13.2.2勾股定理的应用_教学设计_2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

13.2.2 勾股定理的应用 教学设计 （2026—2027学年 华东师大版八年级数学上册） 课题名称 13.2.2 勾股定理的应用 课型 新授课 教学资源 多媒体课件、几何图形示例 教学 内容 解析 内容 勾股定理在实际问题中的应用；圆柱侧面展开求最短路径；利用勾股定理解决实际测量问题 内容解析 《勾股定理的应用》是华东师大版八年级上册第13章《勾股定理》中13.2节的内容。学生前面已经学习了勾股定理及其逆定理，本节课重点学习如何将实际问题转化为直角三角形问题，运用勾股定理解决生活中的测量、最短路径等问题。 教材通过蚂蚁爬行最短路径、卡车过厂门等实际情境，培养学生将实际问题数学化的能力，体会数学与生活的密切联系，发展数学建模素养。 目标 与目 标解 析 单元整体目标 本章属于“图形与几何”领域。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章要求学生：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；了解勾股数的概念；体会反证法的思想。 对应课标要求： ①能运用勾股定理解决简单的实际问题； ②能将实际问题转化为直角三角形问题； ③体会数学建模思想，发展应用意识； ④感受勾股定理的文化价值和实际应用价值。 课时目标 （含核心素养） 1.【数学建模】能将实际问题抽象为直角三角形模型，运用勾股定理求解。 2.【逻辑推理】能解决圆柱侧面展开求最短路径的问题，理解“化曲面为平面”的转化思想。 3.【直观想象】能通过画图分析实际问题中的数量关系，提高几何直观能力。 4.【情感态度】体会数学与生活的密切联系，感受勾股定理的应用价值，增强学习数学的兴趣。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能从实际问题中识别直角三角形，正确运用勾股定理计算边长。 达成目标2的标志：学生能将圆柱侧面展开，找到最短路径，理解展开前后的对应关系。 达成目标3的标志：学生能通过画示意图分析问题，找准直角三角形的三边。 达成目标4的标志：学生能体会数学在生活中的应用。 学情 分析 已有的知识、 认知水平 学生已经学习了勾股定理及其逆定理，能熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长。 学生具备一定的方程思想，能列方程解决简单问题；在生活中接触过测量、路线选择等实际问题。 困惑点或 探索点 1. 学生不会将实际问题转化为直角三角形问题，不知道从哪里入手； 2. 圆柱侧面展开问题，学生难以理解曲面与平面的转化； 3. 学生找不准直角三角形的直角边和斜边； 4. 实际问题中需要列方程时，学生不会设未知数。 教学 重难点 教学重点 ★ 运用勾股定理解决实际问题； ★ 将实际问题转化为直角三角形模型。 教学难点 ▲ 圆柱侧面展开求最短路径（化曲面为平面）； ▲ 从实际问题中抽象出数学模型。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：勾股定理是数学中应用最广泛的定理之一，在测量、工程、建筑等领域都有重要应用。学习勾股定理的应用，能培养学生用数学解决实际问题的能力。 学什么：将实际问题转化为直角三角形问题；用勾股定理求边长；圆柱侧面展开求最短路径。 怎么学：采用“情境导入—例题讲解—练习巩固”的教学路径。以蚂蚁爬行问题导入，激发学生兴趣；通过两个实际例题，示范如何将实际问题数学化；通过分层练习巩固应用能力。 教学过程 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 （5分钟） 复习导入： 1. 勾股定理的内容是什么？ 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，求c。 情境引入： 一只蚂蚁在圆柱形杯子的外壁上，从A点爬到对面的C点，怎样爬最近？ 教师提问复习勾股定理；展示蚂蚁爬行的情境图，引导学生思考最短路径问题。 学生回忆勾股定理内容；思考蚂蚁怎样爬最近。 教师引导：蚂蚁在圆柱侧面上爬行，曲面问题怎么转化？——把侧面展开变成平面。 学生能准确说出勾股定理； 能计算简单的勾股定理计算题； 初步思考最短路径问题。 复习旧知，为新课做准备；用生活情境导入，激发学习兴趣；引出“化曲面为平面”的转化思想。 