13.1.3反证法_教学设计_2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

13.1.3 反证法 教学设计 （2026—2027学年 华东师大版八年级数学上册） 课题名称 13.1.3 反证法 课型 新授课 教学资源 多媒体课件、几何图形示例 教学 内容 解析 内容 反证法的概念；反证法的三步骤（反设、归谬、定论）；用反证法证明简单命题 内容解析 《反证法》是华东师大版八年级上册第13章《勾股定理》中13.1节的第3课时。前两节课学生学习了勾股定理及其逆定理，本节课学习一种重要的间接证明方法——反证法。 教材从勾股定理逆定理的反面证明引入反证法概念，通过例5（两条直线相交只有一个交点）和例6（三角形中至少有一个内角≤60°）讲解反证法的三步骤，培养学生的逻辑推理素养和逆向思维能力。 目标 与目 标解 析 单元整体目标 本章属于“图形与几何”领域。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章要求学生：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；了解勾股数的概念；体会反证法的思想。 对应课标要求： ①理解反证法的概念和基本步骤； ②能运用反证法证明简单的命题； ③体会反证法的思想，发展逻辑推理素养； ④理解“正难则反”的思维策略。 课时目标 （含核心素养） 1.【逻辑推理】理解反证法的概念，掌握反证法的三步骤：反设、归谬、定论。 2.【数学抽象】能运用反证法证明简单的几何命题和代数命题，规范书写证明过程。 3.【直观想象】通过几何实例，体会反证法的思维方式，发展逆向思维能力。 4.【情感态度】了解反证法在数学史上的重要地位，感受数学证明的严谨美和间接证明的巧妙。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能说出反证法的三步骤；理解反设、归谬、定论各自的含义。 达成目标2的标志：学生能按反证法步骤证明简单命题，如“两条直线相交只有一个交点”。 达成目标3的标志：学生能理解反证法的逆向思维特点。 达成目标4的标志：学生能体会反证法的巧妙之处。 学情 分析 已有的知识、 认知水平 学生前面学习了命题、定理、证明的概念，掌握了直接证明的基本方法（从条件出发推出结论）。 学生已经学习了勾股定理及其逆定理，具备一定的几何推理基础；在七年级学过“两直线平行，同位角相等”的证明，其实用的就是反证法思想。 困惑点或 探索点 1. 学生不习惯从反面思考问题，反证法的逆向思维需要适应； 2. 学生不知道什么时候该用反证法，判断不准； 3. 反设时容易出错，比如“至少有一个”的反面是“一个都没有”； 4. 学生不理解为什么推出矛盾就能证明原结论正确。 教学 重难点 教学重点 ★ 反证法的概念和三步骤； ★ 运用反证法证明简单命题。 教学难点 ▲ 准确进行反设（否定结论）； ▲ 从反设出发推出矛盾，理解反证法的逻辑。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：有些命题从正面证明很困难甚至不可能，这时候换个角度，从反面思考反而能轻松解决问题。反证法是数学家最精良的武器之一。 学什么：反证法的概念；反设、归谬、定论三步骤；用反证法证明简单命题。 怎么学：采用“情境导入—概念建立—例题讲解—练习巩固”的教学路径。以王戎识李的故事导入反证法思想；通过勾股定理逆定理的反面证明建立反证法概念；通过两个例题示范反证法的书写格式。 教学过程 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 （5分钟） 故事导入：王戎识李 王戎七岁时，和小朋友们看到路边李树上结满了李子，大家都去摘，只有王戎不动。别人问他为什么，他说：“树在路边而李子多，此必苦李。”果然李子是苦的。 思考：王戎是怎么知道李子是苦的？他的推理过程是什么？ 教师讲述王戎识李的故事，引导学生分析：王戎是怎么推理的？ 学生讨论：如果李子是甜的，路边的李子早被人摘光了，现在李子这么多，说明一定是苦的。 教师引导：王戎不是直接证明李子苦，而是假设李子甜，推出矛盾，从而证明李子苦。这种方法就是反证法。 学生能理解王戎的推理思路； 初步感受反证法的思维方式。 用历史故事导入，激发学生兴趣；从生活中的反证法思想引入数学概念，降低理解难度。 概念探究 （22分钟） 【知识点1】什么是反证法 先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。这种证明方法叫做反证法。 反证法是一种间接的证明方法。 【知识点2】反证法的三步骤 反设：假设结论的反面成立 归谬：从反设出发，推出矛盾 第三步：定论——假设不成立，原结论正确。 【例1】证明：两条直线相交只有一个交点。 已知：两条相交直线l₁与l₂。 求证：l₁与l₂只有一个交点。 证明： 假设两条直线不止一个交点，不妨假设有两个交点A和B。 这样过A、B两点就有两条直线，这与“两点确定一条直线”矛盾。 所以假设不成立，即两条直线相交只有一个交点。 【例2】证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC。 求证：△ABC中至少有一个内角≤60°。 证明： 假设△ABC中没有一个内角≤60°， 即 ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°。 于是 ∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°， 这与“三角形内角和等于180°”矛盾。 所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角≤60°。 1. 概念建立： 教师结合王戎识李的例子，给出反证法的定义。 学生理解反证法的间接证明特点。 2. 步骤归纳： 教师结合反证法流程图，讲解三步骤：反设、归谬、定论。 学生跟随梳理，理解每一步要做什么。 3. 例题讲解： 教师一步步讲解例1的证明过程，重点示范反设怎么写、怎么找矛盾。 学生跟随书写，体会反证法的格式。 教师再讲解例2，引导学生一起完成。 1. 学生能说出反证法的三步骤； 2. 学生理解反设是假设结论反面成立； 3. 学生能看懂反证法的证明过程； 4. 学生初步掌握反证法的书写格式。 1. 从生活实例到数学概念，培养数学抽象素养； 2. 分步讲解，建立清晰的反证法步骤； 3. 例题示范，规范证明书写； 4. 培养逻辑推理和逆向思维能力。 课堂练习 （13分钟） A组（基础题）： 1. 用反证法证明一个命题时，第一步应该（ ） A. 从条件出发推出结论 B. 假设结论的反面成立 C. 假设条件不成立 D. 直接证明结论 2. 用反证法证明“a＞b”时，应假设（ ） A. a＜b B. a≤b C. a=b D. a≥b 3. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应假设（ ） A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60° C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60° B组（提高题）： 4. 用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等。 5. 用反证法证明：如果整数m的平方是偶数，那么m必为偶数。 【参考答案】 1. B 解析：反证法第一步是反设，即假设结论的反面成立。 2. B 解析：“a＞b”的反面是“a≤b”（包括a＜b和a=b两种情况）。 3. B 解析：“必有一个内角不小于60°”的反面是“每一个内角都小于60°”。 4. 已知：在△ABC中，AB≠AC。 求证：∠C≠∠B。 证明：假设∠C=∠B，根据“等角对等边”，可得AB=AC，这与已知条件AB≠AC矛盾。所以假设不成立，即∠C≠∠B。 5. 证明：假设m是奇数，设m=2k+1（k是整数）。 则m²=(2k+1)²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1，显然m²是奇数，这与“m的平方是偶数”矛盾。 所以假设不成立，即m必为偶数。 学生独立完成A组练习，教师巡视；B组第4、5题，学生先独立思考，再同桌交流。 教师选取典型答案投影点评，重点讲解反设的正确写法。 A组题正确率≥85%； 能正确写出反设； B组能按反证法步骤完成证明。 分层练习，巩固基本概念；通过反设选择题突破难点；通过证明题规范书写格式；题目紧扣教材，不超纲。 反思总结 （5分钟） 课堂小结： 1. 什么是反证法？ 2. 反证法有哪三个步骤？ 3. 用反证法证明时，反设要注意什么？ 课后作业： 教材第128页练习第1、2题； 练习册对应课时。 教师引导学生自主总结，梳理知识脉络： 反证法 → 间接证明方法 → 三步骤：反设→归谬→定论 → 正难则反的思维策略 学生能梳理本节课知识； 能说出反证法三步骤； 掌握反设的基本方法。 学生自主归纳，形成知识体系；反证法是重要的数学方法，今后还会多次用到。 板书设计 13.1.3 反证法 一、定义：间接证明方法 假设结论反面成立 → 推出矛盾 → 原结论正确 二、三步骤： ①反设：假设结论的反面成立 ②归谬：从反设出发，推出矛盾 ③定论：假设不成立，原结论正确 三、特点：正难则反，间接证明 学科网（北京）股份有限公司 $