精品解析：江苏苏州市虎丘区苏州工业园区金鸡湖学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026～2027学年第一学期10月阶段练习 初三数学 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（ ） A. 8.2 B. 8.5 C. 8.7 D. 8.8 3. 抛物线与y轴的交点为（   ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 5. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等边三角形，点在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为2，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 8. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. 点的纵坐标为204 C. D. 点在该函数图象上 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一组数据12，9，7，3，15的中位数是________． 10. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为________． 11. 五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 13. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 15. 已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是__________． 16. 已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位是________； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 19. 已知二次函数． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当为何值时，随的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 20. 反比例函数的图象经过点， （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 （1）求该二次函数的解析式； （2）求的值． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 23. 足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．     （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求a和b的值； （2）结合图象，直接写出中x的取值范围； （3）在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 25. 因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． （1）求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 26. 已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值． 27. 新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； （1）抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________； （2）若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． （3）已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值为3，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期10月阶段练习 初三数学 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 2. 把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（ ） A. 8.2 B. 8.5 C. 8.7 D. 8.8 【答案】B 【解析】 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 3. 抛物线与y轴的交点为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点． 令，代入计算y值即可． 【详解】解：将代入得：， ∴抛物线与轴交点为． 故选：B． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 5. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 6. 如图，等边三角形，点在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为2，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，作轴于，再作于，设，结合轴，，可得，从而，，又点的纵坐标为2，点在上，从而可得，进而求出，又在上，故，求出后可得的值，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，如图，作轴于，过点C作于点E，再作于． ∵是等边三角形， ∴， 设， 轴， ． ，由勾股定理得：． 点的纵坐标为2，点在上， ， ，． ， 又在上， ． ． ． （舍去）或． ，则 ∵，是等边三角形， ∴， ∴由勾股定理得： 等边的面积为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 8. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. 点的纵坐标为204 C. D. 点在该函数图象上 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，先结合函数图象可得，，，，且，再在中，利用勾股定理可得的值；根据对称性可得的值；然后求出的值，据此即可得点的纵坐标；最后设，求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，，（理由是垂线段最短），且， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去），则选项C错误； 由对称性可知，，即， 解得，则选项A正确； 在中，， ∵点的横坐标为0，表示的是，此时点与点重合， ∴此时，即点的纵坐标为205，则选项B错误； 如图，设，则， 在中，， ∴当时，， 即点在该函数图象上，而点不在该函数图象上，则选项D错误． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一组数据12，9，7，3，15的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】将数据从小到大排序后，数据个数为奇数，中位数为排序后最中间的数． 【详解】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为，，，，， ∵这组数据的个数为，是奇数， ∴中位数为排序后位于最中间的第个数，即． 10. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据二次函数图像平移规律“上加下减，左加右减”作答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为． 故答案为：． 11. 五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出从小到大排好序的个数据，要求计算上四分位数，先计算分位数位置，再根据规则计算即可求解． 【详解】解：∵数据已经按从小到大排列，样本容量， 第一种方法：计算位置，为整数，根据分位数计算规则，上四分位数为第项与第项数据的平均数，第项数据是，第项数据是， ∴ 第二种方法：从小到大排列，后4个数据为：，，，， ∴上四分位数 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 13. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【解析】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 15. 已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，应用数形结合思想是解题的关键；根据对称性求出关于对称轴的对称点为，再根据恒成立，可得，即可得解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， ， ， ， 均在对称轴的右侧， 恒成立， ， ， 故答案为：． 16. 已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； ②根据①得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论； ③已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E(0,)四点坐标，B、C、D、E四点坐标，经过B、C两点的直线斜率k1=，经过D、E两点的直线斜率k2=，得出，即 ④先假设，得到对应边成比例，列出关于a的等式，看a是否有解，即可求解． 【详解】①∵A(a,b)，且A在反比例函数的图象上， ∴ ∵AC∥y轴，且C在反比例函数的图象上， ∴C(a,) 又∵AC=3CD， ∴AD=4CD，即 ∴k=2． 故①正确 ②由①可知：A(a,)，C(a,) ∵AB∥x轴， ∴B点的纵坐标为， ∵点B在反比例函数的函数图象上， ∴，解得：x=， ∴点B(,)， ∴AB=a−=，AC=−= ∴S=AB×AC=××= ∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于 故②正确 ③连接DE，如图所示 ∵B(,)，C(a,) ∴经过B、C两点的直线斜率k1= ∵轴，轴 ∴D(a,0)，E(0,) ∴经过D、E两点的直线斜率k2= ∴，即 故③正确 ④假设 ∴ ∴ 解得 ∴当时， 故④错误 故答案为：①②③ 【点睛】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，一次函数斜率求法． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 18. 