11.3.1两数和乘以这两数的差 教学设计 2026-2027学年 华东师大版 八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“两数和乘以这两数的差”即平方差公式的推导与应用。通过街心花园草坪改造的实际情境引导列式，结合多项式乘法计算实例，让学生观察规律，从已有知识自然过渡到新知，搭建学习支架。 该设计突出数学抽象与几何直观，通过“计算—观察—猜想—验证—归纳”的推理过程抽象公式，用剪纸教具进行面积割补验证几何意义。分层练习含基础、提高及辨析题，强化公式结构识别，培养运算能力与推理意识，为教师提供完整教学流程，助力学生扎实掌握并灵活运用公式。

XX中学教案 学科 数学 教师 班级 课题 11.3.1 两数和乘以这两数的差 课型 新授 教学 目标 知识 目标 1. 理解平方差公式的推导过程，掌握公式的结构特征； 2. 能运用平方差公式进行简单的乘法运算； 3. 能运用平方差公式进行简便计算，解决实际问题。 能力 目标 1. 经历平方差公式的探究过程，培养观察、归纳和概括能力； 2. 通过公式的几何验证，发展数形结合思想和几何直观； 3. 培养识别公式结构、灵活运用公式的运算能力。 核心 素养 目标 1. 数学运算：能准确运用平方差公式进行运算，提升运算素养； 2. 逻辑推理：经历"计算—观察—猜想—验证—归纳"的推理过程； 3. 数学抽象：从具体运算实例中抽象出平方差公式，发展符号意识； 4. 几何直观：通过面积割补理解公式的几何意义，渗透数形结合思想。 教学 重点 难点 重点：平方差公式的理解与运用。 难点：平方差公式的结构特征识别（尤其是符号变形）、公式的几何验证以及公式中a、b的广泛含义。 教学 方法 启发式教学、探究式学习、讲练结合、数形结合 教学 手段 多媒体课件、学案、剪纸教具 课时 1 教学 环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图 （一）情境导入，导入新课（5分钟） 【创设情境】 街心花园有一块边长为am的正方形草坪，规划后南北向增加2m，东西向减少2m，改造后得到一块长方形草坪。求改造后草坪的面积。 引导列式：S=(a+2)(a-2) 【温故知新】用多项式乘法计算： (1) (x+1)(x-1) (2) (m+2)(m-2) (3) (2a+b)(2a-b) 【(1)x2-1 (2)m2-4 (3)4a2-b2】 【引出课题】观察结果有什么规律？今天学习两数和乘以这两数的差(平方差公式)。（板书） 1. 阅读情境问题，尝试画草图列式； 2. 用多项式乘法计算三道题； 3. 观察结果，发现规律：中间项抵消了； 4. 明确本节课学习目标。 以实际问题引入，激发学习兴趣；通过计算三道特殊形式的多项式乘法，让学生初步感知规律；自然引出课题。 （二）合作探究，构建新知（15分钟） 【探究活动一】公式推导 计算：(a+b)(a-b) = a²-ab+ab-b² = a²-b² 【归纳公式】板书：(a+b)(a-b) = a²-b² 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 【结构特征分析】 左边：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数； 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 【探究活动二】几何验证 边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，剩余面积=a²-b²； 将剩余部分拼成一个长方形，长=a+b，宽=a-b，面积=(a+b)(a-b)。 因此：(a+b)(a-b)=a²-b²（数形结合验证） 【例题精讲】 例1 计算：(1) (a+3)(a-3) (2) (2a+3b)(2a-3b) (3) (-2x-y)(2x-y) 解：(1) 原式=a²-3²=a²-9 (2) 原式=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² (3) 原式=(-y)²-(2x)²=y²-4x² （找相同项和相反项） 例2 简便计算：102×98 解：原式=(100+2)(100-2)=100²-2²=10000-4=9996 1. 独立推导公式，观察中间项抵消； 2. 归纳公式的文字表述和符号表达； 3. 分析公式左右两边的结构特征； 4. 动手剪纸或画图，验证几何意义； 5. 跟随教师板演例题，注意找准a、b； 6. 体会简便运算中公式的应用价值。 让学生经历完整的探究过程，培养归纳能力； 通过几何验证渗透数形结合思想； 例题由浅入深：直接套用→系数含字母→符号变形→简便运算； 例2体现公式的实用价值。 （三）课堂练习 ，内化新知（约10分钟） 【分层练习】 ★ 基础题（全员完成） 1. 计算：(1)(x+5)(x-5) (2)(3m+2n)(3m-2n) (3)(-a+2b)(-a-2b) 【(1)x²-25 (2)9m²-4n² (3)a²-4b²】 2. 简便计算：(1)59×61 (2)2025×2023-2024² 【(1)(60-1)(60+1)=3600-1=3599 (2)(2024+1)(2024-1)-2024²=2024²-1-2024²=-1】 ★★ 提高题（选做） 3. 计算：(x+2)(x-2)(x²+4) 【(x²-4)(x²+4)=x⁴-16】 4. 先化简，再求值：(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)，其中x=2。 【原式=4x²-9-4x²+4x=4x-9；当x=2时，原式=8-9=-1】 ★★★ 辨析题 5. 下列能否用平方差公式？能的计算，不能的说明理由： (1)(a+b)(-a-b) (2)(-m+n)(m-n) (3)(2x-y)(y+2x) (4)(a+3)(a-2) 【(1)不能，两项都互为相反数 (2)不能，两项都互为相反数 (3)能，(2x-y)(2x+y)=4x²-y² (4)不能，常数项3和-2不互为相反数】 教师巡视，选取典型错误投影点评。 1. 独立完成基础题，同桌互查； 2. 学有余力的同学完成提高题； 3. 辨析题先判断再计算，小组交流； 4. 主动板演，参与讲评。 分层练习满足不同层次需求； 基础题巩固公式直接运用和简便运算； 提高题训练连续运用和化简求值； 辨析题强化公式结构特征识别，突破难点。 （四）课堂小结 （约3分钟） 今天你学到了什么？ 师生共同梳理： 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²； 2. 结构特征：相同项平方减相反项平方； 3. 注意：①找准a、b；②系数和整体要加括号；③公式可逆向使用。 作业 检测 基础作业 【基础作业】 1. 教材课后习题（对应新教材11.3.1练习）； 2. 计算：(1)(a+7)(a-7) (2)(4x+5y)(4x-5y) (3)(-3m+n)(3m+n) 【(1)a²-49 (2)16x²-25y² (3)n²-9m²】 3. 简便计算：48×52 【原式=(50-2)(50+2)=2500-4=2496】 提高作业 【提高作业】 1. 计算：(a+1)(a-1)(a²+1)； 【原式=(a²-1)(a²+1)=a⁴-1】 2. 先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y)，其中x=3，y=-1； 【原式=x²-4y²-x²+4xy=4xy-4y²；当x=3,y=-1时，原式=4×3×(-1)-4×1=-12-4=-16】 3. 利用平方差公式计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)+1 【原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)+1=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)+1=(2⁴-1)(2⁴+1)+1=2⁸-1+1=256】 拓展预习 作业 【拓展预习作业】 1. 思考：(a+b)²能否用多项式乘法展开？展开后有什么规律？ 【(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²（完全平方公式，下节课学习）】 2. 预习下一节“两数和(差)的平方”。 板书设计 【情境引入】 草坪面积： (a+2)(a-2) =a²-4 【公式推导】 (a+b)(a-b) =a²-ab+ab-b² =a²-b² 【平方差公式】 (a+b)(a-b) = a² - b² 结构特征： 相同项²-相反项² 【几何意义】 面积割补验证 【例题】 例1(3) (-2x-y)(2x-y) =(-y)²-(2x)² =y²-4x² 例2 简便运算 102×98 =(100+2)(100-2) =9996 教学反思 本节课通过草坪改造的实际情境和面积割补的几何验证引入，学生对平方差公式的推导理解较好。但练习中发现，学生对公式结构特征的识别仍有困难，尤其是符号变形题如(-2x-y)(2x-y)，常找不准相同项和相反项。部分学生与完全平方公式混淆，出现(a+b)(a-b)=a²+b²的错误。今后应增加“判断能否用公式”的专项训练，强化“相同项平方减相反项平方”的结构识别。 学科网（北京）股份有限公司 $