上·辽宁大连·期中)如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高 AB=1.6m，他的影长BC=2.7m,再测出旗杆落到地面上的影长EF=13.5m,则旗杆的高度DE为 m A C BE ® 7.(2025广东肇庆·三模)如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处.若测得台阶 CD=EF=HG=0.2m DE=FG=0.3m 2M=0.45m ,且 ,此时台阶在地面的影子 ，树的底部到台阶的 距离BC=1.8m,则树高AB为 14116 B 8.(2425九年级下·北京西城开学考试)埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学” 这个词，被尊称为“地理学之父”.他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设 想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600m,在A处有一 口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木 棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角α约为14.4°，据此可以估算地球的周长约为 km. B 三、解答题 9,(25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测)广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度. 如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长 BC为14m,落在斜坡上的影长CD为8m,AB⊥BC;同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°， 1m的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2m,求旗杆的高度. B C E 10.(26-27九年级上山东济南阶段检测)根据以下素材，探索解决问题. 15116 测量旗杆的高度 可以利用影子测量旗杆的高 素 度.如图，光线CN∥AM, 材 A 1 DN,BM分别是旗杆和小陈同 说明：小陈同学AB 学在同一时刻的影子 MBN D 、 旗杆CD与标杆PO 均垂直于地面，小陈 可以利用镜子测量旗杆的高 同学的眼睛G离地面 素 度.如图，小陈同学从镜子E 材 G 的距离GB=1.7m, 中刚好可以看见旗杆的顶端 2 C,测得BE=2.5m B E D 可以利用标杆测量旗杆的高 度.如图，点G,P,C在同一 素 材 直线上，标杆P2=3.2m测得 G 3 BO=2m,OD=12m B O D 问题解决 1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明△ABM∽aCDN的理由. (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求 出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a,请你用含a的式子表示出旗杆的高度. (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度. 16116 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第四章 投影与视图 4．1 投影 课时2 平行投影 ▌课时目标 1. 理解平行投影与正投影的概念，能区分平行投影与中心投影的光源差异。 2. 掌握平行投影中“同一时刻物高与影长成正比”的性质，能列比例式求物体的高度。 3. 能画出平行投影下物体的影子，描述太阳光下影子长短与方向的变化规律，体会数学与生活的联系。 ▌课时目录 知识点01：平行投影的定义 知识点02：正投影的概念 知识点03：平行投影的特点（物高与影长成正比） 知识点04：平行投影的作图 知识点05：利用平行投影求物体的高度 知识点06：中心投影与平行投影的辨析 知识点07：太阳光下物体影子的变化规律 ▌知识点01：平行投影的定义 由平行光线照射物体所形成的投影，叫做平行投影。太阳距离地球极远，到达地面的光线可近似看作互相平行，所以太阳光下的投影是平行投影。 例如：阳光下旗杆的影子、正午地面上树的影子，都是平行投影。 注意：平行投影的投影线彼此平行，这与中心投影“光线从一点发出”完全不同，判断投影类型先看光线是否平行。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 2．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，平行投影中只有同一时刻垂直于地面的物体，物高才与影长成正比，题目未给出木棒垂直放置的条件，无法确定木棒长度关系． 【详解】解：∵ 平行投影中，物高与影长成正比的前提是物体在同一时刻垂直于地面放置，本题未说明三根木棒均垂直立于地面，无法得到木棒长度和影长的确定对应关系； ∴ 无法确定三根木棒中哪根最长． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】本题主要考查平行投影的概念，解题关键是熟练掌握平行投影与中心投影的概念区别，根据平行投影的定义进行判断即可，平行投影是指由平行光线所形成的投影． 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 4．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【答案】甲 【分析】本题考查了平行投影，根据从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，即可求解，熟练掌握平行投影的特征是解题的关键． 【详解】解：根据平行投影的规律，可知从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∵比赛是在下午进行的，先参加比赛，再参加比赛， ∴甲照片是参加时照的，乙照片是参加时照的， 故答案为：甲． ▌知识点02：正投影的概念 在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这样的投影叫做正投影。正投影是平行投影的特殊情形。 例如：正午时分太阳光近似竖直射向水平地面，物体在地面上的影子就近似正投影；下一节画几何体的视图时用的就是正投影。 注意：正投影必须同时满足两个条件——光线平行且光线与投影面垂直，只满足前者只是一般的平行投影；本课时对正投影只作直观了解。 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投影的概念，理解投影的定义，数形结合分析是关键． 根据立体图形的特点，投影的定义，数形结合分析即可． 【详解】解：圆锥体的投影是， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·山东威海·期末）线段是线段的正投影，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影，熟练掌握正投影的概念是解题的关键．根据正投影的概念即可解答． 【详解】解：根据正投影的定义可知，当与投影面平行时，； 当与投影面不平行时，； 综上所述，． 故选：C． 7．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过B点作， 是线段在投影面上的正投影， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故选B． 8．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． ▌知识点03：平行投影的特点（物高与影长成正比） 平行投影的主要特点：同一时刻、同一地点，不同物体的高度与其影长成正比，即“物高∶影长”为定值。 原因是平行光线与地面的夹角相同，各物体与其影子、光线构成的直角三角形彼此相似，对应边成比例。 例如：上午10时，1m长的竹竿影长为0.6m，则物高∶影长＝1∶0.6；同一时刻影长为9m的教学楼，楼高为9÷0.6×1＝15m。 注意：“成正比”只对同一时刻成立，不同时刻太阳高度角不同，比值也不同，不能把上午的比值直接用到下午。 9．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据平行投影的变化规律，明确北半球下午物体影子长度随时间的变化趋势即可求解． 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】利用矩形对边平行，平行投影中平行直线的投影仍平行或共线即可判断，得出不可能的投影． 【详解】解：阳光照射形成的投影是平行投影， ∵矩形的对边互相平行， 又∵在平行投影中，互相平行的直线的投影仍然互相平行或重合， ∴矩形投影得到的图形一定有两组对边平行（或一组对边重合为线段）， 当卡纸平面与光线平行时，投影为线段，故A可能； 当卡纸与地面平行时，投影为矩形，故B可能； 当卡纸倾斜放置时，可得到邻边相等的平行四边形即菱形，故C可能； 梯形只有一组对边平行，不符合投影性质，因此不可能是梯形． 12．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． ▌知识点04：平行投影的作图 画平行投影的步骤：①根据已知光线（或已知某物体的影子）确定投影线方向；②过物体的各个端点作投影线的平行线，与投影面相交；③各交点即对应端点的影子位置，连线得到物体的影子。 例如：已知阳光下木杆AB的影子顶端为A′，要画另一木杆CD的影子，过杆顶C作AA′的平行线交地面于C′，则DC′即为所求影子。 注意：所有投影线必须互相平行，即“同方向、同倾斜程度”；同一时刻所有物体影子的方向都相同。 13．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意作图如下： (2) 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长_m，_m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 15．（25-26九年级上·河南郑州·期中）综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题： (1)请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； (2)根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 【答案】(1) 小明的影长如图所示， 旗杆的高度为 (2)旗杆的高度为 【分析】（1）根据平行投影的性质，过点C作的平行线，交的延长线于点D，即可得到所求小明的影长．证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）过点作于点，交于点．得到四边形，四边形，四边形均为矩形．求出，，的长，证明，得到，代入数值求出，根据即可求解． 【详解】（1） 太阳光线是平行线， ， ． ∵， ， ， ，， ∴ ． 所以，旗杆的高度为． （2）解：过点作于点，交于点． 四边形，四边形，四边形均为矩形． ， ∴，，， ，， ， ， ， ， ． ． 所以，旗杆的高度为． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（1）图2；图1 （2）如图所示，即为所作； （3）米 【分析】本题考查投影和相似三角形的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形即可求解； （3）利用相似三角形的性质构建方程组和方程，求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； (2)略 （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，， ，， ，， ，， ，，，， ，即， ，即， 则，解得， ，， ， ， ， ，，，， ，即， 解得， 则竹竿的影长为米． ▌知识点05：利用平行投影求物体的高度 利用平行投影求物高的依据是“同一时刻物高与影长成正比”，列比例式：。 例如：同一时刻量得2m高的标杆影长1.5m，旗杆影长12m，设旗杆高x m，则，解得x＝16，即旗杆高16m。 注意：比例式两边必须“同物对应”，即左边都是旗杆的量、右边都是标杆的量，交叉错位会得到错误结果；测量必须在同一时刻进行。 17．（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别求出光线沿射线、方向射入时，投影的边长，即可得答案． 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 18．（2026·广东佛山·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 【答案】 【分析】投屏后画面形状保持不变，投影矩形与原屏幕矩形为相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求解投影长边长． 【详解】解：投屏后画面形状保持不变， 投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为， 原矩形相邻两边长之比为， 即长边短边， 可得， 解得， ∴投影画面的长边长为． 19．（2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 20．（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． ▌知识点06：中心投影与平行投影的辨析 两类投影的根本区别在于光源：中心投影的光线从点光源发出（灯光、烛光），投影线相交于一点；平行投影的光线互相平行（太阳光）。 性质对比：①同一时刻，中心投影下物高与影长不成固定比值，平行投影下成正比；②灯光下等高的物体离光源越远影子越长，太阳光下等高的物体同一时刻影长总相等。 例如：夜晚两根等高的柱子距路灯远近不同，影长不同，属中心投影；白天阳光下等高柱子的影长相同，属平行投影。 注意：判断投影类型，看光源是“点”还是“平行光”；灯泡不能看成平行光源，太阳不能看成点光源。 21．（24-25九年级上·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：    (1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； (2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1) (2)小军影子的长度变短了 如图，    由题意，知，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解得，， ∵ ∴小军影子的长度变短了． 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）先根据中心投影画出图形，然后证明，，根据相似三角形的性质，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，知，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：路灯的高为； （2）略 22．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）用配方法解方程：； （2）①一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段表示） ②图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出人在此光源下的影子（用线段表示）． 【答案】（1） （2）①如图，即为所求； ②如图，点，线段即为所求． 【分析】本题考查解一元二次方程，平行投影和中心投影： （1）利用一除，二移，三配，四变形的方法，进行配方，再进行求解即可； （2）①根据平行投影，过木杆的顶点，画太阳光的平行线，即可得到线段； ②先确定光源的位置，再画出人在此光源下的影子即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②略 23．