某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位是________； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 【答案】（1）6.5，4.5，7 （2）5.5 （3）80人 【解析】 【分析】（1）将七年级12个得分数据从小到大依次排列，找出第6个和第7个得分数据，相加除以2，即可求出七年级中位数的值，再根据方差公式，即可求出七年级方差的值．观察八年级得分数据，出现最多的数字即为八年级众数的值． （2）解法一：将八年级12个得分数据从小到大依次排列，可知中位数在第6个和第7个得分数据之间，找出前6个得分数据，再求出前6个数据的中位数，即为八年级成绩箱线图的下四分位数．解法二：用样本数据乘以算出下四分位数的位置，其数值为第3个数据与第4个数据的平均数，求解即可得出答案． （3）算出八年级12名学生中成绩在8分及以上的学生人数占比，再乘以240，即可得出八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数． 【小问1详解】 解：七年级的中位数：， 方差：； 八年级的众数为：； 故答案为：6.5，4.5，7． 【小问2详解】 解：解法一：八年级学生成绩数据中位数是7，选取中位数前的6个得分数据：，，，，，，再求出前6个数据的中位数，即为下四分位数， 所以下四分位数； 解法二：样本一共选取了12名八年级学生的成绩： ，，，，，，，，，，，， 由可知，下四分位数的值为第3个数据与第4个数据的平均数， 所以， 故答案为：5.5． 【小问3详解】 解：（人）， 所以估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 19. 已知二次函数． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当为何值时，随的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】（1）开口向上，顶点坐标 （2） （3） 抛物线不过点， 理由：抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得，，化简得， ∴当时，， ∴抛物线不过点． 【解析】 【分析】（1）二次函数中，，，，根据的判断抛物线的开口，将一般式化成顶点式即可求出顶点； （2）由（1）可知，对称轴左边是随的增大而减小，对称轴右边是随的增大而增大，由此即可求解； （3）抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得到新的函数解析式，把代入计算，若，则点在函数上，否则不在． 【小问1详解】 解：二次函数中，，，， ∵， ∴抛物线开口向上， 将一般式化成顶点式得：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴直线， ∴当时，函数值随着自变量的增大而减小． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，平移是解题的关键． 20. 反比例函数的图象经过点， （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：不在，理由如下： 当时，， ∴点不在这个反比例函数的图象上； （3） 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质； （1）代入到，求出的值即可； （2）代入到反比例函数解析式，求出对应的值即可判断； （3）根据反比例函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：代入到，得， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴在每一个象限内随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 21. 已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 （1）求该二次函数的解析式； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式求解与对称性，涉及的知识点有二次函数的顶点式、抛物线的对称性．解题中用到的思想是对称思想（利用抛物线的轴对称性简化计算）；方法技巧是通过表格中对称的函数值确定对称轴，优先选择顶点式求解析式，再利用对称性求参数．解题关键是准确识别抛物线的对称轴，避免解析式设为一般式增加计算量．易错点是忽略函数值相等的点的对称性，或在解方程时计算失误． （1）通过表格中对称的函数值，确定抛物线的对称轴和顶点，设顶点式并代入已知点求出解析式； （2）利用二次函数中，函数值相等的两点关于对称轴对称的性质，结合对称轴建立方程求解t． 【小问1详解】 （1）由表可得：二次函数的顶点坐标为：，经过点 设该二次函数的解析式为： 当时， ， 解得：． 该二次函数的解析式为： 【小问2详解】 （2）关于直线对称 解得：． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 ； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差：   整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 23. 足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．     （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 球不能射进球门． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求a和b的值； （2）结合图象，直接写出中x的取值范围； （3）在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 25. 因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． （1）求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 【答案】（1） 年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率为． （2） 小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 【解析】 【分析】（1）根据年和年的游客人次，利用增长率问题的等量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润的计算公式列函数关系式，通过配方法求最大值，再与元比较判断． 【小问1详解】 解：设年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为， ∵年接待游客万人次，年接待游客万人次， 可得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每碗冷粉降价元，店家每天的总利润为元， ∵每碗成本元，原售价元，原日销量碗，价格每降低元，日销量增加碗， ∴单碗利润为元 ，销售量为碗，自变量的取值范围为， ∴ ， ∵，且满足， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 答：小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 26. 已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值． 【答案】（1）①，；②；（2）①或4；②，． 【解析】 【分析】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出； （2）①，，，由或或得：或0或2，即可求解；②点的坐标为，，即可求解． 【详解】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：， 将点的坐标代入反比例函数得：； ②由图象可以看出时，； （2）①当时，点、、的坐标分别为、、， 则，，， 则或或， 即：或或， 即：或0或2或4， 当时，与题意不符， 点不能在的下方，即也不存在，，故不成立， 故或4； ②点的横坐标为：， 当点在点左侧时， ， 的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值， 当时，此时，从而． 当点在点右侧时， 同理， 当，时，（不合题意舍去） 故，． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． 27. 新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； （1）抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________； （2）若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． （3）已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值为3，求a的值． 【答案】（1），； （2）； （3）①抛物线C的对称轴为直线； ②的值为或． 【解析】 【分析】（1）由新定义可得抛物线的友好抛物线的解析式为，再进一步求解即可； （2）由抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得，由抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，可得抛物线的顶点纵坐标为，再进一步求解即可； （3）①由的顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：，结合抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点，可得，进一步求解即可； ②分，，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线的友好抛物线的解析式为， ∵， ∴“友好抛物线”的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ∴， ∵抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2， ∴抛物线的顶点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴抛物线M的解析式为：． 【小问3详解】 解：①∵抛物线（其中）的“友好抛物线”为， 而的顶点横坐标为， ∴顶点纵坐标为， ∵抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴抛物线C的对称轴为直线． ②∵， ∴抛物线， 当时， 解得：， 即抛物线交轴于， 当时，如图， ∵， ∴当时，函数取最大值3， ∴， 解得：， 当时，如图， ∴当时，函数取最大值3， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $