4.3.1正比例函数的图象与性质 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版数学八年级上册 4.3.1 正比例函数的图象与性质 专项练习 （全文约1410字） ## 知识梳理 1. 正比例函数：$\boldsymbol{(\boldsymbol{(y=kx)})}$（$k$为常数，$\boldsymbol{k eq0}$） 2. 图象特征：正比例函数图象是一条经过**(\boldsymbol{原点(0,0)})$((0,0))$**的直线。 画图简便方法：取两点$((0,0))$(x、y)$((1,k))$连线即可。 3. 性质： - 当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(k(\boldsymbol{>})0)})}$时：直线经过**一(x、y)三象限**；$y$随$x$的(\boldsymbol{增大})而**(\boldsymbol{增大})**（上升）。 - 当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(k<0)})}$时：直线经过**二(x、y)四象限**；$y$随$x$的(\boldsymbol{增大})而**(\boldsymbol{减小})**（下降）。 4. $|k|$越大，直线离y轴越近，倾斜程度越大。 易错提醒：图象一定过(\boldsymbol{原点(0,0)})；判断增减性看$k$的正负，不是看$x(x、y)y$的值。 ## 一(x、y)选择题（每题4分，共24分） 1. 正比例函数$(y=2x)$的图象经过（） A. 一(x、y)三象限 B. 二(x、y)四象限 C. 一(x、y)二象限 D. 三(x、y)四象限 2. 正比例函数$y=-3x$中，$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而（） A. (\boldsymbol{增大}) B. (\boldsymbol{减小}) C. 不变 D. 先增后减 3. 下面哪个是正比例函数图象必过的点（） A. $((1,0))$ B. $((0,0))$ C. $((0,1))$ D. $((1,1))$ 4. 若正比例函数$(\boldsymbol{(y=kx)})$经过二(x、y)四象限，则$k$的取值（） A. $(\boldsymbol{(k(\boldsymbol{>})0)})$ B. $(\boldsymbol{(k<0)})$ C. $((k=)0)$ D. $k\ge0$ 5. 已知$y=(m-1)x$是正比例函数，且$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{增大})，则（） A. $(m(\boldsymbol{>})1)$ B. $(m<1)$ C. $(m=1)$ D. $m\le1$ 6. 关于正比例函数$y=-0.5x$说法正确的是（） A. 经过一(x、y)三象限 B. 当$(x(\boldsymbol{>})0)$时，$(y(\boldsymbol{>})0)$ C. 图象过(\boldsymbol{原点(0,0)}) D. $y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{增大}) ## 二(x、y)填空题（每题4分，共24分） 7. 正比例函数$(y=4x)$，$k$****0，图象过一(x、y)三象限，$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而****。 8. 正比例函数$y=-5x$图象经过第________象限。 9. 正比例函数图象是一条过____的直线。 10. 若$(\boldsymbol{(y=kx)})$，$(\boldsymbol{(k<0)})$，则$x$变大，$y$____。 11. 函数$(\boldsymbol{(y=kx)})$过点$(2,-6)$，则$(k=)$________。 12. 两个正比例函数$((\boldsymbol{y=3x}))$和$((y=0).5x)$，____的倾斜程度更大。 ## 三(x、y)解答题（共52分） 13.（12分）判断下列正比例函数$k$的正负(x、y)经过哪些象限(x、y)增减性： （1）$(y=6x)$ （2）$y=-2.5x$ 14.（12分）已知正比例函数$(\boldsymbol{(y=kx)})$经过点$A(-2,4)$ （1）求这个函数解析式； （2）判断$y$随$x$(\boldsymbol{增大})是(\boldsymbol{增大})还是(\boldsymbol{减小})； （3）判断图象经过哪两个象限。 15.（14分）已知正比例函数$y=(2a-4)x$ （1）若图象经过一(x、y)三象限，求$a$的取值范围； （2）若图象经过二(x、y)四象限，求$a$的取值范围； （3）能不能$2a-4=0$？为什么？ 16.（14分）拓展探究： （1）点$P(x_1,y_1)$(x、y)$Q(x_2,y_2)$在$y=-4x$上，若$x_1<x_2$，比较$y_1,y_2$大小； （2）已知正比例函数$(\boldsymbol{(y=kx)})$，当$(x=3)$时$y=-12$，点$B(-1,4)$是否在这条直线上？ ## 参考答案与解析 1. A 解析：$(k=)2(\boldsymbol{>})0$，过一(x、y)三象限。 2. B 解析：$(k=)-3<0$，$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{减小})。 3. B 解析：正比例函数必过(\boldsymbol{原点(0,0)})$((0,0))$。 4. B 解析：二(x、y)四象限对应$(\boldsymbol{(k<0)})$。 5. A 解析：递增则$m-1(\boldsymbol{>})0$，$(m(\boldsymbol{>})1)$。 6. C 7. $\boldsymbol{(\boldsymbol{>})}$；$\boldsymbol{(\boldsymbol{增大})}$ 8. $\boldsymbol{二(x、y)四}$ 9. $\boldsymbol{(\boldsymbol{原点(0,0)})((0,0))}$ 10. $\boldsymbol{(\boldsymbol{减小})}$ 11. $\boldsymbol{-3}$ 12. $\boldsymbol{((\boldsymbol{y=3x}))}$ 13. 解： （1）$(k=)6(\boldsymbol{>})0$；经过一(x、y)三象限；$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{增大})。 （2）$(k=)-2.5<0$；经过二(x、y)四象限；$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{减小})。 14. 解： （1）代入$(-2,4)$：$4=-2k$，解得$(k=)-2$；解析式：$\boldsymbol{y=-2x}$ （2）$(k=)-2<0$，$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{减小})。 （3）经过二(x、y)四象限。 15. 解： （1）$2a-4(\boldsymbol{>})0$，$\boldsymbol{a(\boldsymbol{>})2}$ （2）$2a-4<0$，$\boldsymbol{(\boldsymbol{a<2})}$ （3）不能；如果$2a-4=0$，则$((k=)0)$，此时$(y=0)$，不再是正比例函数。 16. 解： （1）$(k=)-4<0$，$y$随$x$(\boldsymbol{增大})而(\boldsymbol{减小})；$x_1<x_2$，$\boldsymbol{y_1(\boldsymbol{>})y_2}$ （2）代入$(3,-12)$：$-12=3k$，$(k=)-4$，$y=-4x$； 把$x=-1$代入，$y=-4\times(-1)=4$，和B点纵坐标相等，**点B在这条直线上**。 （字数统计：1407字） 需要我生成无答案空白版，或者继续4.3.2一次函数的图象与性质吗？ 北师大版（新教材）数学8年级上册 4.3.1正比例函数的图象与性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第四章 一次函数 通过观察正比例函数图象，研究正比例函数的共同特征抽象出正比例函数的基本模型 归纳得出正比例函数的概念和性质，体会数形结合思想，提高学生分析函数图象信息能力. 通过运用正比例函数解决实际问题和数学问题，提高数据意识和决策能力 1.下列各式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ 一次函数的表达式： y = kx +b (k，b为常数，k ≠ 0) 正比例函数的表达式： y = kx (k为常数，k ≠ 0) 情境导入 2.函数有哪些表示方式？ 它们之间有什么关系？ 表格、关系式、图象 三种方式可以相互转化 3.你能将关系式转化成图象吗？ 什么是函数的图象？ 情境导入 新知探究 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. 画函数图象的一般步骤： ①列表 ②描点 ③连线 (摩天轮上某一点离地面的高度 h 与旋转时间t之间的函数图象) 新知探究 画正比例函数y=2x的图象。 （1）为了画出函数的图象，首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。那么，列表时选取自变量x的哪些值呢？观察这个函数表达式，x可以取0吗？可以取正数吗？可以取负数吗？ 任意实数 解：①列表； x … -2 -1 0 1 2 … y 0 2 4 -4 -2 ··· ··· 操作思考 新知探究 操作思考 （2）以你所列表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？ 画正比例函数y=2x的图象。 y=2x ②描点； x … -2 -1 0 1 2 … y 0 2 4 -4 -2 ··· ··· ③连线. 新知探究 操作思考 （3）其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上吗？ 都在直线上. 因为每个点都代表 x 的值与 y 的值的一种对应. 由函数表达式到图象，你体会到了什么样的数学思想？ 数形结合 思考 归纳总结 新知探究 画函数图象的一般步骤 ①列表 ②描点 ③连线 根据这个步骤画出函数y=-3x的图象 新知探究 思考交流 (1) 画出正比例函数 y＝﹣3x 的图象. x … -2 -1 0 1 2 … y 0 -3 -6 6 3 ··· ··· (2) 在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式 y＝﹣3x. 满足 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y =﹣3x 新知探究 观察比较，两个函数的图象有什么相同点，有什么不同点？ y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y＝﹣3x y = 2x ① y =2x 经过一、三象限， ② y =﹣3x 经过二、四象限. ①函数图象都经过原点 (0，0) ②函数图象都是一条直线. 不同点 相同点 新知探究 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y = 2x 一般地，正比例函数的图象y＝kx有何特点？ 正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过_________的_____. 原点（0,0） 直线 正比例函数图象的特点 y＝﹣3x y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 新知探究 知道了正比例函数图象的特点，画正比例函数的图象时，怎样画最简单?为什么? 正比例函数y＝kx(k≠0) 的图象是一条经过原点 (0，0)的直线，只要再确定一个点 (1，k)即可确定函数图象，即过这点与原点的直线就是该函数图象. 两点作图法 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y＝﹣3x y = 2x 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 按“两点法”找(0，0)和(1，k)作图。 利用一次函数图象的性质画图 例1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝5x和y＝x的图象. 解：列表： x 0 1 y＝5x 0 5 y＝x 0 1 描点、连线，如图4-3-2. 知识点1 正比例函数的图象 1.正比例函数 的图象是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 15 2.