例题讲解 （25分钟） 【知识点】勾股定理的应用步骤 实际问题 → 画示意图 → 找直角三角形 用勾股定理计算 → 解决实际问题 关键：将实际问题转化为直角三角形问题。 【例1】蚂蚁爬行最短路程 一个圆柱体底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱侧面爬行到点C，求最短路程。 分析：将圆柱侧面展开，得到长方形ABCD。 BC = 底面周长的一半 = 10 cm。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理： AC = = = ≈ 10.77 (cm) 答：蚂蚁爬行的最短路程约为10.77cm。 【例2】卡车能否通过厂门 一辆卡车高2.5m，宽1.6m，要开进厂门。厂门下方是长方形（高2.3m），上方是半圆形拱门（半径1m）。问卡车能否通过？ 分析：车宽1.6m，比较距中线0.8m处的高度与车高。 解：在Rt△OCD中，OC=1m，OD=0.8m： CD = = = = 0.6 (m) CH = CD + DH = 0.6 + 2.3 = 2.9 (m) ∵ 2.9 > 2.5，∴ 卡车能通过厂门。 1. 步骤归纳： 教师引导学生总结用勾股定理解决实际问题的一般步骤。 2. 例1讲解： 教师展示圆柱展开图，引导学生理解：曲面→平面，化曲为直。 学生跟随分析展开后长方形的长和宽。 教师示范解题格式。 3. 例2讲解： 教师引导学生思考：车宽1.6m，最窄处在哪里？ 学生讨论后得出：距中线0.8m处。 教师示范用勾股定理求CD，再求总高度CH。 1. 学生能说出勾股定理应用的步骤； 2. 学生能理解圆柱侧面展开图； 3. 学生能找准直角三角形的三边； 4. 学生能规范书写解题过程。 1. 归纳步骤，建立解题模型； 2. 例1突破难点，理解化曲为直； 3. 例2培养学生的建模能力； 4. 规范书写，培养严谨习惯。 课堂练习 （12分钟） A组（基础题）： 1. 直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 若直角三角形斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 3. 长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则宽为（ ） A. 5cm B. 7cm C. 8cm D. 10cm B组（提高题）： 4. 如图，有一个圆柱形水杯，底面周长为24cm，高为8cm。一只蚂蚁从杯外底部A点爬到杯口对面B点，求最短路程。 5. 一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙3m。（1）梯子顶端距地面多高？（2）如果梯子顶端下滑1m，底端将滑动多少米？ 【参考答案】 1. C 解析：斜边长===10。 2. C 解析：另一直角边===12。 3. A 解析：宽===5cm。 4. 解：将圆柱侧面展开，BC=24÷2=12cm。 在Rt△ABC中，AB===≈14.42(cm)。 答：最短路程约为14.42cm。 5. 解：（1）设顶端距地面h米，由勾股定理： h===4(m)。 （2）顶端下滑1m后，顶端距地面3m。 设底端距墙x米，x==4(m)。 底端滑动距离=4-3=1(m)。 学生独立完成A组练习，教师巡视；B组第4、5题，学生先独立思考，再小组交流。 教师选取典型答案投影点评，重点讲解展开图的对应关系。 A组题正确率≥85%； 能正确运用勾股定理计算； B组能将实际问题转化为直角三角形。 分层练习，巩固基本计算；提高题强化实际应用；通过梯子问题体会勾股定理的生活应用；题目紧扣教材，不超纲。 反思总结 （5分钟） 课堂小结： 1. 用勾股定理解决实际问题的步骤是什么？ 2. 圆柱侧面展开问题的关键是什么？ 3. 解决实际问题时，最关键的一步是什么？ 课后作业： 教材第136页练习第1、2题； 练习册对应课时。 教师引导学生自主总结，梳理知识脉络： 勾股定理的应用 → 实际问题数学化 → 找直角三角形 → 化曲面为平面 学生能梳理本节课知识； 能说出勾股定理应用的步骤； 理解转化思想。 学生自主归纳，形成知识体系；勾股定理是解决实际问题的重要工具，培养数学建模素养。 板书设计 13.2.2 勾股定理的应用 一、步骤：实际问题 → 画示意图 → 找直角三角形 → 勾股定理计算 二、例1：蚂蚁爬行（圆柱侧面展开） BC = 周长÷2 = 10cm AC = ≈ 10.77cm 三、例2：卡车过厂门 CD = = 0.6m CH = 0.6+2.3 = 2.9m > 2.5m，能通过 学科网（北京）股份有限公司 $