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】(1) (2)①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②3 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（）图，图； （）如图所示，线段和点即为所求； （）；（）米 【分析】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （）根据中心投影的定义画出图形； （）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：（）反映平行投影的情形图是图，反映中心投影的情形图是图， 故答案为：图，图； （）略 （）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：； （）如图，过点作于点，设米，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴米，米， 又同理可得：， 即， 解得， 答：的影长为米． ▌知识点07：太阳光下物体影子的变化规律 一天之中（北半球），太阳光下物体影子的方向与长短随时间有规律地变化：早晨影子朝西且最长，逐渐向西北、北方向转动并变短；正午影子朝北（北回归线以北）且最短；下午影子转向东北、东方向并变长。 规律概括：方向按“西→西北→北→东北→东”转动，长短按“长→短→长”变化。 例如：同一根旗杆上午8时的影子比上午10时的影子长，且方向更偏西。 注意：影子的方向始终背向太阳；“正午最短”指一天中太阳高度角最大的时刻，本课时只要求掌握定性规律，不作定量计算。 25．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（    ） A．一直变短 B．短一长一短 C．一直变长 D．长一短一长 【答案】D 【分析】本题考查了投影，根据题意可得投在木板上的影子长度的变化情况是从长变短再变长． 【详解】解：根据题意可得，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是长一短一长， 故选：D． 26．（25-26九年级上·广东深圳·期末）幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（    ） A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影． 根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案． 【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，丽丽身高小于妈妈， ∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点． 故选：A． 27．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）某兴趣小组开展课外活动．如图，两地相距12米，小明从点出发沿方向以米秒的速度匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，从点处再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点在一条直线上）． (1)请在图中画出小明位于点时的影子，并填空：_______米；（用含的代数式表示） (2)求小明原来的速度． 【答案】(1) 图形如图所示： (2)小明原来的速度为 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长． （1）利用中心投影的定义画图； （2）设小明原来的速度为，则，，，，根据相似三角形的判定方法得到，，则，，推出，即，然后解方程解决． 【详解】（1） 小明原来的速度为， 则， （2）解：根据题意易得四边形均为矩形，， ， 点在一条直线上，， ， ， ， ，即， ， 解得，经检验：是原方程的解， 小明原来的速度为． 28．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】太阳光线是平行光线，属于平行投影，根据平行投影的特点判断即可． 【详解】解：∵太阳光是平行投影，长方形卡纸的两组对边互相平行， ∴平行直线在平行投影下得到的投影仍然互相平行， 因此长方形影子的两组对边依然分别平行，影子一定是对边平行的平行四边形，矩形，正方形都是特殊的平行四边形，都可以形成， 梯形只有一组对边平行，不可能满足两组对边分别平行的特点，因此不可能得到梯形的影子． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1．6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1．5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 3．（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①→②→③→④ B．②→①→④→③ C．③→④→①→② D．①→③→②→④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行投影（太阳光下影子）的变化规律，熟练掌握“从早晨到傍晚物体影子的指向及影长变化特点”是解题的关键．根据太阳光下影子的变化规律（从早晨到傍晚，物体影子的指向从西→西北→北→东北→东，且影长先变短后变长），判断四幅图的时间先后． 【详解】解：∵太阳光下影子的变化规律（从早晨到傍晚，物体影子的指向从西→西北→北→东北→东，且影长先变短后变长） ∴ 影子指向：③（西）→④（西北）→①（北）→②（东北），对应时间先后为③→④→①→②． 故选：C． 4．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：，， ． ． ． 故选：A． 二、填空题 5．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 【答案】 【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度． 【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例， 所以：， 即：， 解得落在地上的影长对应的树的高， 所以树的高度为：． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为___________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 7．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·北京西城·开学考试）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为________km． 【答案】40000 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，的长度为， ∴ 设地球的半径为， ∴ 解得：， ∴地球的周长为， 故答案为：40000． 三、解答题 9．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 过点C作，交于点P，过点P作于点Q，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出，根据即可解决问题． 【详解】解：过点C作，交于点P，过点P作于点Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，，∵， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 10．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】(1)解：， ， ， ， ． (2)小陈同学还要测量； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为． （3）解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为． / 学科网（北京）股份有限公司 $