正比例函数 的图象经过( ) B A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限 D.第三、四象限 返回 举一反三 16 3.已知正比例函数 ，则下列坐标对应的点在该函数图象上的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 新知探究 尝试思考 画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y=x，y=3x，y=- x和y =-4x的图象. 上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化? 观察图象可以发现：直线 y= x，y= 3x 向右逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而增大； 直线 y=- x，y=-4x 向右逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而减小. 上升 下降 归纳总结 新知探究 在正比例函数 y = kx 中： 当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 新知探究 思考交流 (1) 正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y = x y = 3x 观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = 3x 的函数值都是 y = x 的三倍，并且随着 x 的增加，y = 3x 的函数值增长速度更快. 新知探究 思考交流 (2) 正比例函数 y = x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ 观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = -4x 的函数值都是 y = x的三倍，并且随着 x 的增加，y=-4x的函数值增长速度更快. y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 归纳总结 新知探究 当 _____ 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快. |k| 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 根据正比例函数性质求值： (1)用“形”上的点的位置比较“数”的大小；(2)利用函数的增减性比较大小 . 利用一次函数性质求值 例2.已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，9），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值. 解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，9）, 所以9=m·m，解得m=±3. 又y的值随着x值的增大而减小， 所以m<0，故m=－3. 4.［2024天津中考］若正比例函数是常数， 的图象经过 第一、三象限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）。 1（答案不唯一） 返回 举一反三 24 5.［教材尝试·思考 变式］ 在如图所示的直角坐标系内画出下 列函数图象。 （1）； （2） 。 解：如图所示。 返回 举一反三 25 知识点2 正比例函数的性质 6.关于正比例函数 ，下列结论正确的是( ) D A. B.图象必经过点 C.图象不经过原点 D.随 的增大而减小 返回 举一反三 26 7.已知正比例函数为常数，且的函数值随 的增大而减 小，那么这个函数图象不可能经过的点是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 27 8.［2024山西中考］已知点,都在正比例函数 的 图象上，若，则与 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 28 9.已知点在正比例函数 的图象上。 （1）求 的值； 解：因为点在正比例函数 的图象上， 所以，所以 。 （2）若点在此正比例函数的图象上，求 的值； 解：由（1）知正比例函数的表达式为 。 因为点在正比例函数的图象上，所以 ，所以 。 举一反三 29 （3）若点，， 都在此正比例函数的图象上，比较 ，， 的大小。 解：因为正比例函数的表达式为，且，所以随 的增大 而减小。 因为，所以 。 返回 举一反三 30 10.若点，在正比例函数 的图象上，且当 时，，则 的值可以是( ) D A.2 B.1 C. D. 返回 举一反三 31 11.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数 ，，， 的图象分 别为，，， ，则下列关系中正确的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 32 12. 如图，直角三角形的两直角边，分别与 轴、轴平行，且，顶点的坐标为 ，若某正比例函 数的图象经过点 ，则此正比例函数的表达式为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 33 13.［2025西安曲江一中期末］一个正比例函数的图象经过点 和点，若点与点 关于原点对称，则这个正比例函数的表达式 为________。 返回 举一反三 34 14.已知正比例函数的图象过点 。 （1）求正比例函数的表达式； 解：因为正比例函数的图象过点 ， 所以，所以，所以正比例函数的表达式为 。 举一反三 35 （2）画出正比例函数 的图象； 解：如图。 （3）当自变量满足时，直接写出函数值 的取值范围。 解：函数值的取值范围为 。 返回 举一反三 36 课堂小结 正比例函数的图象和性质 图象 当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而_____； 当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而_____ 经过原点的直线. 当 k＞0 时，经过第______象限；当 k＜0 时，经过第______象限 一、三 二、四 增大 减小 性质 谢谢观看 THANKS $