4.1 第1课时 中心投影&第2课时 平行投影-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

第四章投影与视图 投影 ©第1课时 中心投影 基础在线》知识要点分美 知识点3 中心投影的应用 5.一幢4层楼房只有一个窗户 知识点1投影与中心投影 亮着一盏灯，一棵小树和一 1.下列现象不属于投影的是 ( 根电线杆在窗口灯光下的影 A.皮影B.树影C.手影 D.素描画 子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口. 2.下列投影中，不属于中心投影的是 ( A.晚上路灯下小孩的影子 ②能力在线沙 :方法规律综合练 B.舞台上灯光下演员的影子 C.阳光下树的影子 6.（教材P113习题T3变式) D.电影银幕上演员的影子 如图，某小区内有一条笔直 3.(教材P108随堂练习T2变式)如图，路灯下 ● 的小路，路的旁边有一盏路 A 一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC,小明 灯，晚上小红由A处径直走到B处，表示她在 (用线段DE表示)的影子是EF,在M处有一 灯光照射下的影长1与行走的路程s之间关系 棵小树，它的影子是MN. 的大致图象是 (1)画出路灯的位置（用点P表示）； (2)在图中画出表示小树的线段， D 7两根不一样长的木杆垂直竖立在地面上，若它 NM 们在水平地面上的影长相等，则此时的投影 (填“是”或“不是”)中心投影 ③拓展在线沙塔优拔尖提升然 …0 知识点2中心投影条件下物体与其投影之 8.如图，路灯(P点)距地面9米，身高1.5米的 间的转化 小云从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿 4.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路 OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长 灯越近，旗杆的影子 度 (填“变长”或“变短”)了 米 A.越长 B.越短 C.一样长 D.随时间变化而变化 81探究在线九年级数学（上）·BS @第2课时 平行投影 基础在线》 知识要点分类练 2 能力在线沙方法规律综合练 知识点1平行投影 6.太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户 1.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳 的墙上的影子的形状是 光下的影子的图是 A.与窗户全等的矩形B.平行四边形 bst be le C.比窗户略小的矩形D.比窗户略大的矩形 7.(教材P113习题T2变式)如图是王芳同学某 ·天观察到的一棵树在不同时刻的影子，请你 2.如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画， 把它们按时间先后顺序进行排列，正确的是 他让四个学生猜测他画这幅画的时间.根据王 老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的 是 ( A.小丽说：“早上8点” ④ B.小强说：“中午12点” A.①②③④ B.②①③④ C.小刚说：“下午3点” C.④②③① D.④③②① D.小明说：“哪个时间段都行” 8.(易错题)一根笔直的小木棒（记为线段AB), 东 它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成 立的是 () A.AB=CD B.AB≤CD 第2题图 第3题图 C.AB>CD D.AB≥CD 3.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB 在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐到地面 3 拓展在线》 培代拔尖提升练 ● 的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高 9.路边有一根电线杆AB AB为 和一块长方形广告牌，有 H A.1.5m B.1.6m C.1.8m D.2.5m 一天，小明突然发现在太 B 4.如图，日晷是我国古代利 阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在 用日影测定时刻的仪器， 长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广 晷针在晷面上所形成的 告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已 日 投影属于 投影. 知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米， 知识点2正投影 高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高 5.矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是( 度是 ( A.矩形 B.平行四边形 A.6.75米 B.7.75米 C.线段 D.点 C.8.25米 D.10.75米 第四章82∠ABD=∠A'B'D',.△ABD∽△A'B'D'. 能力在线 000距。 9.D10.1:211.4 12.(1)如图所示. 拓展在线 13.(1)由相似比，得h= 4工 (2)(如图)由折叠性质知，2AD=h1十6， 又由(1)知，AD=A=子， 故u=2X至x-6=号x-6. (2)2:14:1 13.矩形ABCD的周长为24，.AB+AD=12 由△A,EFn△AMN知，AD一M' h EF 设AB=x,则AD=12一x, .AB=x+4,AD=14-x. =￥，=含=2z-8. 3 矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形， 第2课时相似三角形的周长和面积 0=品即异 x+414-x, 基础在线 解得x=8,.AB=8,AD=12一x=4. 拓展在线 1.B2.D3.44,25.16.C 14.(1)△ABC与△FGC是位似图形. 7.资金不够用.理由如下：易得△AMD的面积为50m,由 ,FG⊥BC,AB⊥BC,∴.FG∥AB. △AMD∽△CMB知，△BMC的面积为200m2,若种植同 '.∠CFG=∠CAB,∠CGF=∠CBA 样的太阳花，需2000元资金，而剩余资金只有1500元， ..△ABC△FGC 不够用 ,△ABC与△FGC对应顶点的连线交于点C,对应边互 8.A 相平行或重合， 能力在线 '.△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C. 9.D10.D11.1:3 .BO=OD,OE∥CD, 12.由题意可得DE∥BC,则△ADEp△ABC. 架能是-器 器-8品能-2 AB的长由原来的30米缩短成BD为18米， 需器-2装景 AD-12米品-8-0 OE⊥BC,FG⊥BC,.FG∥OE. 80” ,C△ADE=32米. 器器号骆 学-（号）-签5w=16平方米 .△ABC与△FGC的相似比为3：1. 13.(1)由□BFED知，DE∥BC, 2 器-铝即-A0=2 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 基础在线 (2),四边形BFED是平行四边形， 1.D2.A3.C4.(4,2)5.(1,2) .DE∥BC,EF∥AB,DE=BF, 6.图略.A'(-2,1),B(-1,-2),C(3,-1),D(1,2):或 ∴∠AED=∠ECF,∠EAD=∠CEF, A'(2,-1),B(1,2),C(-3,1),D(-1,-2). △ADE△ERC÷A=(）) 7.(4,2)或(-4，-2) S△EFC 能力在线 ..DE-1 BC DE=B,C=3DE= 8.D9.A10号或号 )=()》‘=g 11.(1)图略，点A',B的坐标分别为A'(4,7),B'(10,4) (2)点C的坐标为(3a-2,3b-2). :△ADEn△ABC,BC=4' DE 1 拓展在线 ()-()°= 12.(1)由题意，得=-2， 把点(3,1)和=-2代入y=x :SAADE=1,∴.SAEFC=9,S△ABC=16, +b中，得1=-2×3十b, SOBFED SAABC -SAEFC-SAADE =16-9-1-6. ∴.b=7. A 拓展在线 (2)根据位似比为12，得 14.A 函数y=kx十b的图象有两种情况： 5图形的位似 ①不经过第三象限时，过(1,0)和 第1课时位似图形 (0,2),这时表达式为 基础在线 y=-2x+2; 1.C2.P3.B4.B5.D6.C7.D ②不经过第一象限时，过（一1,0）和(0，一2)，这时表达式 8.(1)(2)图略 为y=-2x-2. 24 一探究在线·九年 阶段测评4(3.4-3.5) 1.B2.C3.A4.B5.D6.B7.1:48.2:59.3 2-929 2.2 10.√2：211.(-2,0)12.(-8，-3)或(4,3) 解得BQ=36,∴.HP=36m. 13.DE⊥AC,BC⊥AC,.DE∥BC. 代入是-那理， ∴.△ADEp△ABC. 解得AH=42, 小怎-腮中6提c=9 ,1=1.5 .AB=AH+BH=42+1.4=43.4(m). 即妙光塔AB的高度为43.4m. 答：楼高BC是9m. 14.(1)如图，△A'B'C'即为所作. 单元综合复习（三）图形的相似 热门考点突破 1.A2.B3.D4.B5.D6.D7.D 8.35-39青 2 10.(1)证明：由作图可知，∠DAC=∠B. 10 又：∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA. (2)A',B,C三点的坐标分别是A'(-3,3),B(0,6), (2):∠BAC=108°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=36°. C(3,0). 由(1)得∠DAC=∠B=36° (3)A'B'=√32+32=3√2，A'C'=√32+62=3√5， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=72° B'C'=√32+6=3√5， .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°， 所以△A'BC'的周长为3√5+3V5+3√2=6√5+3√2. ∠ADB=∠BAD 15.(1)证明：证∠APD=∠P0C, ∴.BD=AB=AC. 又∠D=∠C. 由(1)知，△ACD△BCA, .△OCP∽△PDA. 咒瓷 (2)由面积比，得CP=号AD=4, :BD=AC且CD=BC-BD, 设OB=x,在Rt△PCO中，由勾股定理求得x=5. .BC-BD_BD ∴.AB=AP=2OP=10. BD BC 问题解决活动利用相似三角形测高 ∴.BC(BC-BD)=BD 1.10 :BD=AB=4,设BC=x,则x(x-4)=4, 即x2-4x-16=0. 2.令OE=a,AO=b,CB=x, 则由△GDC∽△B0C,得铝-82， 解得x=2+2W5或x=2-2W5(舍去). .BC的长为2十25. 即-2后整理得3.2+1.6=21a-0x ①， 1.D12c13铝怎 14.C 由△FBAO△EB0A,得-识即女-2子， 15.(1)如图所示，点D即为边AB的中点， b A(-1,-3),B(-3,1), 整理，得1.6b=2a一ax②， .点D的坐标为（一2，一1） 将②代入①，得3.2+2a-ax=2.1a-ax, (2)如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形 ∴.a=32,即OE=32m. 答：楼的高度OE为32米」 3.(1)14m. (2)如图，作PH⊥AB于点H,交EF 于点M,交EF'于点M', PQ=P'Q'=1.4m, ∴点P在线段P'H上，四边形PQFM, 核心素养提升 图② PQBH,P'QF'M,P'Q'BH均为矩形. 16.5√2 ..HP=BQ,MP=FQ=1.2 m,M'P'=F'Q'=2.2 m,HB 第四章投影与视图 =MF=M'F'=PQ=P'Q'=1.4 m. 1 投影 .EM=EM=2.8-1.4=1.4m. 第1课时中心投影 由题意知，EF∥AB, 基础在线 ∴.∠HAP=∠MEP,∠AHP=∠EMP. 1.D2.C △HAPAMEP,S. 3.(1)如图，连接CA并延长与FD的延 长线交于点P,点P是路灯的位置. 同理可得最-品， (2)如图，连接PN,作MG垂直于 M-EM器-器 MN与PN交于点G,线段MG表示 小树. .HP=BQ,HP'=BQ'=BQ+QQ=BQ+30, 4.B5.3 级数学（上）·BS一 能力在线 核心素养提升 6.C7.是 13.A14.10 (10+√13) 拓展在线 15.(1)如图. 8.变短2.8 (2)过点O作OH⊥MG于点 第2课时 平行投影 H,设DH=xm, 基础在线 由AB∥CD∥OH,得 1.C2.C3.A4.平行5.D MB_AB_CD_ND 能力在线 MHOH OH NH' 6.A7.B8.D 即0年 0.6 拓展在线 解得x=1.2 9.C ND 2视图 设FG=ym,同理，得G=开， 第1课时 几何体的三视图 基础在线 即0y-:8解得y=0,4 1.D2.C3.A4.D5.C6.C 所以EF的影长FG为0.4m. 第五章二次函数 7.(1)如图： 1认识二次函数 主视图 左视图 俯视图 基础在线 1.A2.C3.C4.C5.D (2)如图： 6.y=2(4-x+5-x)或18-4x 主视图 左视图 俯视图 S=(4-x)(5-x)或x2-9x+20二 8.如图 7.y=(x-42)t=(x-42)(-4x+204), 即y=-4x2+372x-8568. 因为每双进价为42元，所以x≥42. 而销售量t≥0，故一4x+204≥0，即x≤51， 所以自变量x的取值范围为42≤x≤51. 8.C 能力在线 能力在线 9.B10.D11.B12.y=a(1-20%)(1+x) 9.B10.A11.左俯主12.6√2 13.(1)(50-40+x)(100-5x) 13.(1) y=(50-40+x)(100-5x)y=-5x2+50x+1000 (2) 主视图 左视图 x(元)12345678 y(元)10451080110511201125112011051080 (3)51125 俯视图 (2)需涂油漆（主视图）的面积为11×7-5×4=57(cm2). 14.(1),△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形， 拓展在线 ∴.△AMR是等腰直角三角形， B 由题意，知AM=MR=t, 14.(1)4 (2)如图所示. S=SAAMK=- C M(A)A 20≤≤10. 左视图 (2)当MA=2cm时，t=2,重叠部分的面积是号×2X2 2 第2课时 由三视图确定几何体 =2(cm2). 基础在线 拓展在线 1.D2.A3.C4.C5.C6.B7.D8.3π 15.(1)n(n+1)(4n+6) 9.(1)三棱柱. (2)y=(n+3)(n+2)=n2+5n+6 (2)这个几何体的侧面积为10×4×3=120(cm). (3)由题意，n2十5n十6=506， 能力在线 解得n1=20,n2=一25（舍去）， 10.B11.B12.B13.5 ∴.n值为20. 14.该几何体的体积为384cm3,侧面积为320cm2. (4)不存在，理由如下： 拓展在线 由题意，得n(n十1)=4n十6， 15.C 单元综合复习（四）投影与视图 解得=3十，3，=3二3（舍去）， 2 2 热门考点突破 1.B2.D3.B4.A5.A6.A7.C8.D9.C :3+y3不是正整数， 10.B11.B12.A ∴.不存在使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等的n 一探究在线·九年 2二次函数的图象 :这个二次函数的图象关于y轴对称，点B(-2,3). 第1课时二次函数y=x2和y=一x2 在△AOB中，AB=2-(-2)=4,AB边上的高是3， 的图象和性质 基础在线 5u46. 1.A2.C3.D4.号 5.A6.B7.A (2)点P存在，理由如下：设点P(,22+1,则在 8.-1y轴增大减小(0,0)大 △APB中，AB边上的商为合+1-3 9.(1)y=-2时，一x2=-2,x=士√2， ∴水面宽度为√2-(-√2)=2√2（米）. |合e-2 (2)当水面宽度为4米时， 1 1 x=2或x=-2,y=-x2=-4. SAAPB-2 ∴.此时水面到拱桥顶部距离为4米. 解得x1=1,x2=-1,=√7，x4=-√7. 10.B 能力在线 当=1时y=号×1+1= 11.C12.D13.B14.(-3,9)(3,9)y轴15.10 当x=-1时=号×(-10+1=多 16.将点A,B的坐标分别代入y=x2,得a2=b,(a十6)2=b, .a2=(a十6)2.解得a=-3..b=a2=9. 当z7时y=号×)9+1=号： 17.(1)当y=-4时，-4=-a2,.a=士2. 点A在第三象限，a=一2. 当=-万时y=2×(一7)+1=号 当x=3时，y=-9,.b=-9. (2):AB∥CD∥x轴， ·符合条件的点P有四个，分别是P(1,)或 .A点与B点，C点与D点的纵坐标相同. y=一x2关于y轴对称， p(-1,)或P(,号)或p(-7,号) .B(2,-4),D(-3,-9). 第3课时二次函数y=a(x一h)2(a≠0) (3)由题意，得AB=4,CD=6,梯形的高为5， 的图象和性质 ∴S#w=合×(4+6)×5=25。 基础在线 1.B2.D 3.y=(x-2)2(答案不唯一)4.y<y1<y 拓展在线 5.-32 18.(1)A(-2,4),C(2,-4). 6.(1)图略. (2)由OA=OB,结合y=x2图象的对称性，得 B点与A点关于y轴对称.同理，D点与C点 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 关于y轴对称，故点B的坐标为(2,4)，点D的 y=z2 向上 y轴 (0,0) 坐标为(-2，一4). (2 (3)由OA⊥OB,作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F,得 y=(x+2)2 向上 直线x=-2(-2,0)》 △AB0n△OFB,设B为(m,m),得，器=专，解得m y=(x-2)2 向上 直线x=2 (2,0) m=0(合去)，求得B为（合，），同理，点D的坐标 1 7.A8.右 4 y=-2(x+2)2 9.0≤y≤8 能力在线 为（合） 10.C11.1(答案不唯一)12.613.3 14.(1)由题意，点A(1,0) 第2课时二次函数y=ax2(a≠0)和y=ax2十c(a≠0) 当x=0时，y=2×(0-1)2=2, 的图象和性质 .点B(0,2) 基础在线 (2)设点P的坐标为(xp,yp),(xp>0,yp>0), 1.C2.D3.D4.D5.B6.B7.B8.D9.> y=2(x-1)2, 能力在线 抛物线的对称轴为直线x=1. 10.B1.c12.0,-)(-20）(30）13.8 点C为点B关于对称轴对称的点，点B(0,2), ∴点C(2,2)..BC=2. 14.(1)由|a越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点A时，a 的值最大；抛物线经过点C时，a的值最小 :Sam=8,7BCX1,-21=8 A(1,2),∴.aX12=2,解得a=2. C(2,1), 即号×2Xy-2=8,解得y=10或%=-6（舍去）。 ∴a×2=1,解得a=子 :点P在抛物线上，将yp=10代人抛物线y= 2(x-1)2,得 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点时，a 2(x-1)2=10,解得x=1±√5， 的取值范围是<a≤2. 点P在第一象限内，.x=1十√5. (2)a<0或0<a<或a>2 ∴.点P的坐标为(1十5,10). 拓展在线 拓展在线 15.(1)对于y=一x-2,当x=0时，y=-2;当y=0时，x= -2, 15.(1)当x=2时，y=2×22+1=3,点A(2,3). ∴.B(0,-2),A(-2,0) 级数学（上）·BS一 25